Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 9
Текст из файла (страница 9)
С >с)явим нз»их:шмк»утый путь М)ЛЧ!М. Работа на этом замкну!Ом пу!и по ус,)ои»ю рзвнн $<~л)о. (,тнло быть, работа из учястк( нуги М>т!' Равна нзятои с обрат)и>м знаком ряби)п)»з пути РОМ, или, иными сло- ВаМИ, рящщ рабате Пя Путп М(1Р. Ч<и! И требОНН<ЮСЬ дОКаэвтЬ. Итак, рзнс»<гво иулк> работы нз»роизвольноч замкнутом иути есть необходим<>с и >(остзто п>ое у лощн ш зависимости рш)оты от формы пути и может счи) ыьси отлпчнтельш !м признаком потенциально!о ноля.
()Ообщс п<мн ироизвольиого некторе Г, шк зази( имостн о> его физического смысля ((илз, скорое.)ь и т.,и.), нилш-! <в) полем»ото)шпальным в том и ) »лько н том слупи<, (ели прн л)обо>< вьн>орс <щмк>нито,о пути иитсгрирояянии !. ,1(нией»$,>й н»тсгргл произв<>льного в< ктора Е вдоль какого-либо произ воль»<но шмк»утого нутн !. »з»>н;»>тся циркулями<и' ->топ> вектора вдоль пети !. '1.
'Гяю<Л! о<)Разом, Уело)»и (7.3) < водит«Я К гРебонзпии>, чтобы циркуля»Ни некто)ш Е по лк)(и>му ззмк»угому пути равнялась нули! 3. )проход» к докзззг<льстпу потеш!иаль»ого характера элсктрост>>тическо(о ио>ш, ря((л<о<рил) шшчзла работу эл(ктри<нских сил н ноле элсл<ентарного ()очечиого! заряда <. Работа этих сил при бесконечно молом )н ремещенин дэ «»р<и>ного» <>днии пн>го»оложит(льного зарядя равна (рис. 10): Л == Е дв = —,. —, К да = — „((э соя (К, ((я) = ~, с%, )д(' д(! ('гть н)ки'юн151 и('р('м!'И(ения $!РО61<ого:)зря>1$! с>ь иа ря)(иу('-вектор ((, ) (1ри )ом вм<имииаиигмги или лги<рог)атичггиого и<ми )''ловим, '>то во>к гтвниоиврно (ио< оиие> ! и )Чи мыы1 и »о < и о),,«и< и!)аоииг ! в иомыиги(и» и иоле оло, авиигит ливи от поло игиии, ио и о) г>мр и:.! вы о < 'ла.
1'.м ирами в< ни, ( Ь. )>роведенный из возбуждак>щего поле заряда е. Как явствует из чертежа, д7! есть вместе с тем приращение числового значения радиуса-вектора 1(, т. е. увеличение расстояния пробного заряда от заряда < Г)оэтому работа А может быть представлена в форме полного дифференциала скалярная функции точки — с!7(): где )( есть числовое значение радиуса-вектора >(. Следовательно, работа, со- вер>наемая при перемещении единичного положительного зарядя из точки Р! в точку Р; по конеч><омт пути !., равна (рис.
1)): =(в"-- ~ "(а) =-(а.- а,) где )7! и )7 — расстояния начальной и конечной точек пути от заряда < Таким образом. работа электрических сил на нроизволык>м пути в поле неподвижного элементарного (точечного) заряда действительно зависит только ог положений начальной и конечной точек этого пути н, стало быть, вовсе нс зависит от формы пути. Так, например, работа электрических спл на пути !.' (рис. () ) равна работе на пути !.: Нзбыточнаи работа, совершаемая на пути (7 при перемещении пробного заряда за пределы сферы радиуса 7!» компенсируется отрицательной работой, совершаемой нри последуюцн м приближении пробиого заряда к заряду о иа последнем участке пути ! '. Итак, поле неподвижного элементарного (точечного) заряда есть поле потенциальное.
