Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 47
Текст из файла (страница 47)
На всех этих графиках показаны ортогональные проекции сферической поверхности. Я построил также на рис. Ч плоское сечение через ось сферы, чтобы показать эквипотенциальные поверхности и силовые линии, создаваемые сферической поверхностью, на которой распределение поверхностного заряда определяется сферической гармоникой первого порядка. Внутри сферы эквипотенциальные поверхности являются эквидистантными плоскостями„ а силовые линии — прямые, параллельные оси, причем их расстояния от оси пропорциональны квадратным корням из натуральных чисел. Линии вне сферы могут служить примером того, как выглядели бы характеристики магнитного поля Земли, если бы земной магнетизм был распределен наиболее простым образом.
144 а. Теперь мы в состоянии найти распределение электричества на сферическом проводнике под действием электрических сил с заданным потенциалом. Указанными выше методами разложим заданный потенциал Ч' в ряд по пространственным гармоникам положительной степени с началом координат в центре сферы. Пусть А„г"ӄ— одна из этих гармсник. Поскольку на проводящей сфере потенциал постоянен, то должен существовать член — А„г")'„, обусловленный распределением заряда по поверхности сферы, а значит, в разложение 4па должно входить слагаемое 4по„=(2а+!)а"-'А„)г„. Таким образом, мы можем определить коэффйциенты всех гармоник в выражении для поверхностной плотности, за исключением нулевой.
Коэффициент перед гармоникой нулевого порядка зависит от заряда е сферы и дается соотношением 4по,=а 'е. Потенциал сферы равен )г=Чге+(е/а). 144 б. Пусть теперь сфера помещена вблизи заземленных проводников и известна Функция Грина сг от координат любых двух точек х, 1г, г и х', у', г' в области, куда помещена сфера. Если поверхностная плотность на сфере представлена как ряд по сферическим гармоникам, то проявления электричества вне сферы в точности такие же, какие были бы при помещении ряда воображаемых особых точек в центре сферы, первая из которых представляет собой простой точечный заряд, равный заряду сферы, а остальные — кратные точки различного порядка, соответствующие гармоникам плотности заряда на поверхности сферы. 192 Часть !.
Эаектаостаткка Обозначим функцию Грина через б „где индекс р указывает точку с координатами х, у, г, а индекс р' — точку с координатами х', у', г'. Если заряд А, помещен в точку р', то, считая х', у', г' постоянными, мы можем рассматривать брр' как функцию от х, у, г. Потенциал, создаваемый электричеством, наведенным на окружающих телах зарядом А„равен 1 =- Аобее'. (1) Если бы заряд А, находился не в точке р', а был равномерно распределен по сфере радиуса а с центром в точке р', то значение т' в точках вне сферы осталось бы таким же.
При неравномерном распределении заряда по сфере представим поверхностную плотность заряда в виде ряда по сферическим гармоникам 4пата=Ае+ЗАь)'т+... +(2п — 1)А„)'„+..., (2) что всегда можко сделать. Потенциал, создаваемый каждым членом этого разложения, например членом 4пато„= (2п+1)А„!'„, (3) гп аь равен — „„, А„)'„в точках внутри сферы и — „,, А„у„в точках вне сферы. Последнее выражение, согласно (13), (14) из и.
!29 в и 129 г, равно а» д» ( — 1)" А„—, "а! ~й,...ла„г' т. е. потенциал вне сферы, создаваемый распределением заряда ка поверхности сферы, такой же, как от определенной кратной точки с осями й„..., й„и моментом А„а". Следовательно, распределение электричества на окружающих проводниках и потенциал, создаваемый этим распределением, будут такими же, как и для такой краткой точки. Таким образом, потенциал в точке р с координатами х, у, г, обусловленный наведенным электричеством на окружающих телах, равен (4) где штрихи при с( показывают, что дифференцировакие производится по х',у', г'. После дифференцирования эти координаты приравниваются к координатам центра сферы.
Удобно считать )'„разбитым на 2п+1 составляющих симметричной системы, Пусть А 1"„" — одна из этих составляющих. Тогда л л да ~л (5) Здесь ке нужно ставить индекс з или с, указывающий, какая из функций, з!и оса или сок а~р, входит в гармонику. Мы можем теперь написать полное выражение для потенциала Ч", возникающего из-за наведенного заряда: (6) Глава !Х. Сферические гармоники Но на сфере потенциал постоянен, т. е. (7) Применим теперь к этому выражению операцию д)<е д, где дифференцирование производится по х, у, г, а значении п, и о, независимы от и и о.
