Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 10
Текст из файла (страница 10)
е. ьогг>почио! манью иробиыо зарода !забота же ири иеремеи<еиии ез!ииичио<о юр ЧЫ ни ю..оюгтч из р<. Зтинг<1ои нил и >и<"ре,<ай. .> Пи!зг> ни, иргун<~< ахки ири «икни< и<ко< и>ме>и ниик <кето ио»атака ра>иоим иу.и> иогеиииа.> Ь они 36 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОПЕ НЕПОЛВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ !Гл. > % в) ПОТИ>>ХИЛЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ з с > (8.6) где Р, — расстояние точки поля, обладающеи потенциалом ср, от заряда еь Конечно, как эта, так и предшествующие формулы имеют смысл лишь н тех точках поля, расстояния которых от «точечных» зарядов с, велики по сравнению с размерами этих зарядов. В случае поверхностных зарядов заряд каждой поверхногти может быть разложен на совокупность элементарных зарядов бесконечно малых элементов поверхности с)5: г!е=п сто.
Заменяя в уравнении (8.6) с; через де и переходя от суммирования к интегри- рованию по нсем элементам всех заряженных поверхностей, получим потен- циал поля поверхностных зарядов: (8.7) В поле объемных зарндон ропь элементарных зарядов будут играть заряды де=Ос()> бесконечно малых элементов объема с()>, и выражение потенциала (8.6) приме~ вид: (8.8) тле Р— расстояние точки поля, обладающей потенциалом ф, от элемента объема с()>.
Отметим, что, хотя />> н входит н знаменатель полыптегральных выражений в формулах (8.7) и (8.8), нсе же ныражения эти остаются конечными во всех точках попа объемных и поверхностных зарядов. Рассмотрим, например, формулу (8.8) и авелем систему сферических координат К, б, а с центром в исследуемой точке поля (й -- полярный угол, сс — — азимут) '). Элемент объема т()> выразится в этих координатах, как изнестно, следукнцим образом: е(У = Яэ з(п 6 е(а е(б Нй', ') См. рис. )О! (приложение) Таким образом, потенциал точки Р будет ранен работе, совершаемой силами поля при удалении елиничного положительного заряда из точки Р в бесконечность.
В поле элементарного (точечного) заряда е разность потенцналон между точками Р и Рч, согласно (7.5) и (8.2), равна: ф — ч>о = е/Й вЂ” е/!То. (8.4) В этом случае, для того чтобы удовлетворить условию >р =О„лостаточно, очевидно, положить >ро= — е/1>>о; тогда потенциал поля точечного заряда е на расстоннни >>с от него окажется ранпым (>)„, =О) Ч=е/й. (8.5) 3. Потенциал поля произвольной системы точечных зарядон е>, ее, ..., е, ранен, очевилно, сумме потенциалов полей кажлого из этих зарядов в отдельности: и формула (8.8) примет вид ~ = [ [ [ р)7 э)п !) г(а с(>з с(Р, причем полынтегральное выражение остается конечным и при значении >с =О Ввиду того, однако, что формулы (8.7) и (8.8) выведены нами из формуч (8,5) и (8.6), имеющих смысл лишь для копечныл значений />> (ибо при й> — О >6==с/Р стремится к бесконечности), а также вниду особой важпосги формул (8.7) и (8.8) мы вынелем их в дальнейшем ($12) е>це и другим спо- собом, независимо от только что изложенного, и покажем, что они применимы ко ноем точкам поля поверхностны с н объемных зарядов.
4. Потенциальный характер электрсктатического поля может быть доказан и без применения закона Кулона путем рассужлепий„осноныва>о- щихся на законе сохранения энергии и невозможности вечного лнигателя. Действительно, предположим, что при псрсме>цении пробного заряда по ка- кому-либо замкнутому пути (. н поле неподвижных зарядов (см. примеча- ние иа с. 35) силы этого поля совершак>т положительную работу Л. Так как пг возвращении пробного заряла и исходное по;>ожепие нся система возвра- щается в исходное положение, то, повторяя обход пути й произвольное число раз, мы всякий раз получали бы работу Л, т. е. Осу>цествили бы нечный дни- гатель.
Если же при обходе пути й силы поля совершают отрицатель- ную работу, то стоит лишь изменить направление обхода на обратное, чтобы получить работу положительную. Таким образом, работа сил поля на всяком замкнутом пути должна равнятьсн пу;по, из чего, как мы видели, следует су>цествование однозначного потенциала поля ').
5. В абсолютной системе елпниц единица потенциала определяется следующим образом: разность потенциалов лвух точек поля ранна единице. если при г>еремегцении абсолютной единицы заряда из одной точки в другую силь> поля сонершают единицу работы, т. с. работу н один эрг. Размерность же потенциала равна, очевидно: Ы= — = —.— =-М 1. Т-.
работа М)аТ э пэ це -) варил Мцэ! э)еТ-> = >тбсолютная единица потенциала слишком велика по сравнению с теми разностями потенциалов, с которыми обычно приходится иметь дело на прак) тике. Поэтомзу практической единицей потенциала служит вольт: ! В= — абс.
звп единиць> потенциала. П р и и е р. Определить потенциал поля диполя, Предположим, тго дна равных точечных заряда противоположных знакон +-е и — е находятся на расстоянии ! друг от друга, причем вектор ! направлен от отрицательного заряда к положигельнолеу (рис. 13) .