Очевидно, что сумма потенциалы<их полей ') есть тоже поле потенциальное, ибо если работа слагаемых сил нс зависит от формы пути, то и работа равнодействующей от нее тоже не зависит. Так как иоле произвольной системы зарядов можно рассматривать кяк сумму полей каждо!о из элементов этих зарядов, го, <.тало бить, всякое электростатическое поле есть иола потенциальное и удовлегноряет условию (7.3).
4. Интегральное условие (7.3) может быть преобразовано в дифференциальное. Согласно 3<звест)<ой теореме векторного анализа (29»), слагак>- ) Стммоа) в(и>орина ио (и мм Лат(м и*им)лт! ),<иог ион в клжвои то<к( котор<ио вектор пОли рввы! сумм( векторов глвгвгммх волги. ПОТГИ!1ИЬЛ ЭЛГКТРОГТХТГН<ЕСКОГО ПОЛЯ 1 к! ,(гл. ! 35 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗЛРЯДОВ щия ротора вектора Е ио произвольному направлению и в произвольной точке и<лая Р рап>ш: С)З Еа<(а то1„Е= ))Гп лз +о где г?5 означа<п г)есконе и<о малуи> п.щшазку, проходя<цую через точку Р Н ПСРПЕНЛНКУЛЯРПУЮ ГязтГОРУ и.
Б ЧИСЛнтсЛЕ СПРаив Стант ЦИРКУЛЯЦИЯ ВСК- тора $:. Н<з конту!>у Р<Х>!! ПЛо!падки г!5, которая согласно (7.3) обращается в нуль Стан > бы(!>ь го)„Е==-С> Ввиду произвольности направления и это озна<!аеуг, г>т<з ро<ор иситора Е во Гкех точках электростатического поля равен нулю: Рг н>1 Š— ().
(7.5) Обратно, нз (7.6) на основании известной из век- торного анализа теоремы Стокса (27е) следует (7.3), Р тзк что интеграл!.Нос и дифференциальное условия г (?.3) и (7.6) вполне эквивалентны чруг другу. .Р Рг 5 Из условия (7 3) след)чт, в частности, непрер',гг " пмвпогть тангенциальны» гл<г!га>гзи(их нг<г!Рз<женнг>стг! г л ги>ля (в отличие от ела! аюшпх нормальных; см. ураннс- Р нне (4.3) ], т. е. следует, что ела! аюп<не напряженности, ка<згсльныс к произвольной поверхности в лк>бой ге точке, имекп по обе си>рань! поверхности одинаковые лпаченпи Действительно, допустим противное, и пусть вдоль Риг. !г иоверюк>стп 5! <рис.
(2! нарушается непрерывность тангснцнальных слагаю!цнх нектара Е. Это значит, что если Р<, Р> и ?и>, Рт суть дие пары разд<ленпыл поверхностью 5<, по бесконечно близких друг к другу точек, то работа электрических снл )Е.г(э на пути Р>Р! отличается на конечную иелнчину от работы этих сил на бесконечно близком пути Рт!пь С другой гторопы, ввиду канси>юс и <из !Н>ля работа нх на бесконечно мпл!Ях отрезках ?',?зт н Р<Р' беско!Нчно мгла. Слало быт>ь работа сил поли на замкнутом пути Р<Р',Р'Ртр д<лчжна отличаться от нуля. Другими словами, ич <.Деланнг>г<з нами допуп<ення сг>е!1ует, ч.го работа поля при перенесении пробного заряди н> замки)тому пу и о>лнч!и о! нули, что в электростатическом пояс невозможно. Итак„прн любом выб<ц>с <изверхностн 5 тангепциальнь>е к ней слагающие элскзрнческого нектора Е остаиптгя непрерывными, Иными словами, егли ! .
Г1иничнь>й искгор,.шжащпй в ипательной плоск<чти к пр<нзвольн<н! поверхности 5, то (7.7) Ем —— — Е,г, где Еи и Еь значе>шн слагаюин<х вектора Е по направлении> 1 по обе стороны поверхности 5. )з .!астности, так как напряжсш!ость поля внутри проводников равна н>лю, то таи! Гнцнпльная слагаюпыш Е у их внешней поверхности тоже долж<ш равняться ну,по. Стало 6»!Ть, у чг>ввр>иин;ги п?>гизи<)пик<>в электрический вектор я<>яр<из.>гг< нормально к их поперхшюп! (Е-- 6 Ен), и уравнение (5 !) можем бьггь панис;>по !аи: Е-. ! П>п.
