Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е. скачок потенциала) означала бы бесконечную напряженногть электрического поля, что физически бессмысленно Конечность же градиенга»! означает непрерывность <(>, что и предполагалось нами во всем предшес>вующем, Впрочем, в $14 вернемся к вопросу о поверхностях разрыва потенциала с несколько икай точки зрения. 8.
Вслн размеры заряда е, занимающего объем )>ь, настолько малы по сравнению с расстоянием его А> до рассматриваемой точки поля ', что раса стояние всех элементов заряда от Р можно считать одинаковым, то потенциал этого заряда в Р будет равен что совпадает с ныражением (8.5) потенциала точечного заряда. !. Введение по>ьят>ья потенциала значительно облегчает решение задач эзектростатики, ибо задача определения векторного поля электрической напряженности Е сводится к определению поля скаляра <(>; иными слонами, определение грел функций точки (<лагающих нектара В) сводится к опрсде лепик> одной только функции <>» Зная плотность объемных и поверхностных зарядов, можно определить потенциал ноля [формула (!2.1!)]; обратно, зная градиент потенциала <гх по дпнергенции этого градиента х7 э<(: и по величине скачкон его нормальной слага>ошей на поверхностях разрыва можно однозначно определить распределение зарядов [формуль> (!1.3) и (12.9)].
Однако практически, конечно, невозможно измерить плотность зарядов ил>ь градиент потенциала во всех точках поля. Поэтому экспериментатору приходится фактически иметь дело с задачами иного типа, а именно: дано расположение и форма всех иаходя<цихся в поле проводников; определить поле этих проводников и распределение зарядов по их поверхности,»шш известны либо потенииал каждого проводника (задача А), либо оби!ий <ьар>сд кижс)ого проводника (задача В).
Объемные заряды предполагаем отсутгтвукнцими, ибо заряды проводников сосредоточены на нх п<люрхности Ц 5), а диэлектрики н этой главе ие рассматриваются. 2. Покажем прежде всего, что и этими па первый взгляд весьма обще ]ормулпровапнымн услониями элсктроствтичсское пояс, а с>злобить, и распределение зарядов определяк>тся однозначно, Предположим противное, н пусть <! и ч' суть две рз.шичиьк функции точки, удонлетворяющие услониим задйчи А или В.
Ввиду отсутствин объемных зарядов как <р, так и <>г должны удовлетььо!>нть во всем пространстве уравнению Лапласа (11.4); стало быть, н разность их 3> =Ч> йг <»к>влетво рвет тому лье ура инеи и к> чх<рн = О. Полагая в формуле Григ<а (52ь) ф=-<! =-<1", мы, таким образом.
получим и 3 >де н>пегрировапие предполагается распространенным по всему лежа<>сему шк* проводников пространству )>. так что под 5 нужно понимать совокупи>сгь поверхностей всех пронодщп<ов. Так как прп решении задачи А <( и <!' должны прнним и ь <ш .'> наперед заданные значения, то <!." на вге.с поверхностях <' рншьо нулю. Стзао бьг> ы Ввиду положитс<льногти подыитсгрпльного выраженив нз этого равенс, ва следует, что ч'»ел ==ига»1 3" во всем пространстве равно иулк>, т. е. что ,' --сопз(, Так как, кроме того, пп поверхностях ~роьодипков !" обращается н нуль, то оио равно нулк> и понсюду.
Стало быть, »и'и и доказывается однозначность репи шш задачи А. Обращаясь к задаче В, заметим, что на поверхности каждо> о проводника >и>теициалы ! и <!", а стало быть, н я" дол>хны ич ть постоянное значение. Значит, для поверхности каждого проводника могкно иапнссмсе Но на поверхнск:ти проводников, соглагно (5.! 1, Е = — —.=4па и Ь = — — =-4<со д дл' дл л г><е о и о'-- плотности зарядов проводников, соотнетствующие решениям и»р'. Стало быть, — = — — — =- 4>< (а' — а) ды>" ды> д<» дл дл дл электРР<ческое поле пепОдвижных здрядОВ )гл.
! 1 Ч ДВОЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ СЛОЙ 57 'з <р ли «3 = 4н<рч Я а'с)5 — $ а с(5) = 4л<р" (е' — е), < к<<)~л \ < где е и е' суть значения общего заряда проводника, соответствук>щие решениям <р и <р'; согласно условию В, е и <" должны равняться одному и тому же наперед заданному значению. Так как приведенное рассуждение применимо к поверхности каждого проводника, то вся правая часть равенства (13.1) обращается в нуль. <>ткуда, как и в случае задачи А, следуе~, что <р =<р — <р = сонат. Таким образом, различные реп!ения задачи В могут отличаться лишь несущественной адднтивной постоянной в выражении потенциала, которая, впрочем, обратится в пуль, если наложить в бесконечности условия (!2.!О).
Нетрудно, наконец, убедиться, что если для части проводников заданы условия типа А, а лли остальных - уел< в я зина В, то решение задачи остае<тся однозначным. 3. Итак, однозначносй ре<пения задач элсктрос.гатики А и В нами доказана. Впрочем, нахождение самого рплсния представляет, вообц<е говоря, значительные математические трудности. Однако сели нам удастся каким-либо способом найти выра,кение для <р, удовлстворякнцее поставленным условиям А или В, то теорема об однозначно<.ги позволяет заключит!и что найденное вырзж<ни< есть единственное и <н>тому истинное решение задачи.
Умелое п<лчьзоввннг этим обетов<с><ьством весьма облсгчае! рассмотрение ряда проблем >лектростатики, по чы можем здесь иллюстрировать, к сожалению, лип<ь ни однои<-единственном примере, <нгльзуясь при этом для унро<нения поннтием точечного заряда. Пример это! при <станлиет собой частный случай прими непня обннчсо «м< тода «зоораж< нсс!)>' ').
