Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Тогда г' 1.' г Т е' И е г й ' оз ге в ив~ ов р гв ов вв ов гз оз ~г'з Гв от в Х' Х вс Б' йв г'в 15 г' кв' й о в -т и рз У' г вс У вс (18)з в См. вИаеиго! РЫоворяуз Томсона и Тата, З 5!о. Если в исходной системе некоторая поверхность была поверхностью проводника, так что потенциал на ней был постоянен н равен Р, то в преобразованной системе на изображении поверхности будет потенциал Рй/г'. Но если поместить в центре инверсии О количество электрнчества — РВ, то потенциал преобразованной поверхности станет равным нулю.
Следовательно, если известно распределение электричества на изолированном проводнике в свободном пространстве, заряженном до потенциала Р, то можно с помощью инверсии найти распределение на заземленном проводнике, являющемся изображением исходного проводника, устанавлнвающееся под влиянием точечного заряда — РВ, помещенного в центр инверсии. Глава Х!. Теории электрических изображения н влектрнческак инверсии 2!Э 163. При исследовании различных случаев инверсии полезны следующие геометрические теоремы.
Каждая сфера переходит при инверсии в сферу, если только она не проходит через центр инверсии. В последнем случае она переходит в плоскость. Если расстояния центров этих двух сфер от центра инверсии обозначить через а и а', их радиусы — через а и а' и определить показатель (ротчег) сферы по отношению к центру инверсии как произведение отрезков, отсекаемых сферой на линии, проходящей через центр инверсии, то для первой сферы показатель равен а' — и', а для второй — а" — а". При этом а' а' !!т а'в — а" а а ат — ат лт (19) т.
е. отношение расстояний центров первой и второй сферы от центра инверсии равно отношению их радиусов, отношению показателя сферы инверсии к показателю первой сферы и отношению показателя второй сферы к показателю сферы инверсии. Изображение центра инверсии по отношению к одной из сфер является точкой инверсии центра другой сферы. В случае, когда инверсными поверхностями являются плоскость н сфера, перпендикуляр из центра инверсии на плоскость относится к радиусу инверсии как этот радиус относится к диаметру сферы, центр сферы расположен на этом перпендикуляре, а сама сфера проходит через центр инверсии. Любая окружность инвертируется в окружность, если только она не проходит через центр инверсии, В этом случае она инвертируется в прямую.
Углы между двумя пересекающимися поверхностями или линиями не меняются при инверсии. Любая окружность, проходящая через некоторую точку и через ее изображение в сфере, пересекает эту сферу под прямыми углами. Следовательно, любая окружность, проходящая через некоторую точку и пересекающая сферу инверсии под прямыми углами, проходит и через изображение этой точки. 164. Метод инверсии можно применить для определения распределения электричества на заземленной сфере под действием точечного заряда, исходя из однородного распределения на изолированной сфере в отсутствие других тел.
Если точечный заряд находится в точке А, то примем ее за центр инверсии, тогда для сферы радиуса а, центр которой находится на расстоянии ( от точки А, инвертированной фигурой будет сфера радиуса а' с центром яа расстоянии (', где а 7 (т — ат' (2О) Центр каждой из этих сфер совпадает с инверсной точкой для А относительно другой сферы, т. е. если С вЂ” центр, а  — инверсная точка первой сферы, то С' — инверсная точка, а В' — центр второй сферы. Пусть теперь е' — количество электричества, сообщенное второй сфере, на которую не действуют внешние силы.
Оно распределится равномерно по сфере с поверхностной плотностью а' =е'((4па"). (21) 220 Часть !. Электростатике Действие его в любой точке вне сферы точно такое же, как действие заряда е', помещенного в центре сферы В'. На самой сферической новерхностн н внутри нее потенциал равен постоянной величине Р'=е'/а'. (22) Произведем тенер ~ ннверсню этой системы.
Центр В' переходит в ннвертнрованной системе в инверсную точку В, заряд е' в точке В' переходит в е'/т//' в точке В н во всех точках, отделенных от точки В сферической поверхностью, потенцнал равен потенциалу от заряда в точке В. Потенциал в любой точке Р, находящейся на сферической поверхности нлм по ту же сторону от нее, что н точка В, равен в инвертированной системе (е'/а') Х х Я/АР). Если теперь добавить к этой системе заряд е в точке А, равный е= — (е'/а')/т, (23) то потенциал на сферической поверхности н во всех точках, расположенных по ту же сторону от нее, что н точка В, станет равным нулю.
