Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Изучая жс палс вблизи или внутри зарядов, мы лола>пы вгриуться к ирслстасшсиик> об объемном распределении зарядов. 1)рс лпо к»ким. напримс р, что зарнл е, р>н с матривавшийся нами как точсчш,>й, в лйктвнтсльногти равномерно распределен по объему шара произвольно малого. но копсчисио радиуса и. В этом случае поле в>е и внутри п>ара опрс.нлис>тгя уравш виями (4;?), из коих явствует, что нектар Е конечен и нс ирсрывс н ио вш х гочках поля !с> частности, цри (7 — а, т.
е. на иос>ерхнос>п> шароноп>;>придя, обс формулы (4.7) лают ллн У. одно и то жс значение Г,. --(:, — гуа ). :)тс>г рсз)льгаг имеет об>цсг значснисч ио вссх случаях объемного рие»рсс!е>синс>я заряда с кош'чной ш>ппиосп ю электрический аектг>р Е гсг>ас)!( конечен и нсп(>е(>с>сс>с>с. 7(еигтвительно, в этом случае из каждой лежащей внутри заряда >тюки р, как из пгитра, можно описать сферу достаточно малого, но вес' жс консчиоп> ра;сиуга а тик, чтобы сферу эту можно было считать заряженной раниомерио Во всех точках сфс ры поле зарядов самой сферы конечно и пе>цкрь>впо гоглиско уравнгниям (4.7); поле же зарнлов, иахо>сян(ихс>с вне сферы, шип чно и непрерывно потому.
что эти заряды нахолится иа ксии шом расстоянии от внутренних точек сферы. Стало быть, и рсзуль>ир)юпссс волг всех зарядов конечно и пепргрывно. 2. 1!так, и слу >ас. Ойъс м>к>со рагнрслс,>сини зарипов, расноложс нных внутри испи'рхпасти Х, ирсойразоваиис >итсрхиостиого интеграча в объсмиыи в уранигиии (6.!) нсег>ш допустимо. 11ииомним, что в общем случае нсравпомсрпси о рашцн деления зарядов с>йьс'л>нс>й плотностью заряда в дан- ной точке называется предел отношения заряда Ле, нахолящегося в окружа>ощем эту точку объеме >>!', к этому объему (ср. уравнение (4 1)); р= )пн — = —, ях с(е (6.2) ы -ьь Л(' с((с ' где буквой р, как и всюду в дальнейшем, обозна сена объемная плотность заряда.
Стало быть, заряд йс элемента объема с((>' равен: с(е = — р с('г', а общий заряд, находящийся в конечном объеме )', равен (6.3) ~~> е= ~ рс()с. Вноси это выражение в (6.1), получим: *! с!>у Е-с()>=- '1 4пр с((/. ((>.4) Равенство этих интегралов должно иметь место вне зависимости от выбора области интегрирования )>, чго возможно.пипи в том случае, если их подыи- тсс.ральяые выражения равны друг Другу в кажлой точке пространства.
Стало быть, с!>Х Е::- 4лр, илн, в декартонссй сигтсмс координат: дЕ„ дЕ„ дŠ— "+ —" + — '= 4пр. дх ду дх (6.6) ,дто дифференциальное уравнс вис явлистся олним из основных уравнс пий как элсктростагикп, так в ваобнсс всей электродинамики. Оно позво ляет опрс>>слит> дивгргсппию >,пктри шс к>но вектора в каждой п>чкс поля по объемной плотности заряла и .>>гй .Ат .точке ), ине эис>сссз>ис>с>и от распределения зарялов в иных участках >юли. Ойратио, чтобы определить плотность заряда в лапкой точке поля, достаточно знать значение дивсргенции Е в этой точке полн. 11о аналогии с гидролинамнкой тс точки поля произвольного вектора а, в которых >1>с а-.р'- О, принято называть истоками этого поли; величина с1ис а называетсн силой, или абпльногськ>, истоков поля (см.
приложснис, Векторный анализ, э 4). Пользуясь этой тсрминочогисй, можно сказать, что истоки электрического ш>лл находш.ся в тех н только тс х точках поля, в которых нахолятся алек>ричсгкие заряды, причем сила, или обильиость, этих истокон (в случае обьемного распределения зарядов) раиса 4лр.
3. Хотя, с точки зрении излагаемой нами макроскошсческой теории, всс заряды суть непрерывно распределснпыс объемныс заряль>, однако в тех случаях, когда толщина занимаемого зарядом слоя мала по сравнсни>о с доступными измерении> расстояниями, удойно сохранить нрслставленис о поверхпсктных зарядах. В >крвую очгрсль это относится к поверхностным зарядам проводников. Та>с как при ирои>ждспии через заряженныс поверхности вектор Е мснягтсн скачком (уран>>снис (4.,'1)), то повсрхяости этн носят название панс рхнс>с:тс й рссэрь>ссс> электрического вектора. Очсвилно, ! То гг>ь, в стис»ог»ь:» ьеаичньс >хрч ы, хазохяжесьги в бескин чм л>ьагя ьпъемс. пкруж>жи>с>м т>у тачку (с» >раььгчиг (и..'.')1 (18'): гу „и' 51!у а =-: ! Гц! — „.
