Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Количество электричества на части этой полосы, простирающейся от х,' до- «~, равно (~,— гр,)/4я, следовательно, количество электричества от начала коор дпнат до х'=а на одной стороне средней пластины равно = — 1п (е ~ь -1-)Гсь ~ь~ — 1). Глава Х(!. Теорнн еопрнлгенных фунхинй в двух нвмеренннх 25! всей границы, а поверхностная плотность на этой увеличенной пластине та же, что на участках первоначальной пластины, удаленных от границы. Таким образом, если Я вЂ” истинная площадь пластины, Š— ее периметр, а  — расстояние между большими пластинами, то Ь= В/и (13) и ширина дополнительной полоски равна и=(В 1и 2)/ж, гак что площадь увеличенной пластины равна 3'=Я+ (ВЕ 1и 2)/и, (15) л емкость одной стороны средней пластины равна ! 5' ! (5, 1 — — = — 1( — +Š— 1и 2) . 2нВ 2л1В ' н (1 б) Поправки на толщину пластины Значение гр на этом краю равно О, а в точке, для которой х'=а (а/Ь велико), оно приблизительно равно (а+Ь 1п 2)/Ь.
Таким образом, общее количество электричества на пластине таково, как если бы к ней добавлялась полоса шириной — (!п2-1- !исоа — ), т. е. — 1п (2соз— В( пй! В / нй~ и ( 2В,)' ' ' п (, 12В /" а плотность была бы всюду постоянной и равной плотности вдали от границы. Плотность у края (18) Поверхностная плотность в любой точке пластины равна 'Р— — 1 .1 в-глчь ь в-ггчь+ ) 4н г(х' 4нь р' ыть ! 4нь ~ 2 ' 8 (19) Величина в скобках быстро приближается к единице с ростом х', так что на расстоянии от границы, превышающем в и раз ширину полосы а, истинная плотность превышает нормальную примерно на 1/2'""' от нормальной плотности.
Поскольку толщиной средней пластины в общем случае нельзя пренебречь по сравнению с расстоянием между пластинами, можно получить лучшее описание этого случая, приняв сечение промежуточной пластины соответствующим кривой ~=1'. При этом пластина будет иметь почти постоянную толщину (3=2ЬгР' вдали от границы и закругление у края.
Истинное положение края пластины можно найти, положив у'=О, откуда х'=Ь 1и соз гр'. (17) Часть К Эаеатрастатнаа Аналогично можно найти плотность на бесконечных пластинах (21) При больших ~р эта величина стремится к Ье 'т, так что кривая приближается к прямой линии, параллельной оси у' и находящейся на расстоянии а от этой оси с положительной стороны. Если принять, что плоскость х'=а поддерживается под постоянным потенциалом, а система параллельных плоскостей — под другим потенциалом, то, поскольку Ь~р=а+Ып 2, поверхностная плотность электричества, наведенного на плоскости, такая же, как при помещении плоскости, параллельной данной, при потенциале, равном' потенциалу последовательности плоскостей, на расстоянии, превышающем расстояние до краев плоскостей на Ь !п 2.
(20) 4на ~/саста+1 При х'=О плотность составляет 2-' от нормальной плотности. В сторону положительных х' на расстоянии от границы, превышающем в а раз ширину граничной полосы, плотность меньше нормальной примерно на 1!2'"" от нормальной плотности. На таком же расстоянии в сторону отрицательных х' плотность составляет примерно 1/2" от нормальной плотности.
Эти результаты позволяют судить о степени точности, на которую можно рас- считывать при применении этих методов к пластинам ограниченных размеров или при наличии нерегулярностей недалеко от границы. Такое же распределение имело бы место и в случае бесконечной последовательности одинаковых пластин на равных расстояниях друг от друга, потенциалы которых попеременно равны + т' и — 1~. В этом случае расстояние между пластинами следует принять равным В 197. (2) Второй случай, который мы рассмотрим,— это случай бесконечной со- вокупности плоскостей параллельных х'г, отстоящих друг от друга на расстоя- ние В=кЬ и ограничиваемых плоскостью у'г, так что они расположены лишь с отрицательной стороны от этой плоскости. Если считать ~р потенциальной функ- цией, то эти плоскости можно рассматривать как проводники под нулевым потен- циалом. Рассмотрим кривые постоянного ср. При у'=ллЬ, т.
