Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Этот коэффициент называется Емкостью поверхности 5, обуслов- ленной ее расположением относительно противоположной поверхности. Предположим теперь„что среда между обеими поверхностями уже не воздух, а какое-либо другое днзлектрнческое вещество с удельной индуктивной способ- ностью К. Тогда заряд, обусловленный заданной разностью потенцналов, будет в К раз больше, чем в воздухе, т. е. е,=К5(А — В)/4пс. Полная энергия будет равна Ф' = — (А — В)'= — е,с, КВ 2п 8лс КЗ а сила между поверхностями г"=р5= — — = — е",. КВ (А — В)э 2п 8п сэ КВ Следовательно, сила между двумя поверхностями, поддерживаемыми при заданных потенциалах, меняется пропорционально удельной индуктивной способностн диэлектрика К, а сила между двумя поверхностями с заданными зарядами меняется обратно пропорционально К.
Две концентрические сферические поверхности (25. Если две концентрические сферические поверхности радиусов а н Ь, причем Ь больше а, поддерживаются соответственно под потенциалами А н В, то, очевидно, потенцнал )г является функцией расстояння г от нх центра. В этом случае уравнение Лапласа принимает внд азУ 2 аУ + =о.
аг г аг Его решение У= — С,+С,г, н нз условия К==А прн г=а н У=В прн г=Ь следует, что в пространстве между сферическими поверхностями Аа — ВЬ А — В аУ А — В а — Ь + а-г — Ь-т ' ~ аг а-э — Ь-' Часть !. Электростатике 170 Если е, и е, — полные электрические заряды этих поверхностей, то А — В е,=4па'о,=, . = — е,. а-' — Ь * Следовательно, емкость сферы, окруженной сферической оболочкой, равна аЫ (Ь вЂ” а). Если внешняя поверхность оболочки тоже сфера радиуса с, то при отсутствии других проводников поблизости заряд на внешней поверхности равен е,=Вс. Таким образом, полный заряд на внутренней сфере равен е, = — (А — В), аЬ Ь вЂ” а а на внешней оболочке е,+е,= — '( — А)+Вс.
Положив Ь=аа, мы получим случай сферы в бесконечном пространстве. Электрическая емкость такой сферы равна а, т. е. численно равна радиусу сферы. Электрическое натяжение на внутренней сфере, приходящееся на единицу площади, равно 1 Ьт (А — В)т 8п аь (Ь вЂ” а)т Результирующая сила, обусловленная этим натяжением, для полусферы равна патр=г" и перпендикулярна основанию полусферы. Если она уравновешивается поверхностным натяжением, испытываемым по круговой границе полусферы с натяжением на единицу длины равкым Т, то Г=2паТ. Отсюда Ь' (А — В)' е~ г" =— 8 (Ь вЂ” а)' 8ат ' Т =-— Ьт (А — В)т 16ла (Ь вЂ” а)т Если сферический мыльный пузырь наэлектризовать до потенциала А, то при радиусе а его заряд будет Аа, а поверхностная плотность заряда будет о=А/ (4па).
Результирующая напряженность у внешней поверхности равна 4по, а внутри пузыря равна нулю, так что, согласно п. 79, электрическая сила, действующая на единицу поверхности, равна 2по, причем направлена она наружу. Следовательно, электризация уменьшает давление воздуха внутри пузыря на 2по', т. е.
на Ат((бпат). Но можно показать, что если Т, — натяжение в жидкой пленке, передаваемое через линию единичной длины, то внутреннее давление, необходимое для удержа- Если о, и о, — поверхностные плотности на противолежащих поверхностях сплошного шара радиуса а и сферической полости радиуса Ь, то 1 А — В 1  — А о 4па! а 1 — Ь о 4 пел ааь — Ь Глава т'!1!. простые случаю электризации 173 ния пузыри от схлопывания, равно 2Т„'а.
Если электрической силы как раз достаточно для удержания пузыря в равновесии при одинаковом давлении воздуха вне и внутри пузыря, то А'=1бпаТ,. Две бвсконвчныв коаксиальныв цилиндрические поверхности !26. Пусть радиус внешней поверхности проводящего цилиндра равен а, э радиус внутренней поверхности полого цилиндра,коаксиального первому, равен Ь.
Пусть их потенциалы соответственно равны А и В. Потенциал У зависит в этом случае только от расстояния г от оси, так что уравнение Лапласа принимает вид Вз'т' 1 Вт' — + — =О, дтз т Вт 1 откуда У=С,+Сз 1п г. Поскольку У=А при с=а и У=В при г=Ь, то У=(А 1и (Ыг)+В 1и (гlа)Ип (Ь,'а). Если о, и о, — поверхностные плотности на внутренней и внешней поверхностях, то А — В 4по, = Ь Ь1п— а Для зарядов е, и в, на участках обоих цилиндров между двумя сечениями, перпендикулярными оси, и отстоящими друг от друга на расстояние 1, имеем 1 А — В по(оз 2 ь 1п— Я Следовательно, емкость участка внутреннего цилиндра длины 1 равна П2 1и (Ыа).