Во всех точках, расположенных с той стороны, где находится точка А, потенциал будет равен потенциалу от заряда е в точке А н заряда е'/т//' в точке В. Но е' (/т//') = — е (а'//) = — е (а//), (24) как мы видели раньше для заряда изображения в точке В. Для нахождення плотности в каждой точке первой поверхности имеем о= о' йт/АР'. (25) Подставляя выражение о' через характеристики первой сферы, получим то же значение, что н в и.
158: о= — е (/' — ат)/(4яа АРт). (25) О конечных системах аоследоеалтельных иэображений 165. Если две проводящие плоскости пересекаются под углом, являющимся целым делителем двух прямых углов, то получается конечная система нзображеннй, полностью определяющая электризацию.
Действительно, пусть АО — сечение двух проводящих плоскостей, перпенднкулярное линии нх пересечения, пусть угол пересечения АОВ=я/а, а Р— точечный заряд. Тогда, построив окружность с центром в точке О радиусом ОР н найдя точки, являющиеся последовательными изображениями точки Р в обеих плоскостях, начиная с изображения в ОВ, мы найдем изображение О, точки Р в ОВ, изображение Р, точки О, в ОА, изображение О, точки Р, в ОВ, изображение Р, точки Я, в ОА, изображение О, точки Р, в ОВ н так далее. Если бы мы начали с изображения Р в АО, то получили бы те же точки в обратной последовательности — Я„Р„Я„Р„Я„еслн только АОВ является целым делителем двух прямых углов (рнс.
10). Глава Х1. Теория электрических изображений и электрнческаи инверсии 221 Заданный точечный заряд и получающиеся через раз изображения Р„Р, расположены по окружности на угловом расстонии 2АОВ друг от друга, промежуточные изображения Я„(;1т, Оз находятся на таких же расстояниях друг от друга. Таким образом, если 2АОВ является целым делителем 2п, то получится конечная система изображений, причем ни одно из них не попадет внутрь угла АОВ.
Если же АОВ не является целым делителем и, то истинное распределение электричества не может быть представлено конечным набором точечных зарядов Ркс. 11 Рнс. 1О Если АОВ=п/и, то будет и отрицательных изображений Я„Яз и т. д., равных по величине и противоположных по знаку заряду Р, и и — 1 положительных изображений Р„Р, и т. д., равных Р по величине и по знаку. Угол между последовательными изображениями одинакового знака равен 2п/и. Если каждую из проводящих плоскостей рассмотреть как плоскость симметрии, то видно, что точечный заряд и его положительные и отрицательные изображения расположены симметрично относительно этой плоскости, причем каждому положительному изображению соответствует отрицательное изображение, расположенное на той же нормали и на таком же расстоянии по другую сторону от плоскости. Если теперь инвертировать систему относительно произвольной точки, то обе плоскости перейдут в две сферы или же в сферу и плоскость, пересекающиеся под углом и/и, причем точка Р, инверсная к точке Р, расположена внутри этого угла.
Последовательные изображения расположены на окружности, проходящев через точку Р и пересекающей обе сферы под прямыми углами. Чтобы найти положение этих изображений, можно использовать тот факт, что точка и ее изображение в сфере расположены на одном и том же радиусе сферы, и построить последовательно хорды окружности, на которой лежат изображения, начиная с точки Р и проводя их попеременно через центры обеих сфер. Для определения заряда, который следует приписать каждому изображению, выберем произвольную точку на окружности пересечения, тогда заряд каждого изображения будет пропорционален его расстоянию до этой точки, а знак будет Часть 1.
Злектрастаткка положительным нлн отрицательным в зависимости от того, принадлежит ли точка изображення к первой последовательности или ко второй. 166. Итак, мы нашли расположение изображений для любого объема, ограниченного проводником, состоящим из двух сферических поверхностей, встречающихся под углом и/и, поддерживаемого под нулевым потенциалом и находящегося под действием точечного заряда. Методом ннверснн мы можем рассмотреть случай расположенного в свободном пространстве проводника, состоящего нз двух сферических сегментов, пересекающихся под входящим углом и/и, и находящегося под единичным потенциалом. Для этого произведем инверсию системы плоскостей по отношению к точке Р и изменим знаки зарядов.
Окружность, на которой раньше располагались заряды, переходит в прямую, проходящую через центры сфер. Пусть рнс. 11 представляет собой сечение, проходящее через линию центров АВ, а Р и Р' — точки пересечения общей окружности обеих сфер с плоскостью чертежа, Тогда для нахождения последовательных изображений построим радиус РА первой сферы н прямые РС, РЕ н т. д., образующие углы п/и, 2п/и и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