Ь., но д!' что на поверхностях разрыва дифференциальное уравнение (6.5) неприменимо (что явствует также из оговорок, сделанных в начале этого параграфа) и должно быть заменено уравнением (4.3); Ьти — Е!и = 4гге, Это уравнение называется пограничным условием дпя вектора Е и является, в сущности, не чем иным, как предельной формой уравнения (6.5) дпя зврялов, расположенных бесконечно тонким слоем. Так как нам в дальнейшем неоднократно придется встречаться с подобного рода соотношениями, мы докажем здесь следующую об!цую теорему. Пусть некоторый вектор а всюду непрерывен и конечен и всюд!1 удовлетворяет уравнению Йр а =4лр. (А) где р — всюду конечная плотность некоторого хгзар)!да» е !Наприиер, электрического, опрелсляемая уравнением тина (6.2)).
Рассмотрим некоторый заряженный слой конечной толщины !11, щ)угри которого а по условию остается непрерывным (рис. 8). Если, оставляя неизменным заряд слоя, уменьшать его толи шину 111 до нуля, то непрерывность век-,г 1, „,Фэ тора анаруш!)Тся и уравнение (А) в пределе .) е! 1-...;1"-' -.. гг(5 примет на заря)ке)рно)1 поверхности вид ат,', — а1„=-4ло, (В) где Π— поверхностная плотность заряда, р!г Н опредсляемая уравнением ти)и (4.! ), а пг, и ат„-- значения нормальных слагающих вектора а по различным сторонам заряженной поверхности. Чтобы доказаль справедливость этого ! твсржденпи, рассмотрим цилиндрический участок заряженного слоя с основанием 515'.
Помножив (А) иа !11! и интегрируя по объему этого участка, получим иа основании (6.3) и теоремы Гаусса (!7е): !!!ча ° г(У =. $а„Ю=4)т ~ рг()г=4пг(е, У Б где !)е — об)ций заряд выделенного участка, а 5 — ограничивающая его поверхность. Повторяя рассуждхиия, приведшие нас в э 4 к формуле (4.2), убедимся, что $ а„Ю = (ат„— а)„) Г(Б'+ У' = 4)т пге, где Ф' поток вектора а через боковую поверхность рассматриваемого участка слои.
При переходе к прелелу г(1 нн О величина А)' обращается в нуль, так что, разделив это уравнение на г(5', получим: г)е ат„— а,„=- 4п —, = 45)е, т. е. уравнение (В), что и требовалось доказать. Итак, уравнение (В) предсгавлнет собой предельнук! форму уравнении (А). Ввиду этого скачок )юрмнльной слагаощей произвольного вектора а на поверхности разрыва часто называют пйггерхног!!Тйй диверггн!(ир!1 этого вектора В Отличие Ог ог)ъгмнй!1 !)!!гг!1!г!н!)н!1, определяемой уравнс1шсм пгзвсрхн. ! тг!Нн днверге!Ншя обознгшагстсн !крез Г)11 (а НС' С!О!и!1'О51) Оукцг1 П 1): а,г--а)„=-Г))чп.
аГЛгиаич,! (6. 7) Стало Оипь '.!кери!Г ню .шмн теорех,у можно с)!Нгголнчхскн зап)гсатг, с,н- Л;!г)щп 1 г!б Н,, П1 (О.гг ! й 7. Работа эг)ск! ри НГскнх сил. Независимое г! ее от формы нутть Й!Нрерывнггсгь тщпгиннзльных слагагвщвх векторе Е 1 а!нг; „Г и р)чнй! чан,зглймь !л! ктрнчгн кого поля прп персмсщеш!и варила г н! !"Ргзй' . - р!!5).з '1; !'о! )1: . «) .гн =-гй«н В г)вши сгн, ра15ггга г);рн щ 1., мсп)сннн г)к г!г!ггнггчнг!гй !и!.!г!лга!!к!!гиггг заряд:1 )гсГН!1: , 1 —.= Е а'к. ('г г) Пакопсп. Наби„..г. Гр расмгпг .)ри персис енни единичного поло!кн.
