Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Так, при а=0 ребро бесконечно острое, как край математической плоскости. В этом случае плотность меняется обратно пропорционально квадратному корню из расстояния от края. При а= — и/3 ребро такое, как у равносторонней призмы, а плотность меняется обратно расстоянию в степени 2/5. При а — и/2 угол у ребра прямой, а плотность обратно пропорциональна корню кубическому из расстояния. При а=2п/3 ребро подобно ребру правильной шестигранной призмы, а плотность обратно пропорциональна корню четвертой степени из расстояния. При а=я ребро исчезает н плотность постоянна. При а=4п/3 угол у ребра равен внешнему углу шестигранной призмы, а плотность прямо пропорциональна корню четвертой степени из расстояния от ребра. При а=Зп/2 ребро представляет собой входящий прямой угол, а плотность ,прямо пропорциональна расстоянию от ребра. При а=5п/3 у ребра входящий угол 60', а плотность пропорциональна квадрату, расстояния от ребра.
В действительности, во всех случаях, когда плотность становится бесконечной в какой-либо точке, имеет место электрический разряд в диэлектрик в этой точке, как было пояснено в п. 55. П р и м е р У. Эллипсы и гиперболы. Рис. Х 192. Мы знаем, что, если положить х, =ее созф у, = ее з)п ф, то х, и у, будут сопряженными функциями от ср н ф. Точно так же, если х,=е есозф, уе=е есйпф, (2) то х, и у, будут также сопряженными функциями от ~р и ф. Следовательно, если положить 2х=-х,+х,=-(ее+е е)созФ, 2у=-у,+у,=(ее+е-е)ь!пф, (3) Часть !. Ваеатростатааа то х и у также будут сопряженными функциями от гр и ф. В этом случае точки с постоянным гр лежат на эллипсе с осями ет+е т и ет — е т.
Точки, для которых постоянноф, лежат на гиперболе с осями 2 сов ~р и 2 з!и ф. На оси х между х= — 1 и х=+1 имеем (4) р=О, ф=агссоз х. Вне этих пределов с обеих сторон на оси х> 1, ф=2пл, <р=1п(х-";Ух' — 1), х < — 1, ф = (2л+ 1) л, ср = !п (Ух' — 1 — х). (8) Таким образом, считая у потенциальной функцией, а ф — функцией потока, мы приходим к случаю потока электричества с положительной стороны оси х на отрицательную через промежуток между точками — 1 и +1, причем участки оси вне этих пределов непроницаемы для электричества. Поскольку ось у в этом случае является линией потока, мы можем ее также считать непроницаемой для электричества.
Мы можем рассматривать также эллипсы как сечения эквнпотенциальных поверхностей для бесконечно длинного плоского проводника ширины 2, заряженного половиной единицы электричества на единицу длины. (Учитывается заряд с обеих сторон плоского проводника.) Если считать ф потенциальной функцией, а ~р — функцией потока, то мы приходим к случаю бесконечной плоскости, в которой вырезана полоса шириной 2 и у которой одна сторона заряжена до потенциала л, а вторая остается под нулевым потенциалом. Эти задачи можно считать частными случаями поверхностей второго порядка, рассмотренных в главе Х. Форма кривых показана на рис.
Х !в конце книги!. ПримерН1. Рис. Х1 193. Пусть теперь х' и у' — функции от х и у, причем х'=Ь !п)Г х'+у', ус=Ь агс!а (у/х). тб) Тогда х' и у' будут также сопряженными функциями от гр и ф, определенных в п. 192. Кривые, получающиеся при преобразовании рис. Х к новым координатам, приведены на рис. Х1. Если х' и у' — прямоугольные координаты, то свойства оси х на первой фигуре переносятся на последовательность кривых, параллельных х', на второй фигуре, для которых у'=Ьл'л, где л' — произвольное целое число.
Положительные значения х' на этих кривых будут соответствовать значениям х, большим единицы, для которых, как мы уже видели, ф=, р=! ( —.У»' — 1)=! (*у+У "ч — 1). (7) Отрицательные значения х' на тех же кривых будут соответствовать значениям х, меньшим единицы, для которых, как мы видели, гр = О, ту = агссоз х = агссоз ес"Чм. (8) Глава Х11. Теорнн сопряженных функций в двух нвнеренннх 249 Свойства оси у на первой фигуре переносятся на последовательность кривых на второй фигуре, параллельных х', для которых у'=Ьп(п'+ (1/2)).
(9) На этих кривых ф=п[п+ (1!2)1 для всех точек, как положительных, так и отрицательных, а ф =-!и (у+)'9' ! 1) 1п (е1лты )Ге1елпа1 1) (1О) Кривые, для которых ф и ф — постоянны, можно усмотреть непосредственно из уравнений к' =- — Ь 1п — (е'е -~- е- ее + 2 соз 2ф), 1 ! 2 4 у'=Ьагс1ц( 1Кф) ~ е +е е Поскольку фигура повторяется через интервалы пЬ по у', достаточно рассмотреть кривые для одного такого интервала.