В (7) обращаются в нуль все члены, кроме члена с )г<е1), и мы получаем лд ' 2 (~<+~<)<(лд од) ! А<е ! А р<е > ц 1 'кч~ч ( < )дн 4ин л ()<е ! (уде<с1 (8) ' лд! Таким образом, мы получили систему уравнений, в левой части которых содержится подлежащий определению коэффициент. Первое слагаемое в правой части содержит А„заряд сферы, его можно считать главным слагаемым. Если пока остальными слагаемыми пренебречь, то получится в первом приб- лижении 1<ли ! 2де' лд! 1 „.д <е,! 2 (ад+од)! (лд — од)! Распределение электричества на почти сферическом проводнике 145 а.
Пусть уравнение поверхности проводника имеет вид г=а (1+Р), где Р— функция от направления г, т. е. от 8 и <р квадратом которой можно пренебречь в данном исследовании. Представим Р в виде ряда по поверхностным гармоникам Р=Ь+Ь)'д+Ь)'д+- ..+1н)' (2) Из всех этих членов первый член определяется отличием среднего радиуса от а. Если предположить, что а равно среднему радиусу, т. е. приблизительно равно радиусу сферы того же объема, что и заданный проводник, то коэффициент )е обратится в нуль. Второе слагаемое, с коэффициентом )„зависит от расстояния между центром масс проводника, предполагаемого однородным по плотности, и началом коорди- гдл,к.м Если наименьшее расстояние от центра сферы до ближайшего из окружающих проводников обозначить через Ь, то а + 0<е'С(п,( ( — "д""'.
"1 ' ~ь7 Следовательно, при Ь, много большем радиуса сферы а, коэффициенты остальных сферических гармоник много меньше А,. Отношение последующих членов в правой части уравнения (8) к первому будет порядка (а/Ь)дл 'ь+ '. Поэтому в первом приближении ими можно пренебречь. Во втором приближении можно в эти члены подставить значеняя коэффициентов из первого приближения и так далее до тех пор, пока не будет достигнута нужная степень приближения. Часть !. Электвостатака 194 Здесь не предполагается, что поверхностные гармоники того же вида, что и в. разложении Р. На поверхности проводника потенциал равен потенциалу проводника, т. е постоянной величине а.
Поэтому, выражая степени г через а и Р и пренебрегав квадратами и высшими степенями Р, мы получим ох=А,— (1 — Р)+А,—,)';(! — 2Р)+... +А„— „, )'„'(1 — (в+1)Р)+.... (4~ Поскольку коэффициенты А, и т. д., очевидно, много меньше А,, мы можем для начала пренебречь произведениями этих коэффициентов на Р. Если теперь подставить вместо Р в первом члене (4) его разложение по сферическим гармоникам и приравнять нулю слагаемые со сферическими гармоникамзз одинакового порядка, мы получим (бд (6) а= А,/а, А,1 =Аоа)з)'з=О, А,)'о = Аоазг",У, (7) Из этих уравнений следует, что функции !' должны быть того же типа, что и У' и, следовательно, совпадать с ними, и что А,=О и А„=Аоаз7'„.
Для определения плотности заряда в произвольной точке поверхности можить воспользоваться уравнением аз' о!У 4яо = — — = — — соз е (приближенно). кт о!т (8) Здесь т — нормаль, а з — угол между нормалью и радиусом. Поскольку в нашем исследовакии мы считаем Р и его первые производные по 8 и ф малыми, мы можем считать соз е=1, так что 4чо = — — = Ао —,з + ° . + (и+ 1) А „1'„—,, з + .
а'з' ! 2 (9) Выражая степени г через а и Р и пренебрегая произведениями Р на А„, получим 4по = А, —, (1 — 2Р) +... -1- (и -1- 1) А „— „, У'„. (10) Разлагая Р по сферическим гармоникам и подставляя найденные значения А„, получим 4но= 4о — т [!+~туз+2)зу'з+ . +(в — !)~лу'з1. (11~ наг. Если принять центр масс за начало координат, то коэффициент гз тоже обратится в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
