Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 130
Текст из файла (страница 130)
сразу нз ферчул Стокса (27*) и Гаусса ()7'), если ссо ожить и них з: |г|н) с) или соответствснно а--го! Ь. Иосноль. зовав|оисчь кроме того, упввнениеи (28*), псмучаеч д(его(ь.с((г $ го$„Ь ° с(Б=Ог го(н ягад ф ° с(о = сваг ягад ф с(в ~у — с(в О, =$ т' да Фк)вг инилу ппонтвольноеги ооласти иитегпи(сов |нчн слег!) кгт унонинутне соотножы|ин. для обычных в екторов справедливы соотношения ° [аь1=ь [ 1= —. [сь! а и ф енцнальным оператором т7 можно предПри замене вектора диф рен сумме выражений положить, что (а д х? $ Ь] олжно быть приравнено к сум Ь [т7 а] и — а [ х7 Ь], анализе производная от произведения равна сумме двух бо обычном членов, в каждом из кото ых ди еренциро о „едственным вычислением, Один из СОмнОЖ телеи.
которое ое мы предоставляем провести читателю, можно Т7 [аЬ] =-Ь [Т7а] — а [х7Ь], т. е. что д(у [аЬ] = Ь го1 а — а го1 Ь. 44 а нии и оизведеиия с (аЬ) трех векторов иеобКак известно, при вычислении пр то ов а и Ь прежде помноходимо выполнить ска калярное перемножение векторов а и а ение жения их на с. ос ве С уг тственио этому и выражен т7 (аЬ) =(ггад (аЬ) влено в виде суммы двух членов, в каждом из М которых дифференциру и ется лишь один из сомножнте выполнимо также и по отношедалее, что таког ого рода преобразование невыполн иию к выражению ['7 [аЬ[[=го а — 1[ Ь]. мог т быть, однако, представлены д в ви е с ммы фф цированию подвергается четырех членов, в каждом из кото ых ди еренцир к сам векторного анализа приведен От ылая за доказательством к курсам векто сыл | соо~~ет~~~у~щ~е Форнулы атад (аь) =(Ьт?) а+(ах7) Ь+ [Ь го1а] + [ага го1 [аЬ] =(ЬЗ7) а — (ат7) Ь+а дсчЬ вЂ” Ь д)у а.
чае, когда Ь=сопз( и а=)с, где )( — радиус-вектор, формула с, к (45»), как нетрудно показать, сводится '(?(Ьй) = птад,(ЬЩ =Ь. 4 е а=Ь, то полу сим Если, двЛЕЕ, пплОЖиТЬ В (47') $1?аа = (а1?) а + [а го1 а]. 2 е ассмот еть скалярный оператор ат7, получзе- Т енисм н оизвольного вектора а ! тона з?, стоящий справа от а (в отличие от д д д (48') а)7=а„д + аа — +ал а . (и, — — — — |,кулс| показнив|осси в тексте книги (сч |] ?(лн частных с!|у'сасн е ?З и 4 З?, с.
2(Ф) нее < ОРИ ЫИ АНАЛИЗ ~ <)!» а <)(7 = — <)> о <(О (50 а') ~(фУйр+(Тур)(УР)) д = фф-„'-'- !5, (52*) (5!') (53*) В частном сл < учае, при о=-1, операция а~> эквивалентна, очеви нахождению производной — <--.по иап >аале идно, .по направлению единичного вектора а.
Вообще же говоря, выполнение операции азl над и ои: . точки эквивалентно умножению ! а над произвольной функцией направлению вектора а, на чис! <ию производной от этой ф . функции, взятой по а числово<> значение вектора а; ; инымн словами, а(7 = а —. д да (49') Действительно, выполняя оп р" ром <)>, получим ска.зяр перацию а >7 и и Р" ид произвольным скаля- илн на основании (4*) а>7 < ==в га < = <у==в рга<! р=-а —."' в согласии с (49"). Выполняя же операиию аз7 на п < вектор: а над произвольным вектором Ь, , получим (а!7) Ь = а!? Ь = — а — + — + =- дх- "—,+ =— у =де слагающая которого„напр ример, по оси х равна С другой стороны, производная некто а >ая вектора Ь по направлению а, согласно д(> — =-соз(х, а) — '„' + соз(ГО а) — + сов(е, а) —. у дн Умножая это равенств в том, что действительно о на и и сравнивая ез р зультат с (50ае), убедимся а>7 Ь=а < дн что и требовалось доказать.
Та >бр , сл Р' ° >'слн вектор аким < оазОм, <>ел д величин второго по и о равны соответгтв нно и >ю приращению скаля а <, и в * «точки наблюдения» а » а, р й по величине и направлению век» на отрезок, явны енин 5. Э , р рации пространственно 5. Элементарные опе а градиента, диве <еи! ии, водятся к образованию °;, * го дифференцирования *р (, Ротора и произвол>юн ., как мы видели ), имг ческий смысл и потом ), гют определенный геомет си ,<у инн<>(>пантнь! Ио отн ., етрии» лми словами, значение " не выражений иию пга<)<р, <)!><а, го!а, дЬ|дп не зависит от выбора системы координат. Все о инат.
