Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 54
Текст из файла (страница 54)
д. с РА. В точках А, С, Е и т, д., в которых эти прямые пересекают линию центров, расположены положительные изображения, а заряд в каждой точке дается ее расстоянием от точки Р. Последнее из этих изображений находится в центре второй окружностн. Для нахождения отрицательных изображений проведем прямые РО, Р/с н т. д., образующие углы п/и, 2п/и и т.
д. с линией центров. Пересечения этих прямых с линией центров дают положения отрицательных изображений, а величина заряда в них дается нх расстоянием до точки Р, так как, если Е и Π— инверсные точки для сферы А, то углы АРЕ, А()Р равны между собой. Поверхностная плотность в произвольной точке любой из сфер равна сумме поверхностных плотностей, обусловленных системой изображений.
Так, например, поверхностная плотность в произвольной точке 5 сферы с центром в А равна о=4 р ~ т(1+(АР' — АВ') д~,+(А™ — АС') ~~ф+. где А, В, С и т. д.— последовательность положительных изображений. Если точка 5 расположена на окружности пересечения, то плотность в ней равна нулю. Для нахождения полного заряда одного из сферических сегментов нужно найти поверхностный интеграл по этому сегменту от величины индукции, создавае мой каждым изображением. Полный заряд на сегменте с центром в точке А, обусловленный изображением в точке А с зарядом РА, равен где Π— центр окружности пересечения.
Аналогично заряд на этом же сегменте, обусловленный нзображением В, равен (РВ+ОВ)/2 и т. д., причем отрезки ОВ и т. п., отсчитываемые влево от О, считаются отрицательными. Глава Х1. Теория влектрических иаображеииа и влектрическая инверсия 223 Таким образом, полный заряд на сегменте с центром в точке А равен (РА+РВ+РС+...)/2+ (ОА+ОВ+ОС+...)/2 — (РР+РЦ+...)/2 — (ОР+ОЯ+ + ...)/2. 167. Метод электрических изображений может быть применен к любому объему, ограниченному плоскими или сферическими поверхностями, если все эти поверхности пересекаются под углами, являющимися целыми делителями двух прямых углов. Для того чтобы существовала такая система сферических поверхностей, каждый пространственный угол должен быть трехгранным, причем два образующих его угла должны быть прямыми, а третий — либо прямой, либо целый делитель двух прямых углов.
Таким образом, имеются следующие случаи конечного числа изображений 1) одиночная сферическая поверхность или плоскость; 2) две плоскости, сфера и плоскость или две сферы, пересекающиеся под углом и/п; 3) две таких поверхности вместе с третьей поверхностью, плоской или сферической, пересекакхцей первые две под прямым углом; 4) три таких поверхности вместе с четвертой поверхностью, плоской или сферической, пересекающей первые две поверхности ортогонально, а третью — под углом и/и; из этих четырех поверхностей по крайней мере одна должна быть сферической.
Первый и второй случай мы уже рассмотрели. В первом случае имеется единственное изображение. Во втором — (2л — 1)-изображений расположены двумя последовательностями на окружности, проходящей через действующий заряд к ортогональной обеим поверхностям. В третьем случае мы имеем наряду с этими изображениями и действующим зарядом еще их изображения в третьей поверхности, т. е. всего (4л — !)-изображений, не считая действующего заряда.
В четвертом случае проведем сначала через действующий заряд окружность„ ортогональную первым двум поверхностям, и найдем на ней положения и величины и отрицательных изображений и (п — 1) положительных изображений. Затем через каждую из этих 2п точек„включая и точку нахождения действующего заряда, проведем окружность, ортогональную третьей и четвертой поверхностям, и найдем на ней две последовательности изображений по и' изображений в каждой. Таким образом, мы получим, не считая действующего заряда, (2пп' — 1) положительных и 2пп' отрицательных изображений.
Эти 4пп' точек являются точками пересечения окружностей, принадлежащих двум системам линий кривизны циклиды. Если в каждой из упомянутых точек поместить заряд надлежащей величины, то поверхность нулевого потенциала будет состоять из и+п' сфер, принадлежащих к двум семействам, причем последовательные сферы одного семейства пересекаются под углом и/и, сферы другого семейства пересекаются под углом и/и и любая сфера первого семейства ортогональна любой сфере второго семейства. Случай двух взаимно ортогональных сфер (см. рис. 1Ч в конце этого тома) 168. Пусть А и  — центры двух сфер, пересекающих друг друга под прямым углом по окружности, проходящей через точки Р и Р' (см.
рис. 12), и пусть прямая РР' пересекает линию центров в точке С. Тогда точка С является изображением А в сфере В, а также изображением В в сфере А. Если АР=а, а ВР=р, Часть К Электростнтнка то АВ=Уат-)-рт, и если в точки А, В, С поместить соответственно количества электричества а, р и — а)з/)' а'+Р', то обе сферы будут эквипотенциальными поверхностями с единичным потенциалом. С помощью такой системы мы можем, следовательно, определить распределение электричества для следующих случаев: 1) На проводнике РРс/Р', образуемом большими сегментами обеих сфер. По тенциал проводника равен единице, а заряд равен и+ ~ — = АР+ ВР— СР. 'т' ае+бе Это же выражение является, следовательно, и мерой емкости такого проводника, когда он свободен от индуктивного действия У других тел.
Плотность в произвольной точке Р сферы с центром в А и в произвольной точке 0 сферы с центром в В равны соответственно Ф На окружности пересечения плотность равна нулю. Если одна из сфер намного больше дру- гой, то плотность в вершине меньшей сферы Рн в пределе втрое больше плотности в вершине большей сферы. 2) На линзе Р'РЯ'Р', образуемой обоими меньшими сегментами сфер, заряженной количеством электричества = — ар/)~ ат+))е, находящейся под воздействием точек А и В, несущих заряды а и р, и имеющей единичный потенциал.
