Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Эти результаты справедливы в предположении, что Ь, и Ь, много больше а, а а много больше с. Величина а имеет размерность длины и может принимать любое значение. Она становится бесконечно большой при неограниченном уменьшении с. Если положить с=-а/2, то между проволочками решетки не будет никакого зазора, так что не будет никакой индукции через решетку. Поэтому а должно Часть 1. Электростатнка 200 было бы быть равным О. Но формула (11) дает в этом случае а= — (а/2п) 1п 2= = — О,!!а, что, очевидно, неверно, так как решетка никогда не может привести к изменению знака индукции.
Нетрудно, однако, в случае решетки и цилиндрических проволочек перейти к более высокому приближению. Я здесь только намечу основные этапы такого перехода. Метод приближения 206. Поскольку проволоки имеют цилиндрическую форму и распределение электричества на каждой проволоке симметрично относительно диаметра параллельного оси у, то подходящее разложение для потенциала имеет вид Ъ'=С,!п г+ХС;га соз (О, (14) где г — расстояние от оси проволочек, а 0 — угол между г и у.
Поскольку проволока является проводником, то при г равном радиусу проволоки )г должно быть постоянно, и, следовательно, коэффициенты при всех косинусах дуг, кратных О, должны обращаться в О. Перейдем для краткости к новым координатам $, т! и т. д., так что а$=2пх, ат(=-2пу, ар=2лг, ар=2пЬ и т. д., (15) и пусть г а —— !п (еч'а + е-'э+м — 2 соз с) .
(1б) Тогда, положив йод У = Аога+ А,— „+А, —, + . (17) мы можем, выбрав соответствующие значения коэффициентов А, представить любой потенциал, являющийся функцией от т! и соз $ и не обращающийся в бесконечность нигде, кроме т!+р=О и соз $=1. При р=О разложение г" по р и 8 имеет вид г =- 2! и р + - р' соз 20 — — р' сов 40-1-....
1 о 1 о 12 1440 Для конечных значений !) разложение Р имеет вид 1+с В .,-в Ра = !3+ 2 1п (! — е ") + — р соз 0 — ', р'соз 20+.... (19) е-а (1 — е в) В случае решетки с двумя проводящими плоскостями, уравнения которых о)=(1, и и= — !)о, а уравнение плоскости решетки п=О, получатся два бесконечных ряда изображений решетки.
Первый ряд будет состоять из самой решетки и бесконечной последовательности изображений с обеих сторон с зарядом той же величины и знака. Оси этих воображаемых цилиндров лежат в плоскостях, уравнения которых имеют вид о(=~2п (()о+Р,). (20) Второй ряд будет состоять из бесконечной последовательности изображений, для которых коэффициенты А„А „А, и т. д. равны и противоположны по знаку соответствующим величинам для самой решетки, а коэффициенты А„А, и т. д, Глава Х! К Теорнн современных функций в двух нзмереннкх 281 совпадают по величине и по знаку с соответствующими коэффициентами для решетки.
Оси этих изображений расположены в плоскостях, уравнения которых имеют вид )1=2~а~-2т ф(+))а), (21) где т — целое. Потенциал, создаваемый любой бесконечной последовательностью таких изображений, будет зависеть от того, четно или нечетно число изображений.
Таким образом, потенциал бесконечной последовательности остается неопределенным, но если добавить к нему функцию Вт)+С, то условия задачи достаточны, чтобы найти распределение электричества. Сначала нужно выразить потенциалы двух проводящих плоскостей У, и У, через В, С и коэффициенты А„А„.... Затем нужно определить поверхностные плотности о„оа в произвольной точке этих плоскостей. Средние значения оа и о, даются уравнениями 4по,=(2/(/а) (Аа — В), 4ааа=(2п/а) (Аа+В), Затем потенциалы самой решетки и всех изображений следует разложить по р и по косинусам дуг, кратных О, и добавить к ним В р соз О+С. Члены, не зависящие от О, дают при этом потенциал решетки У, а приравнивание к нулю коэффициентов при косинусах дает уравнения для неопределенных коэффициентов.
Полученных таким образом уравнений достаточно для того, чтобы исключить все эти коэффициенты и свести к двум уравнениям, выражающим о, и оа через У„1/, и У. Эти уравнения имеют вид У,— У=4по; (Ь,+а — Т)+4поа (а+у), У,— У=4по, (а+у)+4яав (Ь,+а — Т). (23) Количество электричества, наводимое ня одной из плоскостей, защищенной решеткон, другой плоскостью при заданной разности потенциалов, будет таким, как если бы плоскости находились не на расстоянии Ь,+Ь„а на расстоянии (а — Т) (Ь,+Ь,+Ь,Ь,— 4ау)/ (а+у). Значения а и у приближенно равны а 1 а 5 л'с' а= — а1п — — — °,, + 2л ( 2лс 3 )заа 4- л'с' эс-ал(с,аса)/с(1 .
с-ал(Ь/а) 1 а-ал(ь/а) 1 ) 1 З а у,-ал (Ь,/а) -ал(Ь,/а) Зла-1-ЛЬСЬ ( ) — ав(Ь,/а) ( -ав(Ьа/а))+ ' ' ' 262 Часть 1. электростатике ГЛАВА Х!11 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ Об электростатических приборах Приборы, которые нам теперь нужно рассмотреть, можно разделить на следующие классы: 1) Приборы для получения и увеличения электризации, 2) Умножители — для увеличения электризации в известное число раз. 3) Электрометры — для измерения электрических потенциалов и зарядов.
