Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 58
Текст из файла (страница 58)
д. Найти вид такой функции У, которая на этих границах принимает соответственно значения $'„$'е и т. д., постоянные на каждой границе, а внутри области всюду конечна, непрерывна, однозначна и удовлетворяет уравнению Лапласа. Мне неизвестно, было ли дано какое-либо совершенно общее решение даже для этой задачи, но в этом случае применим приводимый в п. 190 метод преобразова- ния, значительно более мощный, чем любой известный нам метод решения для трех измерений, Этот метод основан на свойствах сопряженных функций двух переменных.
Часть П Элеатростатака Определение сопряженных функций 183. Величины а и р называются сопряженными функциями от х и у, если а+У вЂ” 1 р является функцией от х+У вЂ” 1у. Из этого определения следует, что аа еб аа лй — = — и — + — =О, ал ау ау ах й~и И~а атй Етй (2) Таким образом, обе функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Кроме того, (3) Если х и у — прямоугольные координаты, дз,— отрезок кривой (()=сопз1) между кривыми (а) и (сс+исс), а тЬт — отрезок кривой а между кривыми (р) и (Р+Ф) о (4) и кривые пересекаются под прямым углом.
Если положить потенциал равным У=-У,+Ма, где й — некоторая постоянная, то У будет удовлетворять уравнению Лапласа, и кривые (а) будут эквипотенциальными кривыми. Кривые (р) будут при этом силовыми линиями, а поверхностный интеграл от тс по цилиндрической поверхности единичной высоты, проекцией которой на плоскость ху является кривая АВ, равен й (рв — ))л), где ()„ и рв — значения р на концах кривой.
Если построить на плоскости одну совокупность кривых, соответствующую значениям а, взятым в арифметической прогрессии, и другую совокупность кривых, соответствующих последовательности значений р с той же разностью прогрессии, то обе эти совокупности кривых будут пересекаться всюду под прямыми углами, и при достаточно малой общей разности обеих прогрессий элементы, на которые разделится плоскость, будут в пределе малыми квадратами, стороны которых в разных участках поля имеют разное направление и величину, будучи обратно пропорциональными Й. Если две или несколько эквипотенциальных линий (а) являются замкнутыми кривыми, ограничивающими непрерывную область, то эти кривые можно принять за поверхности проводников с потенциалами соответственно У,+йи„У,+йсст и т. д.
Количество электричества на любом из этих проводников, расположенное между силовыми линиями (11,) и (рт), равно Й ((1т — ~,)/4п. Таким образом, число эквипотенциальных кривых между двумя проводниками будет показывать разность потенциалов между ними, а число силовых линий, выходящих из проводника, будет показывать количество электричества на нем.
Ниже мы сформулируем некоторые из наиболее важных теорем, касающихся сопряженных функций, причем при их доказательстве мы будем исходить либо из уравнений (1), содержащих производные, либо из первоначального определения, использующего мнимые обозначения. Глава Х11. Теорнм сохраненных фунннмй в двух мзмервнннх 24! 184. Т е о р е м а 1. Если х' и у' — сопрязсенные функции по отношению к х и у, а х' и у" — тоже сояряхсенные функции по отношению к к и у, то функции х'+х" и у'+у' будут сопряхсенными функциями по отношению к х и у.
Действительно, — = — и — =- — ', так что йх' ву' Н" ф", в' (х'+х") и'(у'.— 'у") ' вх Еу вх ву ' мх ву йх' Еу' йх" Еу» и' (х'+х") Е (у'+ у') Далее, — =- — — и — =- — — „откуда ву Их му лх " ву вх т. е. х'+х" и у'+у" являются сопряженными по отношению к х и у. Графическое представление функции, являющейся суммой двух заданных функций Пусть функция (а) от х и у графически представлена семейством кривых в плоскости ху, каждая из которых соответствует некоторому значению а из последовательности значений, нарастающих с постоянной разностью 6.
Пусть другая функция ф) от х и у аналогично представлена семейством кривых, соответствующих значениям )) с той же разностью, что и в последовательности а. Тогда для аналогичного представления функции (а+))) нужно провести кривые через точки пересечения предыдущих семейств кривых, соединив точку пересечения кривых (а) и ф) с точкой пересечения кривых (а+6) и ф — 6), далее с точкой пересечения (а+26) и ф — 26) и т. д. Во всех этих точках функция имеет одно и то же значение (а+р).
Следующая кривая может быть проведена через точки пересечения (а) и ф+6), (а+6) и ф), (а+26) и ф — 6) и т. д. Этой кривой соответствует значение функции (а+р+6). Таким образом, можно по имеющемуся семейству кривых (а) и семейству ф) построить семейство кривых (а+р). Эти три семейства кривых могут быть построены на отдельных листах прозрачной бумаги. Совместив соответственно первый и второй листы, можно произвести построение на третьем листе. Комбинируя таким образом сопряженные функции с помощью сложения, можно легко получить графики для многих интересных случаев, если только мы можем построить их для более простых случаев, входящих в качестве слагаемых. Однако в нашем распоряжении имеется и значительно более мощный метод преобразования решений, даваемый следующей теоремой. 185. Т е о р е м а 11, Пусть х" и у" — сопряженные функции по отношению к переменным х' и у', а х' и у' — сопряженные функции по отношению к х и у, тогда х" и у" будут сопряженными функциями по отношению к х и у.
