Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Теперь, произведя инверсию по отношению к любой точке, мы получим случай трех сфер, пересекающихся под прямыми углами н находящихся под воздействием точечного заряда. Если произвести инверсию по отношению к одному из 'точечных зарядов, мы получим решение для случая свободно заряженного проводника в форме трех сфер радиусов а, р, у, пересекающихся под прямыми углами. яв 170.
Обозначим зти сферы через А, В, С, Р, а точку нахождения заряда — через О. Построим четыре сферы Аю Вт, Сю Рю каждая из которых, скажем сфера Аю проходит через точку О и пересекает три заданных сферы, в нашем случае В, С, О, под прямыми углами. Построим далее шесть сфер (аЬ), (ас), (ат(), (Ьс), (Ы), (а3), каждая из которых проходит через точку О и через окружность пересечения двух из первоначальных сфер. Трн сферы В„ Сю О, пересекутся и в другой точке, отличной от О. Обозначим эту точку через А', и пусть В', С', Р' — соответственно пересечения сфер (С„ О„А,), (Ою А„В,), (А„В„С,). Любые две из этих сфер (скажем, Ам Вт) пересекаются с одной из шести сфер (а1) в точке (а'Ь').
Всего существует шесть таких точек. Любая из сфер типа Ат пересекается с тремя сферами из шестерки (аЬ), (ас), (ад) в точке а'. Таких точек всего четыре. Наконец, шесть сфер (аЬ), (ас), (ат(), (Ьс), (И), (сИ) пересекаются, помимо точки О, в одной точке 5. Если теперь зту систему инвертировать по отношению к сфере единичного ра. диуса с центром в О, то четыре сферы А, В, С, О инвертируются в сферы, а остальные десять сфер перейдут в плоскости, Первые четыре точки пересечения А', В', С', О' переходят в центры сфер, а остальные соответствуют остальным описанным выше одиннадцати точкам.
Эти пятнадцать точек образуют изображение точки О в системе четырех сфер. В точке А', которая является изображением О в сфере А, мы должны поместить заряд, равный изображению О, т. е. — а/а, где а — радиус сферы А, а а— расстояние ее центра от О. Аналогично мы должны поместить надлежащие заряды в точки В', С', О'.
Заряд в любой из остальных одиннадцати точек может быть найден из выраже« пий, приведенных в предыдущем пункте, с заменой а, )3, у, 6 на а', ))', у', 6' и умножением результата для каждой точки на ее расстояние от точки О. Здесь 22а Часть !. Электростатнка Если к полученной выше системе электрических точечных зарядов добавить их изображения в сфере с центром в начале координат, то, как легко видеть, помимо трех координатных плоскостей, поверхность сферы также становится частью поверхности нулевого потенциала.) Две непересекающиеся г4мры Пусть далее О; — изображение Р во второй сфере, Р; — изображение О,' в первой сфере и т. д. Тогда ОО Ьезю-е О<'<' Ьеей-и ОО;=Ье'"" ", О: = — Ре' ОР;=Ь ОР;=-Ье" '", ОР'=Ье" " Р' =Ре е"' $ Из этой серии изображений все Р— положительны, все Π— отрицательны, все Р' и О принадлежат первой сфере, а все Р и <,<' — в<орой.
171. Если область пространства ограничена двумя непересекающимися сферами, то последовательные изображения точечного заряда, расположенного внутри этой области, образуют две бесконечные последовательности точек, ни одна из которых не расположена между сферическими поверхностями, так что они удовлетворяют условию применимости метода электрических изо- Р 4а бражений. ,л я <т Любые две непересекающиеся сферы можно инвертировать в две концентрические сферы„ взяв за точку инверсии любую из двух общих точек инверсии этой пары сфер. Поэтому мы начнем со случая двух заземлен- ных концентрических сферических поверхностей, Ркс.
<4 находящихся под воздействием точечного заря- да Р, помещенного между ними. Пусть радиус первой сферы равен Ь, второй сферы — Ьеь, а расстояние действующего заряда от центра г=Ье'. Все последующие изображения будут находиться на том же радиусе, что н действующий заряд. Пусть Ое — изображение точки Р в первой сфере (рис. 14), Р,— изображение О, во второй сфере, О,— изображение Р, в первой сфере и т. д. Тогда ОР, ОО,=Ь' и ОРл.ОО, <=Ь'е'", кроме того, ООе=Ье е, ОР,=Ье"+е, ОО,=Ье-<"" > и т. д.
Отсюда ОР,=Ьс<"'" >, ОО,=Ье-<"+" <. Если заряд в точке Р обозначить через Р, а заряд в точке Р, — через Р„ то Р Рек О Ре-<иьеа> 3 Глава Х!. Теории влектрнческнх изображения и влектрнческав инверсии 229 Изображ'ния внутри первой сферы образуют два сходящихся ряда, сумма которых равна — Р (е™-" — !)!(е — 1). Таково, следовательно, количество электричества на первой, внутренней сфере. Изображения вне второй сферы образуют два расходящихся ряда, но каждое из этих изображений дает нулевой вклад в поверхностный интеграл по поверхности сферы.
Поэтому электрический заряд на внешней сферической поверхности равен е(" "— ' — ~).= — е Ев Ев-е ей — 1 Если подставить значения входящих сюда ОВ и ОР, получим ОА РВ заряд на !А = — Р—. —, заряд ОР АВ' величин, выраженные через ОА, ОВ АР на В= — Р °вЂ” ОР АВ' Если радиусы сфер устремить в бесконечность, мы придем к случаю точки, расположенной между двумя параллельными плоскостями А и В.