4) Накопители — для удержания больших электрических зарядов. Электрические машины 207. В обычной электрической машине стеклянная пластинка или стеклянный цилиндр приводятся во вращение так, чтобы при этом происходило трение о кожу„ на поверхность которой наносится амальгама цинка и ртути. Поверхность стекла электризуется положительно, а натирающая поверхность (щетка) — отрицательно. Когда электризованная поверхность стекла отходит от отрицательно электризованной щетки, стекло приобретает высокий положительный потенциал. Затем поверхность проходит мимо набора заостренных металлических стержней, соединенных кондуктором машины.
Положительная электризация стекла вызывает отрицательную электризацию иголок, которая тем больше, чем острее иголки и чем они ближе к стеклу. Когда машина работает должным образом, между стеклом и остриями происходит разряд через воздух, стекло теряет часть своего положительного заряда, заряд переходит на острия и, таким образом, попадает на изолированный главный кондуктор машины, т. е. на любое другое тело, которое находится с ним в электрическом соединении. Те участки стекла, которые приближаются к щетке, имеют меньший 'положительный заряд, чем те, которые в то же самое время удаляются от щетки, так что щетка и связанные с ней проводники становятся отрицательно электризованными. Поверхность стекла с высоким положительным потенциалом, удаляющаяся от щетки, сильнее притягивается отрицательным зарядом щетки, чем частично разряженная поверхность, которая приближается к щетке.
Поэтому электрические силы действуют как сопротивление той силе, которая приводит машину во вращение. Таким образом, работа, затраченная на вращение машины, оказывается больше, чем работа, затраченная на преодоление обычного трения и других сил сопротивления, а избыток идет на создание состояния электризации, энергия которого эквивалентна этому избытку.
Работа, затраченная на преодоление трения, сразу переходит в тепло в трущихся друг о друга телах. Электрическая энергия также может быть обращена либо в механическую энергию, либо в тепло. Если машина не запасает механической энергии, то вся энергия будет обращена в тепло, и единственная разница между теплом от трения и теплом от электрического действия заключается в том, что первое порождается на трущихся по 263 Глава Х 111.
Эзектростатнческие приборы верхностях, в то время как второе может порождаться в проводниках на расстоянии '. Мы видели, что электрический заряд на поверхности стекла притягивается щеткой. Если бы это притяжение было достаточно велико, то вместо разряда между стеклом и собирающими остриями мог бы возникнуть разряд между стеклом и щеткой. Чтобы этого не произошло, к щетке прикрепляются кусочки шелка. Они отрицательно электризуются и прижимаются к стеклу и, таким образом, уменьшают потенциал вблизи от щетки.
Поэтому по мере того как стекло отходит от щетки, потенциал возрастает не так быстро и, таким образом, в каждой точке притяжение заряда на стекле к щетке оказывается меньше, а следовательно, уменьшается и опасность прямого разряда на щетку. В некоторых электрических машинах движущаяся часть сделана из эбонита, а не из стекла, а щетка — из шерсти или меха. В этом случае щетка заряжается положительно, а главный кондуктор — отрицательно.
Элпкгпрофор Вольпга 208. Электрофор состоит из смоляной или эбонитовой пластины, которая имеет сзади металлическое покрытие, и из металлической пластины того же размера. К задней стороне каждой из этих пластин может быть привернута изолированная рукоятка. Эбонитовая пластина имеет металлическую иглу, и, когда металлическая и эбонитовая пластины соприкасаются, эта игла соединяет металлическую пластину с металлическим покрытием на задней стороне эбонитовой пластины.
Эбонитовая пластина электризуется отрицательно трением о шерсть или кошачью шкурку. Затем при помощи изолирующей ручки к эбониту подносится металлическая пластина. Между эбонитом и металлической пластиной не происходит прямого разряда, но вследствие индукции потенциал металлической пластины становится отрицательным, так что, когда она подходит на определенное расстояние к металлической игле, проскакивает искра.
Если теперь металлическую пластину отвести на некоторое расстояние, то окажется, что она заряжена положительно, и ее заряд может быть передан проводнику. При этом металлическое покрытие на обратной стороне эбонитовой пластины получает отрицательный заряд, равный по величине и противоположный по знаку заряду на металлической пластине. При использовании этого прибора для зарядки конденсатора или накопителя одна из пластин помещается на проводнике, соединенном с землей, а другая сначала кладется на первую, затем снимается и приводится в соприкосновение с электродом конденсатора, затем кладется на закрепленную пластину, и процесс повторяется.
Если закреплена эбонитовая пластина, конденсатор будет заряжен положительно. Если закреплена металлическая пластина, конденсатор будет заряжен отрицательно. ' Представляется вероятным, что во многих случаях, когда динамическая энергия превращается в тепло нз за трения, часть энергии может сначала перенти в электрическую энергию, а затем преобразовываться в тепло по л~ере того, как электрическая энергия затачивается на поддержание замкнутых токов вблизи от трущихся поверхностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