(7.8) $8. Потенциал электростатического поля !о обстоятельство, что работа сил электростатического поля на данном пути зависит лишь от положения начальной и конечной точек пути, даст возможность ввести в рассмотрение чрезвычайно важное понятие потенциала элсктростатичсского поля. Определсннс: рази<>сто потенциалов между двуми т<зчкаыи элгктргзгтатиггеского поля равна <юятг>й с г>братиыл< знаком работе, с<звери>ага<о!) Галамн поля при п<?земец(гиии сдиниг<ного положительного заряда из первой точки во вторую.
Прн этом нредполагаетсн, что при перемещении пробн<но единичного зарядя все заряды, возбуждающие палс, остаются неп<явижными ). Стало быт, разность ги>тенцналов г(ч между двуми бесконечно б.шз кими точками, разделепнь>ми расстоянием г?э, ривна г?<! =-.
-- А ==- -- Е <РИ (8.! ) рззиють >ке потенциалов <г . <)ь мен ду дпучн гочкамн Р и Ро, находящимися На КОН< г!НОМ )ЗаССТОЯНИИ ДРУГ ОТ !Ц>У! а, ОПР< !11ЛЯС1СЯ ИНТЕГ)ЗВЛОМ Р <р' <ро= (8.2 ! Рг пр! шга этот инте! р>ьч может быть взят по л>обзг>лгу пути, соединяющему гочки Р< и Р, Очевидно, чго понятие разности потенциалов имеет опрс. деленный однозначный смысл лишь в силу доказанной нами независимости рьбОтЫ Э.г>ГКТ(ЗИЧЕСКПХ СНЛ От фОрМЫ ПутИ, ИЛИ, Чта СВОднтея К тОМу жЕ, ВВИду того, что <шнрнженность Е эз!ектргзгтг!>иггегьтзго поля удовлетворнет условии> ( ° .3) Определение понятии потенциала ноля вектора Е, содержащееся в уравнениях (8.!) н (8.2), применимо, очевидно, к полю произвольного вектора, удовлетворвощего условию (7.3), вне зависимости от физического смысла этого в< ктора (сила, скорость и т.
д.) и от физич< ского смысла соответству>ощего потенциала (потенциач снз, потенциал скоростей и т. д.). 2. Очевидно, что потенциалу Ч, произвольной точки полн Ро всегда можно припш ать л!обое напе ред выбранное значение. Это с<зответствует тому обстоятельству, что путем измерения работы может быть определена лишь р<юность потенциалов двух точек я<лая, но не абсолютная величина потенциала, Однако, как точько фиксировано значение потенциала в какой-либо ОДНОЙ ТОЧКЕ ПОЛЯ, ЗиаЧЕНИЕ ЕГО ВО ВГВГ ОетапоиЫХ тОЧКаХ ПОЛЯ ОдНОЗНаЧНО определяется уравнением (8.2). Обычно аддитивную постоянную в вь!р;!женин потенциала выбирают так, чтобы п<пснцт<л ч 6< с<(си<егин> удаля нных <очек равпнлся ну<по е).
При этом условии п<лснциал ч произвольной точки саля Р определится следуюп<им выражением: ь <р=-<р — ~ Е<(В= ~ Ег(В (<р =О). (8.3) Ю Р ') Ьгаи г>трез<то<гное е<>ггн<г зги> о пробного жрала может аитниать емеюеиие ааризюи, а гм>у>ьлаю>ш<т пале !например аутом алеьп>о<па>и ягкий иилуиаии иа ироаоаиикак), <о иаЛ»< ж>а изиеРьть иеи >е!зег<егис ию аиюь тУ РаботУ, котоР<о< гоиеРи>нет<и иРи иеРеме<аеиии бегиоие ию (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