Плотность в произвольной точке выражается той же формулой. 3) На мениске РРР'О' с зарядом а, подверженном воздействию точек В и С, несущих соответственно заряды )1 и — а))/)~ ат-)-))е и тоже находящемся в равновесии при единичном потенциале. 4) На другом мениске с/РР'Р' с зарядом )), находящемся под воздействием точечных зарядов в А и С. Мы можем также найти распределение электричества на следующих внутренних поверхностях: — полая линза Р'РЯ'Р' под действием расположенного внутри точечного заряда С в центре окружности РР'; — полый мениск под действием точечного заряда в центре вогнутой поверхности; — полость, образуемая двумя большими сегментами обеих сфер под действием трех точечных зарядов А, В, С.
Однако вместо того, чтобы расписывать решения для этих случаев,мы применим принцип электрических изображений для определения плотности электричества, наводимой в точке Р внешней поверхности проводника РРс/Р' под действием единичного точечного заряда, находящегося в точке О. Глава Х 1. Теорнн злектрнческнк нзображенна н злектрнческан ннверснк 22б Пусть ОА==-а, ОВ=-Ь, ОР=г, ВР= — р, АЮ= — а, ВО=(з, АВ='г''аз+))з. Произведем инверсию системы по отношению к сфере единичного радиуса с центром в точке О.
Обе сферы останутся сферами, пересекающимися под прямым углом, с центрами, расположенными на тех же радиусах, что А и В. Если обозначить величины, относящиеся к инвертированной системе, штрихом, то а'=— сс дз сзз ' Ьз — бз ' рзгз+(Ь' — рз) (р' — рз) г' (Ь* — рз)' Ь Ь'=— Ьз — бз й а =— лз — аз ' ! г г Рз Если в инвертированной системе потенциал поверхности равен единице, то плотность заряда в точке Р' равна 4а'( ( ') )' Инвертируя эту систему, получим а' сс р' Р а'р' аб у ' ' т 1 ~ез' ' 1 зеЕ~ч=все Следовательно, полный заряд на проводнике, обусловленный единичным отрицательным зарядом в О, равен а б аб Угазрз+Ьзаз — азрз а дж. К. Мзнсзезз.
т. 1 Если в первоначальной системе плотность в точке Р равна о, то (о/о')жз (1/г'), а потенциал равен 1/г. При помещении в точку О отрицательного единичного электрического заряда потенциал обращается в нуль на первоначальной поверхности, а плотность в точке Р становится равной 1 а' — а'/ нзгз 4п аг' 1 (язгз+(Ьз — аз) (ез нз))з(з )' Это выражение дает распределение электричества на одном из сферических сегментов под воздействием заряда в точке О.
Распределение электричества на другом сферическом сегменте может быть найдено перестановкой а и Ь, а и р и заменой р на с) или А(1. Для нахождения полного заряда, наводимого на проводнике точечным зарядом О, рассмотрим инвертированную систему.
В инвертированной системе мы имеем заряд а' в А', р' в В' и отрицательный заряд а'))'/)Г а"+р'з в точке С', расположенной на прямой А'В' так, что А'С': С'В'=а"; ()". Если ОА'=а', ОВ'=Ь', ОС=с', то а"()" +Ь"а" — а'з()" Честь 1. Электрестлткка 226 Распределение электричества на трех сферических поверхностях, пересекающихся под прямыми углами 169. Пусть радиусы этих сфер равны а, р и у. Тогда ВС=Урй+уй, СА =Ууй+ай, АВ-=Р"ай+~с.
Пусть Р, О, И на рис. 13 — основания перпендикуляров, опущенных из А, В, С на противоположные стороны треугольника, а Π— пересечение этих перпендикуляров, Тогда Р является изображением В в сфере у, а также изображением С в сфере р. Точка О также является изображением Р в сфере а. Пусть в точки А, В и С помещены заряды а, 11 и у. Тогда заряд, который необходимо поместить в точку Р, будет равен Но АР= — е У +У" +а ~, так что у" ай+уй заряд в точке О, рассматриваемой как изображение точки Р, равен азу 1 Убйуй+у'а'+айат т / 1 1 1 !/ ай лй уй !/ + + Таким же путем можно найти систему изображений, электрически эквивалентных четырем сферическим поверхностям, находящимся под единичным потенциалом и пересекающимся под прямыми углами.
Если радиус четвертой сферы равен 6, то, поместив в центр этой сферы заряд б„ получим заряд на пересечении линии центров любых двух сфер, скажем а и 11, с их плоскостью пересечения, равный 1 Заряд на пересечении плоскости любых трех центров АВС с перпендикуляром из центра О равен 1 а заряд на пересечении четырех перпендикуляров равен 1 Глава Хт. Тсврая влватричвских иввбраивкия я влсктричвская иявврсия яят Систлема четырех нгргсекатотцихся лод ирямыми углами сфер нод нулевым нотенциагом, находящихся лод гоздейстгиеи единичного точечного заряда б ь — й ' '* * — т" Р И а = —— а' — ав ' (Приведенные в пп.
169, 170 случаи можно рассмотреть следукяцим образом: взяв три координатные плоскости, перпендикулярные друг другу, поместим в систему восьми точек (~1/2а, ~1/2р, ~1/27) заряды ~е, причем отрицательные заряды помещаются в точки, имеющие одну илн три отрицательные координаты. Очевидно, что координатные плоскости находятся под нулевым потенциалом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