Следует различать два случая, в зависимости от того, какая из двух функций, ф или ф, меняет знак вместе с у'. Предположим, что знак меняет функция ф. Т~ гда любая кривая, для которой ф постоянно, будет симметрична относительно ос11 х' и ортогонально пересекать эту ось в некоторой точке отрицательной полуоси х'. Если начать с этой точки, для которой ф=-0, и постепенно увеличивать ф, то кривая будет постепенно изгибаться от первоначально ортогонального к оси до почти параллельного (при больших ф) направления. Положительная полуось х' принадлежит к системе ф=сопз(, а именно ф на ней равно нулю, а при у'=~пЬ72 ер=п12. Таким образом, кривые, для которых ф имеет постоянное значение между 0 и и!2, образуют систему кривых, охватывающих положительную полуось х'.
Кривые, для которых ф постоянно, пересекают ортогонально систему кривых еу, причем значения ф лежат в пределах от -'-по до — оо. Для любой кривой ф, построенной выше оси х', значение ф положительно, вдоль отрицательной полуоси х' значение ф равно нулю, а для любой кривой ниже оси х' значение ф отрицательно. Мы видели, что система ф симметрична относительно оси х'. Пусть РЦй— любая кривая, ортогонально пересекающая эту систему и оканчивающаяся в точках Р и Я на линиях у'=~пЫ2, причем точка (! лежит на оси х'. Тогда кривая Рмл'. симметрична относительно оси х', но если с — значение ф вдоль РЯ, то значение ф вдоль Я)с равно — с. В случае, рассматриваемом в п.
195, эта разрывность в значениях ф объясняется распределением электрического заряда. Если же считать, что не ф, а Ф меняет свой знак вместе с у', то значение ф будет меняться от 0 до по, При ф=0 мы имеем отрицательную полуось х', при ф= = по — бесконечно удаленную прямую, перпендикулярную к оси х'.
Вдоль любой кривой РЯК, расположенной между этими двумя кривыми, пересекающей ортогонально ф-систему, значение ф постоянно по всей длине и положительно. Значения ф испытывают теперь скачок в точке, где кривая постоянного значения ф пересекает отрицательную полуось х', знак ф при этом меняется. Значение этой разрывности ф станет ясно в п.
197. Кривые, построение которых здесь описано, приведены на рис. Х1. При этом следует ограничиться двумя третями графика, отбросив верхнюю треть. 194. Если считать ф потенциальной функцией, а ф — функцией потока, то мы приходим к случаю бесконечно длинной металлической полосы шириной пЬ Часть 1. Эасатростатака 250 Если а много больше Ь, то = — 1п 12с~ а~ы~ а+Ь 1и 2 4л 4яЬ (12г Таким образом, количество электричества на пластине, ограниченной прямолинейным краем, больше, чем оно было бы при равномерном распределении с плотностью, равной плотности вдали от границы, и равно количеству электричества, равномерно распределенному с той же плотностью по пластине, ширина которой увеличена на Ь 1п 2 за пределы ее фактической границы.
Это воображаемое однородное распределение указано пунктирными прямыми на рис. Х1. Вертикальные прямые изображают силовые линии, а горизонтальные — эквипотенциальные поверхности в предположении однородной плотности в обеих плоскостях, продолженных до бесконечности во всех направлениях. 196. Иногда конденсаторы представляют собой пластину, помещенную посредине между двумя параллельными пластинами, простирающимися значительно дальше, чем промежуточная пластина. Если радиус кривизны границы промежуточной пластины много больше расстояния между пластинами, эту границу можно считать прямолинейной и при расчете емкости конденсатора принять, что площадь промежуточной пластины увеличена на полосу постоянной ширины вдоль с непроводящей прокладкой, неограниченно простирающейся от начала координат в положительном направлении и, таким образом, разделяющей положительную часть полосы на две отдельных части.
Ыы можем представлять себе эту прокладку как узкую щель в металлическом листе. Если электрический ток течет вдоль одной стороны этой прокладки и обратно вдоль другой, причем вход и выход тока находятся на бесконечном расстоянии на положительной полуоси, то распределение потенциала и тока дается соответственно функциями ьу и ф.
Если, наоборот, считать ьр потенциалом, а ьу — функцией потока, то мы придем к случаю тока, протекающего в общем направлении вдоль у' по листу, в котором помещен ряд непроводящих прокладок, параллельных х' и простирающихся от оси у' до бесконечности в отрицательном направлении. 196. Полученные результаты можно также применить к двум важным случаям статического электричества. (1) Пусть проводник в виде плоского листа, ограниченного прямолинейным краем с одной стороны и неограниченного с другой стороны, помещен в плоскости хг с положительной стороны от начала координат и пусть параллельно ему по обе стороны на расстоянии яЫ2 помещены две бесконечные проводящие плоскости. Тогда потенциальная функция ф равна 0 на среднем проводнике и равна ьт/2 на обеих плоскостях. Рассмотрим количество электричества на части среднего проводника, простирающейся вдоль г на расстояние 1, а вдоль х' — от начала координат до х'=а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