е. на продолжении каждой плоскости, х'=Ь 1п [(еа+е т )Г2]. При у'= — [л+ (112)]кЬ, т. е. в промежуточных положениях, х'=Ь 1п[(ет — е-т)!2], (22) Таким образом, при больших ~р кривая постоянного ~р имеет волнообразный характер, Среднее ее расстояние от оси у' приблизительно равно а=Ь (ср — 1и 2), (23) а амплитуда колебаний по обе стороны от этой прямой равна (24) Глава Х !!. Теории сопрнженнмх Функция в двух нзмеренннх Если  — расстояние между двумя плоскостями бесконечной последовательности, В=пЬ, то дополнительное расстояние равно а=(В 1п 2)/и. (25) 198.
Рассмотрим теперь объем, заключенный между двумя эквипотенциальными поверхностями, одна из которых состоит из последовательности параллельных волн, а вторая соответствует большим значениям Ф и может приближенно считаться плоской. Если Π— глубина этих колебаний, измеряемая от вершины до впадины каждой волны, то для соответствующего значения гр получим ешь,. ! — 1п (26) е — 1 Значение х' в вершине волны равно Ь 1и [(ее+е е)/21. (27) Таким образом ', если А — расстояние от вершин волн до противолежащей плоскости, то емкость системы, состоящей из плоской поверхности, и волнообразной поверхности такая же, как для двух плоскостей, находящихся на расстоянии А+а', где  — ВВ ьВ В ьВ а' (29) 4нА +[4х(А+а') 4пА 4нА А+се' При А много больше В или а' поправка, согласно (28), принимает вид ВВз 2 4пзАз ! 1 е-нп/з ' — — 1п (30) з Пусть Ф вЂ” потенциал плоскости, а ~р — потенциал волнообразной поверхности. Количество электричества на плоскости, прнходньцеесн на единицу плон!ада, равно 1/4 лЬ.
Следовательно, емкость =1/4 пЬ(Ф вЂ” м), =!/4н(А+а') (по предположению). Таким образом, А+а'=Ь (Ф вЂ” чр). Но А+Ь 1п Кее+е-е)/2)=Ь(Ф вЂ” !п 2). Следовательно, а'= — Ь<р+Ь(1п 2+1п'/з(ее+с-е))=Ь 1п(1+е-'е)=Ь 1п [2/(1+е о/ь)1/, согласно (26). а' = — 1п (28) 1+ е" 199. Если в проводнике с плоской поверхностью проделана отдельная канавка такой формы, а другой проводник представляет собой плоскую поверхность на расстоянии А, то емкость одного проводника по отношении к другому при этом уменьшаегся.
Уменьшение емкости не превышает (1/и)-й части уменьшения, вызываемого л такими рядом расположенными канавками, потому что в последнем случае средняя электрическая сила между проводниками будет меньше, чем в первом, так что индукция на поверхности каждой канавки будет уменьшена за счет соседних канавок. Пусть /. — длина,  — ширина, )) — глубина канавки.
Емкость участка противостоящей плоскости площади Я будет равна Часть !. Эаектростаткка а для щели бесконечной глубины, полагая 0=ос, получим Е Эт 4ле Ле — — 1п 2. (31) Чтобы найти поверхностную плотность на семействе параллельных пластин, нужно определить о'= 4„1,, при р=О. Расчет дает 1 Щ 1 1 (32) 4лэ )/ — т»уь Средняя плотность на плоской пластине, находя!цейся на расстоянии А от краев семейства пластин, равна о=1!4лЬ. Следовательно, на расстоянии псе от края каждой пластины поверхностная плотность равна (2'" — 1) — Ч~ от этой средней плотности. 200.