П р и м е р. Точс чньш' заряд е я<сходит< я ни Рцгсгоянин д оу бегконечногп лровос)нико, заникоюсс<егс леное лолугунгггринс'<но (рис. 10) . Г)прес)слить ло.<е н л)>оном лилулрощранггис' и лло<'- нс<гтб за)нга «<, ияс)у<!«Г>овиннь<х заря<)ом с но г<о<нрхно<ти проводники. Этот нрик мер относи!си к типу рассмотренных гг ньппе .<адпч, ибо обц<и<<с заряд е проводника, несу<пего и<пч<чн<яй» заряд, задан: постоянный же потенпиал бесконечного проволника мо кот быть условно принят рави!из! нулю. Стало быть, этими ус;ювш>ми ре<пенне задачи определено однозначно.
Чтобы найти это реп!ение, предположим, что на продолжении перпендикуляра, ону<ценного из е на поверхность проводника, находится на расстоянии с! от этой поверхносги заряд е'=- --е, затем мысленно устраним сам проводник. Тогда плоскость, совпадавваи ранее с поверхностью проводника, будет обладать требуемым н<ленциалом нуль, ибо все точки этой плоскости будут равно отстоять от равных по величине и прсйивоположных по знаку зарядов +е и --е. Стало быть, ноле совокугснопс< этих зарядов н правом полупространс>ве удовлетворяез условиям задачи, из чего на осно< ) Эн>т иетид будет исиииививии гиии<с ири ре<иеиии м<следие<и иримсри и 4 '23.
ванин теоремы о е. ы однозначности следует, что поле это в правом полупространстве тождественно искомому полю заряда е и зарядов, инлуцнрованных им на поверхности бесконечно<о проводника. Т, образом, наша задача сведена к весьма простой задаче определеТаким о разом, наш ния поля двух точ ух точечных зарялов +е и — е. Конечно, внутри проводника <лю, так что в левом полупространстве поде зарядов + е и — е (штриховые линии на рис. 19) не совпадает с полем заряда е и прож>динка. 3 ада ч а 13. Довести до конца решение рассмотренного примера и поиазать, что и. лотность зарядов, инлуцированных зарядом г на поверхности бесконечного проводника равна <г = — ес)/(2ЙЯ~), где к> -- расстояние элемента поверхноаги проводника от заряда е, и что весь заряд, индуцированный на проводнике, ранен. — е. $ !4.
Двойной электрический слой Результаты этого параграфа понадобятся нам лишь в связи с рассмотрением двойных магнитных ел<ха, или листков, в главе )У, так что чтение этого параграфа можно отложить до соответствующего места. 1 Пусть две весьма близкис н нараллельньн друг другу поверхности 5 и 5' ( >ис. 20) заряжены электричеством противоположного знака, и и '! рис. притом так, что плотности зарядов а и а' на противолежащих элементах обеих поверхностей равны по величине и противоположны по знаку (а= — а'); положим для определенности, что и'- О. Если расстояние между 5, и 5< исчезающе мало но сравнению с расстоянием этих поверхностей до рассматриваемых точек поля, то совокупность поверхностей 5, и 5< называется двойным злекгричегкнм слоем.
Потенциал этого слоя в некоторой точке поля Р, согласно (12.11), будет равен: «р = ~ — + ~ —, = ~ а ( — — —,) с)5, < 3! 3! 3! рис. 20 )7 и ><' с 'ть соответственно расстояния точки Р от элем лсмента с)5 поло>кигде и ' су' о ем элемента тельно заря женной пг>верхностн 5 и от противолежащег у отрицательной поверхности 5<. Но .„- — —, есть приращение обр ! ! об атного значения радиуса-вектора, пр Й, и оведенного от рассматриваемого элемента двойного слоя в точку, при р Р, и и перемещении начальной точки вектора от отрицате..- ной позе хн<юти к поло к оложительной, Пусть и есть направление нормали к н< р, к оло двойному слою, от отрицательной его стороны к ол и ожительной, н пусть Г - — толщина слоя (расстояние мсжлу 5< и 5() .
Повторяя рассуждения, приведшие нас в 4 8 к формуле (8.11), убедимся„что при l«)7 /1х 1 — —, =Й! рта<)Ч ~-,-) = — Й! йта<)и ( у !. хвойной >л>кп ический слой > !41 (гл. 1 элкктРичвскан пс>лв н!!Ис>движных 3АРядОВ Пояс~авив >та и пре;цпегтвукяцсс уравнение н вводя обозначение т=-ай (14.! ) па>учим ср == — ~ тп угад, ( 1 ) д5 (! 4.2) 3, Такс во аканча>ельнас выражение потенциала двайносо слои '), в котором ИРСДПаг ИГас>СЯ 71> РаДИУС-ВЕКТОР Й ПРОВЕДЕН ат СЛОЯ В ИССЛСДУЕМУК> ТОЧКУ паля Р. Величина 1, равная произведению плотности заряда поверхности слоя на гоз>ци>су с:>ая, называется мои(нас>тпа или Аи А!гитам слоя; мы будем пользоваться >ервь>м терминам, сохраняя второй для обозначения другого пан>пия (с».
г.шву 1>>). 2. На основании (!04) подынтегряльное вьсражение я формуле (!4.2) можно прслстячить и гщдс — и р гад, 1 — А) Ю =- —, дз = —, соз (Р, и) а>ц. С другой стороны, согласно (3.2), — гааз(4(, п)Ю= ~СЯ, ьг где с!1) . тат >гласный угол, пад которым элемент двойного слон с(5 виден из точки 1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