вх' вх" нх' нх" ву' Ну' му' Еу' нх' Ну Действительно, —, + „, —, „+ вх" нх" Нх' Ех" ву' ну" ву' ву" вх' ву" ну вх' лу Ыу' Ну Еу' вх лх лх вх ' а это как раз условия того, что х" и у" — сопряженные функции от х и у. Это можно показать также, исходя из первоначального определения сопряженных функций. Поскольку х"+у' — 1у" является функцией от х'+У вЂ” 1 у', а х'+ Часть 1.
Злектростаткка 242 +У вЂ” 1 у' является функцией от х+У вЂ” 1 у, то х"+У вЂ” 1 у" является функцией от х+У:1у. Точно так же можно показать, что если х' и у' — сопряженные функции от х и у, то х и у — сопряженные функции от х' и у'. Эту теорему можно графически интерпретировать следующим образом.
Пусть х и у' приняты за прямоугольные координаты и на чертеже построены кривые, соответствующие значениям х" и у", взятым в арифметической прогрес- сии. Мы получим, таким образом, два семейства кривых, разбивающих чертеж на квадратики. Построим также на чертеже горизонтальные и вертикальные пря- мые на равных расстояниях друг от друга, пометив их соответствующими значе- ниями х' и у'. Пусть теперь на другом чертеже х и у приняты за прямоугольные координаты и построено два семейства кривых х', у', помеченных соответствующими значения- ми х' и у'. Эта система криволинейных координат будет однозначно соответство- вать прямоугольной системе координат х', у' на первом чертеже. Таким образом, если взять произвольное число точек на кривой х" первого чертежа, заметить значения х' и у' в этих точках и отметить соответствующие точки на втором чертеже, то мы получим ряд точек преобразованной кривой х".
Если проделать такое построение для всех кривых х" и у" первого чертежа, то на втором чертеже получится два семейства кривых х", у", отличающихся от преж- них, но обладающих тем же свойством разбиения чертежа на квадратики. 166. Т ео р е м а П1.
Если У вЂ” произвольная функция от х' и у', а х' и у — сопряженные функции от х и у, то ('1 (И~У+а"-У) а а Д (Вау Вау) го,, где интегрирование справа и слева производится в соответствующих пределах. Действительно, ВУ ВУ Вх' ВУ Ву' — = — — + — т— вх вх' вх ву нх ' Иау ВаУ /Вх'ха Вау Вх' ау' ааУ Iеу'1' ВУ Вах' ВУ Вау' вха их а ! вх ) вх'ву' вх «х иу'а) вх ) вх' вха ву' вха ' йЧ' Вау рвх'1а Вау вх' Ну', Вау 1'Иу'1а НУ ~Рх' ВУ аау' Вуа Вх'а 1 Иу,! Вх'Ну' Ну Ну ! Ну'а ~ Ву / + Вх' Вуа Ыу' Иу~' Складывая два последних уравнения и учитывая условие (1) для сопряженных функций, получим откуда Глава Х! 1.
Теорнв современных функция в двух намерениях 243 Если $' — потенциал, то, согласно уравнению Пуассона, век, век — + — +4пр== О, Вхв Вуе е" так что ) ) рс(хс(у=-) ) р'дх'с(у', т, е. количество электричества в соответствующих участках обеих систем одинаково, если координаты одной системы являются со- пряженными функциями координат другой системы. Дополнительные теоремы о сопряженных функциях 187. Т е о р е м а 1Ч. Если х, и у„а пигкже х, и у, являются сопряженными функциями от х и у, а Х=х,х,— у,у, и У=х,у,+хеу„то Х и У вЂ” сопряженные функции от х и у. Действительно, Х+У:)у=(х,+У:1у,)(х,+у:1у,), Т ео р ем а Ч.
Если гр — решение уравнения — те+у=0, а 2И=-1п((ф) +(+) ~ и 6=- — агс1к в то Н и 9 — сопряженные функции от х и у. Действительно, И и  — сопряженные функции от д~Яу и дф1дх, а последние являются сопряженными функциями от х и у. р= 1п1(у х'-1-уе)1а1, О=-агс1и(у~х), ..О, у=-: з)п О, так что р и О являются сопряженными функциями от х и у. Если р'=-пр и О'=.пО, то р' и О' будут сопряженными функциями от р и О. При и=- — 1 г'=ае/г и О'=- — О, (б) т. е. мы имеем дело с обычной инверсией в сочетании с поворотом ня 180' от направления ОА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