тельно!О ийгнди и' кгггкчн'гч' и! !' !(и р!нин: А =- ) Е !(з! ь Где знак 1. у н)пг Г' ! ':.' ! 3!ага!'Г. ' тп нхги!хй 1Н'!г! Бычисл!ГГЬ с)гмму' зна1сний поныв!егра.!шаг:, н,.;.:гжс)п» !!ля всех элементов лнш)н 1.:-)та !»«. рация на !ывае)ген !гв.гкуч!гх в::ю;рн но . ивиь 1 2. Работа э:и юр)чг'; а, сил на .шипом ьугн !., нооб)це говори, нонн г завигсть кш; От полою! Нин взч.
гг: ь!11 и коне !НО!1 !Очек пути, так н От формы (7 !) ! ) Зггхгг:г! 5! ' ги и!и! .г." 1и, ! г, .!миг г ! .и)ир: и, Чигииемгн !ирин.и! и ! иин.)г! пегги рв грини 1'и, ри ! Иакон\'и, пггзь)! .". "1 Омн)Р,'! гг ьыи! 'ге,' 51!)н! .и!гъси, можно и )з поверхности )тазрыгш их!Огча 1 нон стшГакэщ:и и ' ъ!!'! а вйвсрх! Ой!ни!1 и исгокачн юо!О вектора 4 Урзвнши)н (6.
!) 51 ( 1..5] !5111!си» хост гтг!" г1 1 л )н рен1еннн та)г низы в;их)ггй кг!бнзтнг)йи .!а !г!На х..ек!рг!Ггзти и: !г!и; по.!е:ленгричгскшо нсктора Е. 5щк!дсрпггь рзг прел!ление '(Объем ° .!.. и поисрхш стньж) зарндои. В !нгтн!5с-н, распйл:г,ю г!нс пгн!Гггх,) гстных зар.!дои ои)гс„,сгнггтсн расьч.н! )ьеннсм ш.нср!"гг тгн рн)рг.не а."нто ш Е. 0 накй;гли регие) и «примой.:шдичн лн!и! р,!шгрн ч!Тп'г!н. «рядо„, й;!редел)гть >.гектрнчссийс нг!лг ураши.н!5й неко!!!5!!!и гн1, нбо 1 пьмшц к! !в!в!ай лнффгрсициа!!нного ур;г, Нсщ:и 165!) н,! и г Нгсдс.!гг: ° ';ги сллгн!Ощнк '..'. !'„, 1:и и !.ТОРН Е. ДЛн Р- шгш«н «ппг)хр !!!и з !л)«;1 .-5лгнЧгйсг. Гг!кн г!Ообхг!г)вмо Но!но !ьзои о ьсн Г !Нлк и неьотг'!!ычр н:!ыгп! Ггкйштва'и! ъг!сктрг!Гга)и шг.
Ого поля, к рзсснотрении! ко!т!1! ь) х 111 ! т 'пг'гн н г:ргн*!1 'н' м (гл. ! РАБОТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИЛ зз А= — ', а=д( — — ')= — д®, (7.4) (7.3) . ! Г:<дя= — 0 ') >. (7.3) Риг. 1О Рис. 11 2 И. Б. Тами пути. Однако, как мы сейчас покажем, электрическо< поле мвиос)яижных зарядов обладаег той чрезвь>чайно важной особ(нностью, что Работа сил этого поля ни три между двумя произвольными точкам! завги><г только от положения этих м>и< и и вов('е и< зависит от формы пути. Сплавы( поли, обладакнцие этой особе»»остью ). Иазывак)тся полями конссрнатинп>лл»3 ! или потень,иальйьы<и. Заметим, что в потенциальном иоле работа сил поля на всякои замкнутом пути должна равннгьси нули>.
Действительно, всякий,ш.шнутый путь МООРГ!М можно произвольным образом разбить иа двг час<и М!)'Р и РГ!М (риг. $)). Работа на пути РГ)М рнщш, Оч(- вид»о. >ш)пой с обрз) ным зиш(ом рзбогс нз )Ом х<е нули»рн п)нги>ждснии еп) в обратном и;<прзн- 7 лени» о! М к Р. которая в свои> очередь ь по3е>щиадын м )н)л по усл<шию равна работе па пути .1)!)>Р.
Стз.п> быт>в ооп(ян работа нв всем замкну- $ $ гх том пути 1(<),Р()М рзн(ш нулю, что и )ребовалось , Ю К $1:! и '<1 . Обратно, <илии ряй>отя сил п(>ля нз всяко»3 :)зм<()г, $»)1»ути ранна нулю, го работа этих сил гиг, ) $Н! и)) и лн:к„(у двум5$ произнОг>ьными точки>3н М и Р от формы ->го> >»у) и ш зависит, ). с пояс это»отснциально(. Дей<-и)нгель. но, рнш,)»прим дн>! Иро»звольиых пути МЙР и >М(!Р, ведущих из М и Р ((м. ри< З).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
