Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Если Р и Р' суть >>не такие сканечно л з е,л. й зинин будет существенно положителен уд и б ет обладать конечной !.,И|интеграл'| ', з поэта" | величиной. Ме ". В. стестем,если |олька вектор |кон В ечен, этот интеграл должен отличаться лишь на Е,дз по б печно малую величину от интеграла ф; з по есконе« апмкну|ому контуру, образованному отрезком й, соелавои линии и > Гесконечно малых| отрезком прямо", ей Р' с Р. Но последний и|астрал, согласно (7.3), равен нулю, т. е. отличасгси на жзнечлу у г от ~ Е, л>з. Этим пр|пяворечиеч и доказывается невозможность существования силовых линий указанного типа. Зала ч а 9. Показат>ь исходя из (8.10), что напряженность поля диполя момента р, линии сил которого изображены на р нс.
!б, равна и что в сферической системе координат >Г, б, гх с центром в диполе и полярной оськ>, параллельной р, слагающие вектора Е равны д ~"~з ° Таким образом, угол () мсжлу силовой линией и радиусом-вектором (( определяется соотношением (й' )> = Ео(ЕЯ = ')2 (а (). На одинаковых расстояниях )х> от липоля пол д е в оль его оси (0=0 илп б=л) вдвое сильнее, чем в экваториальной плоскости (Ю=л/2).
зинни не могут лежать в ск| уг ' бс |печнастн, если только все заряды .. Д; тельства достаточно г>римен>||ь асан пространства, для доказа распадах|сны " канси"ой обвис" р р уравнение 1 .. к: ', , н |и замык н 7,3! замкну|аму пути, получаемом« при замык н ° л Е,л!л ти той к> га бесконечного ради ти уса, и ||ринять во внимание, чта интеграл ( .. | | >Г(б бо> по этой дуге стремит тся к пулю при возрастании радиуса дуги и а | и 1 у имеем Š— —,, а ( уз — й!. у« 1!'Л; ! 'и и п«ч пю<пппюл<п<ил злеици\ $11. Уравнения Пуассона и Лапласа (11,5) с(!и йуаг) ф = Чэ<р = —, + — с+ —,, (1! .2) фаф = — + — + — =- — 4пр, аф д ф а*р дхх дув дхх (!1.3) шеф = — + — + — =- О.
даф дхф да<р дх" дух дяа (! 1.4) Но из 111 6) следует, что Яе и = — 44 '7 т (8.8): стало быть, сзэч>, </ >и — 4п/<! ' ~з/— дха 'Ч Яе Уравнение (!0.2) устанавливает связь между потенциалом электростатического поля и напряженностью этого поля. Из этого уравнения можно получить соотношение между потенциалом и плотностью заряда. Для >ного нужно образовать дивергенцию обеих частей этого уравнения и восгюльзоваться затем формулой (6.5): <)!т (хга<( <Р== — г)!у Е= — 4пр.
(1!.1) Согласно правилам векторного анализа (см, уравнение (40а)), так что уравнение (! 1,!) может быть записано так '): Это дифференциальное уравнение носит название Врали< ния Пуассона. В тех участках поля, где иет электрических зарядов (р=-0), уравнение это обращается в следующее: Этот частный вид уравнения Пуассона носит название //равнения Лапласа э) . Уравнение (!уассона даст нозможпость определить потенциал поля объемных зарядов, если известно рас>>сшожсние этих зарядов. Решенн< (интеграл) этого дифференциального уравнении (при определенных граничных условиях) должно.
очевидно, совпа/!ать с выведенной нами ранее формулой В дальнейшем мы докажем эзо непосредственн>чз! вычислением. Г!ока же отметим, что для решения некоторых задач удобнее исходить ие из интеграла (8.8), а непосредственно из дифференциального уравнения (11.3). П р н м с р. Определить плогюхть герлононнпло токе .юзкд<> дну»т <и'<сю>и<мнили плогкили э <екгродплп е нпк<л>ле, 1! Ример »го «ю прим< и< ние уравнении П> ассона >пят <ю из >лск и< сгатнки, а нз учения О п>кс и нм тг больнюс значение л<я <сории катаные (чсилтг:тю ных) ламп.
Извес>но. что наваленные металлы нспус< акп со гно<й цпнс!жног'и а окружл>пще" пространство по>ок свободных электро>пю. ! гли к двум не>алли неким лекпюдам яр<пожить определенную разность пот< нцналов н рлсклз><з, отрицлтельюлй элок>род (квт<щ), то непрерывно нснускаемыс накзлениым катодом электроны будут пр>пягиввться к поверхности положительного элентрода !анода). 1!<пок злекзронов, двии<ущнхся ог катода к аноду, эквивалентен электрическому току. Ток эм>т на<ынаетсп >срлепопи<л.ч. ) Величину <З<Ч иногда об<юнача>от через дз н нллынзю> лап;пюианоч скзлнра Ч !ср. ураннение Лапласа 111.4)). >1 Уравнения 111.З> н 111 41 были изучены Лапласом н Пуассоном главным обре >ом в связи с исследованием поля тяг<псния весомых масс. Как ле>ко убедиться, уравнениями этого типа определяется потенциал любо<о силоного поло, возбуждаемого рясположеняыми н нем центрами сил (песпмые массы, электрические злряды, ми нитные полюсы) чо закону обратной пропорююпальности кнлдрату рагс>опона $111 ! Выберем ос д Р и ека товых координат так , чтобы начало их находилось на катоде, а ось х аправлеиа к аноду.