Если пространство между цилиндрами занято не воздухом, а диэлектриком с удельной индуктивной способностью К, то емкость участка внутреннего цилиндра длины 1 равна 1К/2 1и (Ыа). Энергия распределения электричества на рассматриваемом участке бесконечного цилиндра равна 1К (А — В)з/41п (Ь,'а). 127. Пусть два полых цилиндрических проводника А и В произвольной длины (рис. 6), имеющие общую ось х, расположены один с отрицательной стороны от начала координат, а другой с положительной стороны и разделены небольшим промежутком вблизи начала координат.
Пусть цилиндр С длины 21 расположен так, что его центральная точка находится на расстоянии х от начала координат в положительную сторону, а сам цилиндр С входит внутрь полых цилиндров. Положим потенциал полого цилиндра на положительной стороне равным А, на отрицательной стороне равным В и потенциал внутреннего цилиндра равным С, обозначим через а емкость единицы длины С по отношению к А, а через ))в емкость единицы длины С по отношению к В. Часть !.
Заектрастаткка !72 Поверхностная плотность на участках цилиндров в фиксированных точках вблизи начала координат и в точках, находящихся на заданном небольшом расстоянии от концов внутреннего проводника, не зависит от величины х, если только внутренний цилиндр достаточно глубоко входит внутрь обоих полых цилиндров. Вблизи концов полых цилиндров и вблизи концов внутреннего цилиндра устанавливается распределение электричества, которое мы еще пока не можем рассчитать, однако распределение у начала координат не меняется при перемещении внутреннего цилиндра, если ни один из его концов не подходит близко к Ркс. 8 началу координат, а распределения у концов внутреннего цилиндра перемещаются вместе с цилиндром, так что эффект перемещения цилиндра сводится лишь к увеличению или уменьшению тех участков внутреннего цилиндра, на которых заряд распределен как на бесконечном цилиндре. Следовательно, зависимость полной энергии системы от х дается выражением Я= — сх([+х)(С вЂ” А)'+ — [)(! — х)(С вЂ” В)'+величины, не зависящие от х, 2 а результирующая сила, параллельная оси цилиндров, равна, согласно и.
936, Х == — = — а(С вЂ” А)' — — р(С вЂ” В)', 2Е 1 Дх 2 2 поскольку энергия представлена через потенциалы. Если сечения цилиндров А и В одинаковы, то а=р и Х=сс ( — А)[С— — (А+В)/2]. Таким образом, оказывается, существует постоянная сила, действующая на внутренний цилиндр и втягивающая его в тот внешний цилиндр, потенциал которого больше отличается от потенциала внутреннего проводника. Если С по величине значительно больше А+В, то сила приблизительно равна Х=а ( — А)С, так что можно определить разность потенциалов двух циликдров, если измерить Х, причем точность измерении увеличивается с повышением потенциала внутреннего цилиндра С. Этот принцип в несколько модифицированном виде принят в томсоновском квадрантном электрометре (п.
2[9). Это же приспособление из трех цилиндров можно использовать для измерения емкости, соединив В и С. Если потенциал А равен нулю, а потенциал В и С равен У, то количество электричества на А равно Е,= (д„+се ((+х))т', где д1а зависит от распределения электричества на концах цилиндра, но не зависит от х. Переместив цилиндр вправо, так что х перейдет в х+$,мы увеличим емкость цилиндра С на определенную величину сей, где а= [/[2 [и (Ьта)[, а а и Ь вЂ радиусы противолежащих цилиндрических поверхностей. Глава 1Х. Сферические гармоники 173 ГЛАВА 1Х СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ 128.
Математическая теория сферических гармоник исследовалась в целом ряде специальных трактатов. В !878 г. вышло второе издание в двух томах книги Наа(Ьисй е!ег Киуе!!ипс11опеп д-ра Э. Хайне (Е. Не)пе), являющейся наиболее детальным исследованием в этой области, а д-р Ф. Нейманн опубликовал свои ВеВгаде хиг Тйеогге г(ег Киде11ипс11опеп ()е)рх)а, ТепЬпег, !878). Значительно улучшена рассмотрение этого вопроса во втором издании 1879 г. 1га1ига! Рп11озорйу Томсона и Тэта, а публикация книг Тодхантера, Е!егпеп1агу Тгеабве оп Еар!асе'в Рипсбопв, ~.ате'з РипсЫопз аЫ Веззе!'и Еипсбопз и Феррерса Е!етеп1агу Тгеабзе оп Брпег1са! Оагтоп1сз апг( зиЬ)ес1з соппес1ес! го!15 1йет сделали излишним детальное рассмотрение чисто математических вопросов в книге по электричеству.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
