Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 128
Текст из файла (страница 128)
суть средние значения слагающих а, и а» на первой, второй и т. д. сторонах прямоугольника: отрицательный знак, например, последнего члена суммы обьясняется тем, что интегрирование по стороне А!< производится н направлении убывания координаты у. Будем теперь стремить длину сторон прямоугольника к нулю. Тогда с точностью до величин второго порядка малости среднее значение слагающей и» на отрезке ВС, отстоящем от отрезка Ао на расстоянии Лх по направлению оги х, будет отличаться от значения а» на отрезке Аг» на ЦИРКУЛЯ>ция вьКТОРЛ. РОТОР вЕКТОРЛ икк"г> 'ныя лплинз 470 величину "о" Лх: А» м г>гг аа а =а + — Лх.
дх Соответственно дС = $ а, дз = го1„а Г(5, с (26') да„ а„=а+ д Лу, ду (24 а') 1 1! ,д д д дх ду дх а» ан ах го1 а =— д>с .=- ~~ >)) а, ГЬ = г)) а, >лЬ = С, ибо С0 отстоит от А)> на расстоянии Лу по направлению оси у. При этом в пределе при бесконечно малых размерах прямоугольника мы можем понимать под дае/дх и да,/ду значения этих велич>>н я центре Г) прямоугольника. Внося эти выражения в предшествующее равевство, получим (при и )1 оси г): м >лег и > дан да„ ИС= фа,е(а=(ау — ан ) ЛУ вЂ” (ах — а ) Лх= — ЛхЛУ вЂ” —,—,Лхдд, дх - ду где мы заменили С через г(С, чтобы отметить, что соо>мшшсиис это сира)мд- ливо лишь для бесконечно малого прямоуголышка ').
()бозцачая, накшк ц, площадь прямоугольника Лл )у черсз 1!5, получим окончатель и: 7 дан да» ) прп и (1оси х дС=-Г(>а,г(з=( — — —., )715. . --ф,. Так как оси х, у, а образуют правовннтоцу!о систе>.',, то, совершяя кругову>о перестановку индексов л, у, а, мы получим, г>че>жци>, циркуляцию вектора а по контуру бесконе!чно малОГО нрямоу>7>гп)!>яка„полонен.
тельная нормаль к которому направлена по Оси х или по оси у: >' да» да,, при и 1) оси х >(С = $ а> гЬ ==- ( — — — ) д5, ду дх при и 1!оси у Г)С=-фа.>Ь===( и" — 'эа' )г(5 дх дх/ Фигурирую!цпе в формулах (24е) и (24ав) комбипапии производных слагаюц!их вектора а являются, каь мы пока)кем, компонентами шкоторого вектора, который принято обо.>начать через Го! а или >ч!!)а (читай: ротор а или керл а, или вихрь а) >): да да„ да» дан дан да» го( а= — — — го1 а= — — —, го(ха= — — —. (25') х ду дх ° У дх дх х дх ду '1 Конечно, да вовсе не нвлнгтен инлжлм ин>Р)и ргиш>илом о> 1 Знметнм, что го! в н>ивет йн ь >рг;ы>н>мгн в ~)н>рл>г глг олны!о >им.млн.нгкг и определителя: где 1, 1, й суть елиничнме вгл1орм но >мни каор>н>он> л.
>ь . 1)ри н>н и>еленин что>о оинл>!гиии тели нужно, конечно, нол нронввеллиннни О:ив —; — а,, ноннино. >нг1нлм ирои»1н лнун>о~ н„ио ол Ао„ л,т е. — —. дл Вектор Го1 а может мыть назван вектоРной пРостРанствснной пРоизводной вектора а (в отля >ис от его скалярной пространственной производной с(>ц а) С помощью обозначений (25*) выражения (24*) мг>гут быть записаны следукнцнм образом: причем под и нужно понимать положительную нормаль к площадке Ц5н составляющую прая»винтовую систему с направлением положительно! о обхг>да контура этой площадки.
Г1олагая последовательно и параллельным осям х, у и з, получим из уравнений (26в) и (25е) уравнения (24*), (24а >) Так как оси кот>рх>гкзч всегда можно выбрать так, чтобы одна из эти » осей была перпендикулярна к 1>лоп;цдке 1!5, то уравнение (26*) остаегго, ОЧЕВндНО, СПраасдЛНИЫМ дпя цнрКузяцнн ВЕКтора а ПО Кцитуру ПраиЗВСЛои» расположенного бесконечно малого прямоугольника '). Перейдем теперь к рассмотрению циркуляцин вектора по контуру произвольной -- таТ-.,—.>)=ГЭ> формы и размера Проведем поверхность 5 >1)(р)11 ', ! 11, '1( >>>4 так, чтобы оца опиралась па контур ь, т.
е. чтобы этгп контур являлся по>раничпым контур!>м поверхности 5 Разобьем затем эту !юв1)рхност> двумя БзаимнО нг'~и!ендикуляр- !1' ными системами параллельных линий на совокупность бесконечно малых элементов (рис. 104) которые блаи>даря своей малости могут считаться илосьнци. Применив к каждому пз этих эл>'ментов уравнение !26в) н сложив полученн!не вырин«. ния, найдем: ИС= 7 1))а,да=-~~ го(„а»5=~ го(„ад5, где п есть внешняя нормаль к ~5, причем внешняя сторона поверхности .' должна быть выбрана в соответствии с направлением поло>кительш>г.> ОГ)хо)1а ес контура (арапа>или оаая гиг>сл>а).