В этом случае выражения для зарядов принимают вид заряд на А = — Р ° — заряд на В = — Р ° —. РВ АР АВ ' АВ' 172. Чтобы перейти от рассмотренного случая к случаю двух произвольных непересекающихся сфер, начнем с нахождения двух общих точек инверсии О и О', через которые проходят все окружности, ортогональные обеим сферам, Произведя затем инверсию системы по отношению к одной из этих точек, мы переведем наши сферы в две концентрические сферы, я р рассмотренные выше.
В Если точку О на рис. 15 принять за центр инверсии, то на рис. 14 она будет расположена где-то между двумя сферическими поверхностями. Но в п. 171 мы решили задачу о точечном заряде, расположенном между двумя концентрическими проводниками, Рис. 1В находящимися под нулевым потенциалом. Инвертируя эту систему по отношению к точке О, мы найдем, таким образом, распределения зарядов на двух сферических проводниках, находящихся под нулевым потенциалом и расположенных один вне другого, наводимые находящимся вблизи них точечным зарядом. В п.
!73 будет показано, как использовать полученный результат для нахождения распределения на двух сферических заряженных проводниках, находящихся лишь под взаимным влиянием. Радиус ОАРВ на рис. 14, на котором расположены последовательные изображения, переходит на рис. 15 в дугу окружности, проходящей через О и О', причем отношение О'Р к ОР равно Се, где С вЂ” численный множитель. Часть 1. Электростетнке 230 Если положить В =1и— О'Р ОР ' р=! О'В ОВ' О'А а=1п —, ОА ' то р — а=а, и+а=О.
Все последующие изображения точки Р будут лежать на дуге 0'АРВО. Для отображения Я, точки Р в А Офэ)=(п ООз =2а О Для отображения Р, точки Оз в В 0 (Р,) =!и — ' = О+ 2со. Аналогично 0 (Р,)=0+2зоз, В (0,)=2а — Π— 2зоз. Точно так же, обозначая через ьг;, Р;, О; и т. д. последовательные изображения Р в В, А, В и т. д., получим В(а;) =20 — О, 0(Р;) =В 2., 0(О,') = 2~ — О+ 2за. Для нахождения заряда каждого изображения Р, учтем, что в инвертированной системе (рис. 14) его заряд равен Р)7 (ОР,ЕОР). В исходной системе (рис. 15) эту величину следует дополнительно умножить на ОР,, Следовательно, заряд в Р, на биполярной фигуре (поскольку Р=Р/ОР), равен р .з /Орз'О Рз У ОР.О'Р Положим $=)' ОР.О'Р и будем называть $ параметром точки Р.
Тогда Р,= = (й,/$)Р, т. е. заряд каждого изображения пропорционален его параметру. Если воспользоваться криволинейными координатами 0 и ф так, что е '- -'э= — хб У вЂ” 1у — й х+У вЂ” 1 у+а где 2й — расстояние ОО', то' ймпЕ у= сь 6 — соз ~р ю Лзп 8 х— сь 8 — соз ы ' Х'+ (у — й С!2 ~р)з=йзСЗСзср, (Х+й С1)1 0)з+дз=йзСЗ)ззО, У2 й У сь 8 — соз гр с(дЧ =х'+,"„' ', с()10= — +у + 2йх ' В этих выражениях следует помнить, что 2сп О=ее+с-е, 2зпв=ее — е-е, в другие функции от В определены через этн тэк же, кэк и соответственные тригонометрические функции. Метод использоввння биполярных коордннэт в этом случае дэн Томсоном в Ееоиж))е'и 7оигла1. 1847 г.
Ом, работу Томсона в Е1есйиса1 Ралегз, 4 211, 212. В своем изложении я использовал исследования проф. Бетти (Агиооо Сгглелго, то1. ХХ) прн изложении энелнтнческого метода, однако я сохрвннл идею электрических изображений, примененную Томсоном в его оригинальных исследованиях (РА11. миа., 1853). Глава Х 1. Теорив влектрическкх ивобрк»кения и вкектрическкк инверсии 231 Поскольку заряд каждого изображения пропорционален его параметру $, а знак его зависит от того, относится ли изображение к типу Р или к типу Я, то Р )' сЬΠ— сов Ч» Р р' сна — сов ~р 5 " Г 5 р сн (О+ 2ко) — сов <р р' сн (2а — Π— 255») — сов Ч» Р р' он Π— сов Ч» Р р' сн 0 — сов»р ~»в Р сн (Π— 255») — сов р У он (20 — 0+255») — сов»р Таким образом, мы нашли положения и величины зарядов для обеих бесконечных последовательностей изображений.
Теперь нам остается определить полный заряд на сфере А, просуммировав все изображения типа (1 и Р', расположенные внутри сферы. Эти суммы можно записать в виде в Ф Р ) 'с)1 Π— сов (р ~~~~ 1 Усн (Π— 2ш) — сов,р — РУс)(Π— созвр ~~» ! » Усн (2а — Π— 255») — сов Ч» Аналогично полный заряд, индуцироваиный на В, равен $- Ф Р)' с)1 Π— сов ср ~ 1» Ус)» (0+255») — со5»р — РУс)(Π— совср ~," 1 Усн (2)) — О+ 2ко) — сов Ч» 173.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