Попытаемся теперь вывести из наших результатов распределение электричества в конфигурации в виде семейства коаксиальных цилиндров перед плоскостью, образуемой вращением двумерной системы из п. 197 вокруг оси у'= — )с. В этом случае уравнение Пуассона примет вид а1'т', ату ! ат' едут я) угнув — — , '—,, +,—,+4лр =О. Примем, что )г равно функции у из п. !93, и определим значение р из этого уравнения, Мы знаем, что первые два члена сократятся, так что ~р 4л Я 1-у' ~у' ' (34) Ю Ю рс(Х = ) 4 ' Ь' !)» 4 '(тр 1р„) = — —, (2 и — 1) .
(35) 4л Я+ у' а»' Если предположить, что, кроме уже рассмотренной ранее поверхностной плотности, имеет место объемное распределение электричества по установленному выше закону, то распределение потенциала будет даваться кривыми на рис. Х1. Но из рис. Х 1 видно, что с(!рlпу' очень мало, за исключением областей вблизи границ пластин, так что это новое распределение можно приблизительно представить некоторым поверхностным распределением электричества у краев пластин.
Если, следовательно, вычислить интеграл )рЫс(у' от у'=О до у'=лЫ2 и от х'= — сс до х'=+ас, то можно найти полный дополнительный заряд на одной сто,роне пластин, обусловленный кривизной, Поскольку —, = — —,, то ау' а»' Глава Х! !. Теорнн сопрнменнмх функций в двух нвмеренннх 255 Интегрируя по у', получим В!2 Ф 1 1 20+В 2В+В 8 В В 2Я 1 р~(х'1!у'=- — — — — )п —, 0 -Ф Ве 32В '192Ве (36) (37) ох = (1е Ч'- )= Р1Л,, ! 4н оу' 4н Ф Следовательно, при добавлении сюда полного найденного выше распределения этот заряд следует умножить иа множитель 1+ (В72)с), чтобы получить полный заряд иа положительной стороне. Для диска радиуса Я, помещенною между двумя яараллельиыми плоскостями иа расстоянии В, мы получим следующее выражение для емкости диска: (38) Теория тоиеоноеского защитного кольца 201.
В некоторых электрометрах Сэра У. Томсона большая плоская поверхность (большой диск) поддерживается под некоторым потенциалом, а иа расстоянии А от этой поверхности помещен плоский диск радиуса К окруженный большой плоской пластиной, называемой Защитным кольцом, в которой имеется круглое отверстие радиуса К, концентрическое диску. Этот диск и пластина поддерживаются под нулевым потенциалом. Промежуток между диском и защитной пластиной можно рассматривать как круглую канавку бесконечной глубины и ширины К вЂ” К, которую мы обозначим через В.
Заряд иа диске, обусловленный единичным потенциалом большого диска, будет в предположеиии однородной плотности равен В'/4А. Заряд с одной стороны прямолинейной канавки ширины В, длины Г=2пй я бесконечной глубины может быть оценен по числу силовых линий, исходящих яз большого диска и попадающих иа эту сторону каиавки. Таким образом, соглас- Это выражение дает половину полного количества электричества, приходящегося иа единицу длины, которое мы должны считать распределенным в простраистве вблизи края одного из цилиндров. Г1оскольку эта объемная плотность заметка лишь вблизи края пластины, мы можем считать все электричество сосредоточеииым иа поверхиости пластины, ие изменив при этом заметным образом его воздействие иа противолежащую плоскую поверхность. При расчете притяжения этой поверхности к цилиндрической поверхности мы можем считать это электричество расположенным иа цилиндрической поверхности.
Если бы никакой кривизны ие было, то избыточный заряд иа положительной стороне пластины, приходящийся иа единицу длины, был бы равен Часть 1. Электростаткка но п. 198 и примечанию, заряд равен — /.В 2 4пэ' ' ' 4 А+а'' поскольку в этом случае Ф=1, ~р=О и, следовательно, 8=А+а'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