Примем потенциал катода я на плоскости электродов и напр была перпенднкул Р и «. Иэ соображений симметрии ннствует, что эквиравным ну лю, а потенциал анода равным Чъ. ы эл ы электродам, поэтому — = — =:-О, и уравнение Пупотснциальиые поверхности параллельны эл ! ассона в пространстве анстве между электронам<я принимает вид: ! д а <Р— = — 4пр. д,а ачнть че ез л (л) чишю электроион, приходящихся нл единицу объема н про х от кача а а через е пбсо<ю>иню величину элект одами на расгтоянии х от казод, Раис»<>е между "' ' Р заряда электрона, то плотность заряда на это р=:= — и (х) е.
я и Остоты, чго испускаемые ~атодом алек<ропы при выход< ею его Предположим для просто> 1, ' *'', ' " '. ' и и выход«' с< его обладают никакой начальной скоро< п ю ами заря з б 1 ) движения электронов Обозна ая которая будет, очсвид о, '1 ' н, пе >сходить в кин<тичгскую энергию то а, а чер<з <г (х) потенциал на <о»< >ке через о >х> скорость электрона нв расстоянии х от катода, а расстоянии, получим 111 б) '/хто (") = еф (х) оа. Наконец, плотность 1 эл; ", . ', ню ни /:лектрич<ского тока, г.
е. заряд, аро><кнющнй ен ит>о г<жу (г е п рнензикчлнрную <к<< м) п юпюзкт за единицу времени через перпендикулярную току т. в 1 см>, равна, очевидно: / =еп <х) и <х>, 1 '( ) 111 71 е 1 >онов. п и>ходящих зо единицу >Ч>емепи через зту нло<цанку В осли ще <и г дам плО<кос<1 ОРО»Ознт Очсвид< стационарно>о сосзояния через любую параллельную электро ",, ю, з уран ., " ле ф акции лз кроме <Г. Прежде всего Искзючнм из уран з уравнения !11.51 все неизвестные >ункц — = — 4пр = 4ппе = —. дхф дхх о Вводя обозначение А = Оп З/т/хе, получим д э = >э /ф н>акой, тб из решений этого дифференциального урлвпсннн, Как легко убсдитьсн поде>ановкой, тб из,, „>о >лв<и>.ю>, которое, согласно уело вню задачи, обращастсн на катоде н нуль и, крои услови ю 1) д<Г/дх==о нри х.=- О, <ю< начальными скороспнин, среднее значение ко<оры к д'й ш ельнос<...,,чада „,ал, . ' „н<о,<ы однако, мало по срав о сравнени<о со скорпс<ыо, ирнос>ре>асмой электронами па пут т одпв (при обычным условиях ошпа).
ДЬНСГВПЕМ ПО>Я МОК П <алых разнос<их позгнциалов мен<ду алек>, чиепом >ЛЕК>РО а т<од в вши<яду щимеви мв ю по ерши<енто ч с о б <зучо щ<н х Оч на пнешш й новее<- и в, выдслнюшихси нл катода. Избы р лз ют збыточныеэлект опы о раз ют лн «облако», элсктпонон, из которого о>де. ности катода (х=«01 слой, илн «о ла », у электродами, откуда опе .фундируют частью обратно в каг д, а о, частью и пространство межд , что может иметь место линн, увлекаютсн полем к аноду. ам . С жс этот слой в цело»< неподвижен, т при 1!=:О<г/дх=.«О.
% |21 и>|. | °, ° "" > ° л «>« равис| р =- (Л!) )лч 111.К) Вели обоэиашпь раггтояиве от анода до ла|ола че!ч:т 1, то ври х=! иотеициал ||. дсшжеи обраи|атьгя ь з«. О|ало быть, ср —. (Л!) >д > 1 >ткула !11.9) Л Р 9я Ъ ш Р та! вх! обраьом, |шшиосгь термоиоииого тока ш' оод шияеця эакоиу Оча, а растет ироиорциоцальио с|ввеки '/> ириложеиио|о к влек!родам ивиряжеиия з«и иеран|о ироворциоИальио квадрату расс-гояиия между ивчи Э>о слои ии >акопов термоиоявож> тока от эакоиов тока в металлах обусловливветея двояк|во рода цричииахш. Во первых, >леыроиы в металлах гоудлряштея с цсцшжитсльиыми иоиаси|, обрлэушишми твердый скелет метал.ш, и иены гывак>г бланшара мому шаро| иьлеиие гшечу двии.еииа, ысгутствук>сцее ирв двьжеиии в вакууме 1 ).
Во-вто>и>х, цри '|ерцоиоииом ток!" ь вростравстае между элгшролами иаходятся лици, еиобс.диые |шектроиы, заряд которых ие ком|к иеируетги >аряддм ио.кчьительиых коков„ ка| эм> имев| место в метал«ах, вследствие чего поле эп ж> так иаэ1лваемсло «прогтрвигтвечиого заряда> искажает псле этеьтродов Отметим, чтс> формула !11 9) ос рог| аст бьль гирвгедчивой црц бо |ьших оло|иостих тока !). 11ри цовышевии во|еицивла аисв1а иагтувает момеит, ко>да вгс выделяемые катод!>м в>е>строя!с иемеалеицо же увлекавсчгв к виолу )1ал| |ийшее ||овышеиие иотеициа ха авычв ис может, очевидиц, новости к увеличеии«влслвогти п>ка, когорая, такиц обратом, логги| вот вог>оиош го тиачеиия (ток илгьццеиия). 3 а д а ч а )О. Пусть ь> означает расстояние данной точки пространства от некоторой произвольно выбранной начальной точки Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