Вектор р: р=е1, (8.ч) носит название электрического момента этих зарядов. Г!отенциал обоих заря- дов в произволыюй точке поля Р равен: >р =е( — „— — ) = ) Подобного роза рассужлсние неприменимо. пзпрнмср, к магюпномт палю посп>яннь>х токов, лля ппллгржзнпя которого не»бхолнмв непрерывная зятратн ч>нргии источников пи.з Ряботн, соиерн>асмзя прн перемс>осиян магнитного зиряла (полюса! по зачкнучому пути в по,и п>к>винно>о тока, может быть отличной >т пу.>я и мо кет совгрпмтьси за ею> лополннтелып гп вотрсблею>я >пер> ии источников тока Дейстнит>льж>.
лвижепнг млгнитвого зарина нсобу,клзе> члсктроаннжюипг силы т>луюпич твк по ллн пп>онржапин >иитоииствз тока но время Лвн женин завил» необходимо спотжчствукнпм и>ммнппс з, л, г, пс>пчпиков гока. !Гл. ! Ел!кость кондыи сто>*! ! С 91 $ 9. Емкость, Конденсаторы угад,( — ) =--йтад,( ! ) +е Рис. !3 для плоскости ср.= >рь — 2лвх, < ср! =- !рсь для цилиндра ср, = ср~ — 2>» 1п (и/и,), электРическОе пОле неподвижных зАРядов Е сли расстояние 1 между зарядами +е и --е лало --е мало по сравнении> с расстояниями этих зарядов от исследуемых точек поля, , то совокупность зарядов +е и — е носит название диполя, или биполя, что значит «двой В.:' '. > «двойной полюс». этом случас можно приближенно положиты )с!)сэ = )сэ )с! )«»э = ! сова где а — угол между направлснисм момента диполя и ади г с а — ! с, с, ...
а л и радиусом-вектором )с, проведенным от диполя к «точке наблю- Р девиа» Р (рнс. 13). Ввиду малости расстояния ! безразлично, из каков именно точки диполя проведен этот радиус-вектор )(. Таким образом. потенциал диполя принимает впд Зто выражение можно также предста- нить в несколько ином виде с помощью известной формулы векторного анализа (!О«): п оизводн ю от ! ' где индекс а означает пространственную р у /Й по координатам «точки наблюдения», т. с.
ко кс д — диффсрснцированис по координатам «точки истока», т. е, начальной п>чкн вектора К (см. нриложспис, э 2). На основании этих соотнопк пай урс>внепис (8.10) может быт>* .. может ыт>* записано следую- >Р=Рдгад«Я = — Р йтад, ( — ). (8 11) . ту формулу легко получить и непосредственно. Действительна, ср ! ! е к» )1> равно прира>пении> скаляра !//с> прн перемещении на отр: 1 т о) а, >0>оаедепно>о из диполя (нсзоь полн) в точку нгбл>о ения получим д >ст точно малом 1 первыми производны и от !/К, ! м — ' — — '=18твде ( —,'., ) = — !угад, (у), откуда непосредшвенно с'ледует (8.11).
3 а д а ч в б. Исходя из уравнения (8.2), показать, что потенциал поля заряженных бес коиечпь>х плоскости н поло ветственно следующими формулами: го цилиндра оп е еляс где «Ш вЂ” — значение потенциала на соответствующей заряженной поверхности; х -- координата, перпендикулярная плоскости; и — расстояние от оси цилиндра; и> -- радиус цилиндра. Отметим, что в обоих этих случаях удовлетворить условию ср ==0 невозможно. 3 а д а ч а 7. Показать, что потенциал пси>я шара радиуса а, равномерно заряженного по всему своему обьсму с объемной плотностью р, при условии >):„.=-0 равеш сре=е/Й (>!~~а) И (8.12) >р! — — 2лр (аэ — )(»/3) Я ( а), 4»к>' где е== — '.
Р -- общий заряд шара, а Й -- расстояние от его центра, 3' Показать, что ~,==у«при )с=а. 1. Одна нз характернейших особенностей электростатического поля состоит в том, что в случае электростатического равновесии потенциал поля имеет пв>тояннос значение на всем протяжении каждого отдельного проводника ').
Дсистиительно, н случае электростатического равновесия напряженность поля внутри проводника равнп нулю (2 5), Так как любые две точки проиодпика можно саед»шить линией, целиком лежащей в этом проводнике, то, стало быть, разность потенциалов этих точек, определяемая линейным интегралом вектора Е (уравнение (8.2) ], равна нулк>, что и требовалось доказать. 1)тс> обстоятельство дает возможность в случае электростатического поля говорит! просто о потенциале проводника (т. с, потенциале каждой из его точек).
2. ! мк>л">ън> рд диненяого и!>Овод>сика, т. е. проводника, бесконечно уда ленноп> от вес х остальных проводников, называется заряд, необходимый для сообщения маму пров!шинку потенциала, равного единице. При этом прсднолаг и'тся, что ад:ситивная погтояшшя в выражении потенциала выбрана так, что в бесксшс нн>с ти потенциал раас-н нулю.
Емкость принято обозна шть буквой О. 3. Заметим, что емкость уединенного шара (н абсолютных единицах) численно равна его радиусу. Действительно, внешний потенциал полн шара радиуса и и заряда г равен ср.=-.е//с. На поверхности шара )с'=-а и с>=-е>а. Таково >ке значенне потенциала и внутри всего п>ира. Стало быть, потенциал п>ара будет равпятьсн единице при в=а, а это и значит, что емкость О шара равна а: Из этого уравнения нвствует, что в абсолютных единицах емкость должна иметь размерность длины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