се соотношения ~~~~у диффениями, выведенные нами иант> ый ха б н о, хотя при показа в'- тсльстие их мы всякий раз и ] <.н. Трнененнн (3'), ()К<), ('З' , (' ') н (зз"). ! а) ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИИ. ТЕОРЕМА ГРИН» пользовались определенной (декартовой) системой координат, однако в са- мые соотношения входят лишь инвор><антнь<е выражения дга<! 9>, й!ч а, го(а и т. д. Стало быть, форма этих с<ютношеиьй не может изменяться при переходе к иным системам координат.
й 8. Интегральные соотношения. Теорема Грина формулы Гаусса (17») н Стокса (27') представляют собой основные интегральные соотношения векторного анализа; исходя из них, можно получить и ряд других важных с!>Отноп>ений между пространственными (объемными, поверхностными и линейными) интегралами сналяриых и векторных величин. !. Формула Гаусса (17*) позволяет без труда доказать важную для векторного анализа и его приложений теорему Грина.
Для этой цели в формуле Гаусса (!7*) положим: а=<кигай <(«=-)> >7<(>, где ф и «> - — два произвольных скаляра. Согласно (43(! и (4Г)»), <)!т> а ~ ф <(!ч йга<) <р + пса<) <(> . йта<! <р = >(>)7э<р + (рр) ((7ф). Далее, а„=<!>И>та<1, <(>=<)>--' . Г!оэтому из (!7*) следует, что дэ где интеграл правой части должен быть взят по замкнутой поверхности 5, ограничивающей область интегрироиания (7.
Эта формула и выражает собой теорему Грина. Для некоторых целей удобно преобразовать формулу (52"), заменив в ией ф на <(, и обратно; вычтя полученное таким образом уравнение из (52"), получаем ~ (фТ>><~, <р~>е<)>) <(Ь' =.-- $ (ф д„'(' дн 7 Как указывал<к'ь, применение теоремы Гаусса ограничено требованием непрерывности вектора а и конечное>и его первых производиь<х в области интегрирования Г>. Поэтому теорема Грина непосредственно применима лишь к конечным и непрерывным скалярным функциям 'гочки <) и <(>, обладающим в области интегрировании )7 производными первого и второго порядков.
2. Рассмотрим линейный интеграл произвольного, но обладающегс конечными производными скаляра <)> по произвольному замкнутому кои. туру )л Интеграл этот является вектором, ибо под <(з мы понимаем вектор ную величинт элемента длины контура. влжиняши орм««««ь«вектоРного Аиллизл л лл««л л«л««««««л««И.« Чтобы преобразовать этот интеграл, помножнм его скалярно иа неко тарый произвольный, но постоянный но величине и направлению вектор с сафа«в = $ фс~в = $фс,~з.
С помощью теоремы Стокса (27*) последний интеграл может быть преобразован в интеграл но произвольной поверхности 5, опирающейся на контур !.; для этого достаточно положить в уравнении (27л) а=фс: с $ ф«(в = «)«го1„(«рс) о«5. Ввиду ностоянства вектора с из уравнения (43з) получаем го1 (фс) ==ф г«Л с+ [ягаб ф с! = [ь«га«! ф-с] „ и, стало быть, го1, (фс) =п [ига«! ф с] =с [н йта61 ф]. Внося это выражение в последнее интегральное соотношение и вынося постоннный вектор с за знак интеграла, получаем с «с) «р«(в = с ~ [н ° йтаб .р] «(5.. Ввиду произвольности вектора с это равенство может иметь место только нрн условии равенства обоих интегралов. Гаким образом, приходим к искомой формуле 1ф =~[ 3-6габф].
(55') 3. Докажем соотношение ~ го1 вЛ' = «~! [па] «(5 = «з(«[«13 - а], (56') позволяющее преобразовать интеграл ротора произвольного вектора а по произвольному объему )«в интеграл тангенииальных слагающих этого вектора но замкнутой поверхности 5, охватывающей объем )«. Умножим подлежащий преобразованию объемный интеграл скалярно на произвольный, на постоянный по величине и направлению вектор с.
Согласно уравнению (44*), с го! а=а га1с+ойь [ас] =«15 [ас] „ гак как ротор постоянного вектора с равен нул«о. где, как ввсгвует из вывода, и есть нормаль к поверхности 5, образующая правовинтовую систему с направлением положительного обхода контура 7.. Если мы условимся элемент поверхности «!5 считать величиной векторной, направление которой совпадает с направлением положительной нормали к этому элементу «15, то уравнение (54л) можно буде«записать следующим образом: (3") (10') (17') (!3') (15', (6.7 (27* щ««а.= дтл !л ~~ .о(„ао«5(теорема Стокса)- ь $ ~,,~.л го1„а =-- Ит — '-лр —. зз-ьл (23' Следовательно, с го1 а«д« = ~ 61~' [ас] "1 = 1 [а~]л и - овались теоремой Гаусс' а 17" .
где мы воснольз««в««««««- Наконед, [ас] =-. ]ас] н= — с на с го1 аЛ' =- с $ [яа] «(5. т авнение (56*). В р вроизвольиостн вект««р ц в настоя , а с отсюда вытекае' ур ие некто ного анализа о™ Заканчивая изложен " ые предельные теоремы, приложении мы не расс р " отаре и поверхностной днвер ат ввали некоторые ' ' ген «и. като~ыеем тензорные соотна ятию а поверхностном рота ' ...я в, одятся в Зти теоремы з «зкяе некоторыс тексте книги, некто ного анализа й 9. Важнейшие формулы в р яо направлению в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
