Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Показать, что скадар ф = 1//к> удовлетворяс|т уравненик>,)!а|!паса ~72 ( 1Я) = О. (! !.!О) Точка !с'.-О пс рассматривается. 3 а д а ч а 1!. Бесконечная плоская пластина толщинои 2и равномерно заряжена электричеством с объемной плотностью 1. Ось х порп'нднкулярня пластине, начало координат рясположс но в срединной плоскости, рявноотстонщей от обеих поверхностс й пластины. Показать, что потенциал поля внутри и впе пластины равен ссютветствс'нпо: !р) = — 2>срхэ, |р, =- — 2пра (2х — а), з вектор Б направлен в>1о»ь осн х от срединной плоскости .т=-О (ссли 1|- О) и численно равен: ! =-.
4яр ) х ), ! х ) --.а, /: -=4пра, ) х ):ъа. Сравнить этот случай с предельным с:лучяем бесконечной зари кенной !лоскости (9 4) . 3 а д а ч а 12. Пайтн по>с|шнял поля шаря, равномерно заряженного !о щк>ему объс'му (сйорэ>ула (8.12) ), исходя нз уравнения Пуас сп|ш в сфсрнееских ксюрдипа гах. Еоудареивг»лев|роков друг г другсш вг и>кцияш их ио.|виго коли |егтив движеиия ) Граиичиог я лови!* |1|!|дс.=в цри с--П, которым овре Флаг|«я ршигиж !11 К). игре. Тает гоогвсл |ыцшть филвчегьим ус>яшкам оиы||ь и примем но внимание уравнение 1 П.! О,: 2 т)2 — = О, )с> внение >729> = — 4пР. фр упу(р 12 1), пол чим после деления на — 4ап 4и $(~ дл Ь) >с дл1 У з (12.2) ем >ассмат иваемом нами объеме 2.
Предположим сначала, что но всем)" . ' р 5, тен иал чк Р и ограниченном поверхностьк> .э, потенци'. включал>щем в себя точку и огра> ф . точки. Скаляр лсс ср н его производньк" явля|отси непрерывным фу и ф нкциями точки. Ч =-1/)( ные нсп>с ывны и конечны во всем пространстве, кроме и .. ко к таким участкам проточки Р. Так как теор.. 1 . р странства, в которых оба скал р', р ф, чк Р необходимо исклк>чить из области интегрирования 5 ( .
1Е) произвольно малого радиуса вином) к!ежд) нс шнс! т Р сфе ' в рис. и применим формулу (!2.2) к объему 1>', заключ. | шак ио слеьтшвииамикс д.|я оиигаиии точечиых зарядов чагто вг ) и «|жрем| виык к >иик ио мок|рой с .. " °, ' я ов чагто ||с ° |к|отвеивая 4>»икццв им|волке! ж|иол в цоц |угсги |офуи>ции..>|а ие' " ',„: . " |с >си! в ' ' * ' и с ', а 11>имеиеиии Ь фуикции в тлеьтроди вввеций с ее иоможыо можно иа ' гти |ьш ршиеиии уцом|ш>плх ур.|в В.
1)авовгкий, |>. иливс ", М. Ф | г. Клагеичсгьаи»лектродииам к . 4 ! 1 1.5 132 1!)риме«. ред.) т 12. По енциал объемных и поверхностных зарядов 1. В этом параграфе мы приведем доказательст р' во вы ажений (8.7) (8.8) ля потенциа.ча поверхностных н объемн х р д ы за я он, свободное от ! иве енный анее вывод этих выражетех недостатков, которыми обладает прин д " р й пз о м лы для потенциала точечного заряда (см. с.
3,,, ри ' ия Пуассона (11.3) для потенциала мы б дем исходить из уравнения мся известной из векторного анализа электростатического поля и воспользуем теоремой Грина )см. (53а)), которая гласит: 1 (ФЧ> — срЧЧ) г()' = 1 И д" — ср дф ) с(5. (!2.1) 3 5 .. понерхноатпь ограничнвакпцую объ, ' ср ем К а и ф — две Здесь ' означает попер > пронзволь . ьные, но непрерынные внутри объема ь> скалярные с) у и: о ными как пе вого, обладающие внутри этого объема конечными произв д ' р так и второго порядка.
. ого потеним себе задачей определить значение электрическог . я Р. Обозначим расстояние произвольной циала с! в некоторой точке поля . означ 12. 1 точки поля от точки ч ! з Р ерез )7. Положим в теореме )рина ( . ) Ч =-1/>с 1гл. 1 ф <з) (12.9) По согласно (10.1) Ез„— Е,„= 4>тц. ©) — ~У) = — 4™, 112.? ) 1 8 "5- понимать направление и<, а с внешней -- направление и> (рис, 18).
Так как )<) параллельно и> н антнпараллельно пь то где ( ) н ( — ) суть значения нро<иводной <( по нормали А' с вну> дч» <>ч > ~ дд ), (, дху)< '- тренней и внешней сторон поверхности 5<. Об<жначая соответствующие значении потенциала <( через <1:> и ф> и внося Оолучсннь<е выражения в предшествуюц>ее уравнение, мы по приве.1енин членов получим: 1;„, 1 ~(1 др д ~1~~ 1+81 Зе 1 "<У х>< У 4Я $ Ид<У./з (,д>уЦ о <15 1!2.6) Я< 3< Так как, согласно нашему нредпсложению, потенциал ф нсн>ду непрерывен, то значении его <!ч и !з по обеим с>оронам поверх~ости одинаковы, н первый член правой 'исти уравнения (12.6) обращается в нуль ').
Стало быть, если нвести обозначенн< то правая часть уравнения (12,6) нримсг внл Вместе с тем нри совпадении 5< с 5< объем Г совпадает, очев~лно, с обьемом !', ограничеш>ым поверхностью 5, >ак что уравнение (!26>) цринимает вил ~ р~к ~ од8 + 1 с (1 д<р д г)11„(!.>8) у «< Таково, стало с>ьг ь, выражение потенциала, если ннутрн о< раннчснного поверхностью 5 объема !' имс< тгн нгзамкну гин >ив< рхность 5< разрыва сплошностн градиента <1. Если таких повгрюн>стой несколько, та к кажлой нз них можно применить приведенные рассу кдсння, так что в этом случае под вторым членом иравой части формулы (12 81 нужно ноннмать <дл<л«> ннгегралов но всем поверхностям разрыва, л 'ка<цим внутри )> Формула этн применима, наконец, и к случаю замкну>ых новсрх«остей разрыва, ибо всякую замкнутую поверхность можн< раз.>о>кн>ь на две незамкнутые.
4. Первый член выражения (!2.8) нр<лсгавля<я <обой потенциал объемных зарядов, раснолож< нных в объем< Г, второй же его член должен быть„ ') Случай 1<, Л <Г„бул<о расом<ирен . 4 >< потанцихл овъвмиых н иовирхиостных зарядов очевидно, истолкован как н т о снциал поверхностных зарядов, распределенных с плотностью а по нов н о ерхности РазРыва 5> (сР, УРавнеиие (8,7) ), Это толкование вполне совнада . адает с ранее полученными результатами. Действительно, если по-прежнем .нему обозначить произвольно выбранную положительную нормаль к ', не ч р ' 5 .
через <), а через и, то (12.7) примет внд дф Е = —— и Д>' где Е„- — нормальная слагаю агающая напряженности поля. Стало быть, уравнение (12.9) может быть записано следующим образом; Сравнивая его с уравнением (4.3), мы убеждаемся, что величина О, оп >еделяемая авненисм оп > д ' (12.9), действительно равна плотности электри- ческ: ' " 5. Т им образом, мы вновь приходим к ческого заряда на поверхности >. аким о выводу, что поверхности разрыва нормальной слагаюи(ей градиента пох исти взрыва Еа) физически равнозначны заряженным д /дп и опорционален новерхност и, .
я, црнчсм скачок этой слагающеи «р и р нлОтнО<тн заряда Поверхности. (12.8), ед- Г. Об >атимся, наконец, к последнему члену р вы ажения, цр >. о >ой интег ал по пограничной поверхности о ъем с б ема»ивыа ~ в объеме (> от этого потенциала н его р ажающему зависимость потенциала <р в о ъеме от эт < ти этого объема. нсрвь<х пр онзвотных на граничной новерхност нала, е<лн мы иод объеЧлсн этот вовсе выпадет из выражения потенц )> б ем понимать все бесконечное пространство (т. е. мом интегрирования удем и н ' ' .
т. е. удалим ограничива ц ' ть и н и эт ающую )> поверхность 5 в бесконечность) и Ори эт а <. н с<х> и >оизволные следующие граничные условия: в б 1/Я, а его пе >вые производные сти <р стне стремится к нулю не медленнее, чем / Т но координатам не медленнее, чем 1/)<>з. т. е. )< < й> 1 >ри К вЂ” оо остаются конечным и. < 12.10,' фи (>>'<фн 11 . этих условий мы уже пользовались в $8, приравнивая нулю зна чение потенциала н бесконечности )уравнение ( . ) ); вт р аст, что в оеско- непосредственно связано с первым. Физически оно означ, ое авиа н лю, т. е. что все нечности напряженность Е электрического ноля равна нулю, т. е. ° н и ост анства.
Во всем дальнейшем заряды находятся в конечной области пр р мы будем называть потенциалом эл р ект остатического поля то и то 'словняу то решение уравнения уа П ассона, которое удовлетворяет уело (12.10) '). 6. Покажем теперь, что при наложена~ условий г аничной новерхн т о 'р ности 5 в бесконечность последний член выражения (1'.; с об ап ается в нуль. Выберем в качестве поверхности 5 сф 'р; действительно о ращается в й с с е совпадае радиуса с центр в Й ' тром в точке />. Внешняя нормаль к этой сфер аев, когда условно вводятси и рассмотрение зарюзм ') За исключением, конечно, >ек онуча,, ше >а >язв простирающиеся в кс Г конечность, как, например, бссконечныс зарюкенн ит и. о»»о»» радиусом-вектором К, так что (!2.! 1) дл (13.1) (13.2) — ра'г' = —.
од)г 1 г е » <<» 13. Типичные задачи электростатики д д Из условия ( ! 2.! 0) следует, стало быть, что подынтегральное выражение ишсрссующе<о нас интеграла при >ь» -» оо стремится к нулю не медленнее, чем 1/)<', тогда как'поверхность интегрирования растет пропорционально лишь !<>'. Сгало быть. интеграл >пот при )7->- оо стремится к нулю и (12.8) принимает вид (если опустить у <!> >>идене Р); где 7<> — расстояние элемента объемного заряда рс!г' или заряда поверхн<ктпого ад3 от гочки поли, обладаю>цей потенциалом <(>, и где интегрирование должно быть распространено по всему пространству, занятому зарядами [ср.
(!2.1!) с прежними формулами (87) и (88)]. Из изложенного инствует, что поверхностный интеграл в формуле (12.8) учитывает поле зврядон, лежа>цпх впе обьема интегрирования )> (а также нозможность добавить к»р произнольную аддитивную постоянную). 7. Напомним, что во всем предыдущем изложении нами предполагалось, что как сам потенциал, так и его первые производные (градиент) всюду конечны. Бесконечность градиента <р (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