Пря ннтсгрпрона>ии по ко!мурам элементарных площадок каждая граница л)Л двух с>южных нло>падок пройдется два раза и притом в протн вопг>ложных направлениях; поэтому в сумме / фал>Ь встретятся оба члена н )а»ГЬ и )а,~Ь, в совокупности дакпцие нул!. Таким об>разом, ) >(>>О.ГЬ л и сведется к сумме чле>п>в, относящихся к одним лишь наружным границам площадок, т.
е. к интегралу вектора а по внешнему контуру пло!пади 5, откуда '! 11о>>и>ниг )ли>нннлнн>еинг .мк> иио лни>ь в тон гл»>нг. >ин го! в ег>1. и >иннин лектор, иннвримавлй нонн нгглым ирг>йрнзоввинн коорлинвт. Это лейгтнителым инл> место 1ем, ниже!. где С означает циркуляцию вектора а по контуру 1.. Внося это выражение в предшествукпцее уравнение, получим С = >~ а, <Ь =- ~ го1„а <15.
3 (27') При выводе этой формулы мы нс приняли во внимание, что наружиыс (прилегающие к контуру 1.) элементарные площадки, вообще гон<>ря, нс будут иметь прямоугольной формы, тогда как справедливость уравнения (26*) доказана нами лишь для площадок прямоугольных. Однако прн неограниченном уменыпении размера прямоугольников ломаная линни, составленная пз наружных сторон крайних прямоугольников, сколько угодно точно совпадает с контуром 1. площади 5 ').
Основываясь на этом, можно придать выводу уравнения (27и) совершенно тс>чную форму. Соответствующих рассуждений мы здесь приводить не будем. Таким образом, единственное условие справедливости уравнения (27») состоит в требовании непрерывности и дифференцируемостн вектора а во всех точках поверхности 5. Уравнение это выражает собой так называемую теорему Стокса, которая гласит: циркуляция произвольного с)екгора а по замкнутой кривой 1 ранна потоку ротора этг>го аектг>ра !грез поверхность 5.
о>и<!а>ощун>ся на кривук> 1. Форма поверхности 5 при этом остается соверп>енно неопределенной. Стало бить, через любые две поверхности 5! н 5ь если только они обладают одним и тем жс контуром 1., проходит одинаковый поток ротора лк>бого непрерывного вектора а, равный цнркулнции этого вектора по общему контуру этих поверхностей. Из уравш пня (27*), между прочим, сразу следует, что <)> го1„а с(5 = (), (28') так как в случае замкнутой поверхности 5 контур 1. стягивается в точку иС- ОЯ! Переходя от уравнения (27») обратно к столь малому элементу поверхности й5, что его можно считать плоской площадкой, во всех точках которой го1 а сохраняет постоянное значение, мы сможем вынести го!па за знак интеграла и написатсс <ГС вЂ” "фа,<!<==го!„а.<15.что совпадасз с урзвнением (26») Поскольку уравнение (27") применимо к повсрхнос>и любои формы, постольку и формула (26») также применима к бесконечно малым площадкам любой формы.
Так как эта формула справедлива лишь в пр! дель! Хоги, например, предел суммы длин кяружяых сторон прямо>лольиыл пло>пядок може> Гик!к ие ряпсп длине контуре !. х) Ввиду яяжкости формулы 128') ><риисдсм еще одно докязятсльстяо ее. Пропоем >е поясрхиосси 5 кяк>к>-иибудь зямкпутук> крияук> !.. когоряя ряздслиз покерхпость 5 ия дяс >исти' 5! и 5» 11римепия к кяжлой из этих чясгеи формулу Спокоя 127*), получки $ ах <!з = ->- ~ го)„а д5 = ~ ~ го)„а д5, где п озиячяет щпчпикпо >юръп>ль ь 5, 5 зял>ьпутои поигрмкюги 5.
Зпяк погчс:<ни< диух чл<иоя оярслглистся тси, гостяялщт ли кипрея >янис кормя.>и п с пяяряялсяисм обло<я кп>муря >. пряла- или лсяпяи>попую спетом! !1ри лк>бом иыборс пяпряилеищ> обходя *ти дия иогсгркля, кяк легко убсдпп си, и! Ь>т ямсп, прог>п>о щыожпыс >пялп, ч.>о и прикол>п л искомом> рс>улщ:>т! ном слччае бесконечно малой поверхности, то правильнее записать ее следуюнп>я образом: С)> пх дя го1„а =- Вт — ' —,, (29") гл- о <.лщ яняич! ы кторя го! >, согласна уряяпеоню (сэ ), » ря ямы дпу до с го1я ч=- — — — = 2е, дх ду го1 „ч ~ го)у ч О, откудя (ЗО*) го! ч=.2<я.
Тикки обряк>м, ротор лиж'йпой скор<>с>и тпщ'и тяер. лого тетя имеет о;пп>якояое зкячспие по и<ех точкях теле П ряягп удяо< якой угловой скорости его ярок<сипя. Рис. Шй Соогпощсиие 1ЗО") о<ткется спряясдлииым и я том случае, с<ли >ело, помимо ирящятсльпого. илло>пнся также и и пост>пя>сч! пом дипжспип (ибо скорость иоступятслы>ого дяижеиии одииякоия по пссл точкя' тя<*рдого >ели, и ро>ор ес >и>этому равен пуль!). 1)якоисп, я теории упругости докизыпястся, ч >< ур ' * ыииепие (ЗО') остя< гси сяряясдлпяым яе только для тясрдого, по д.
р и .як п оизиольж <еформирукидегося !<ли 1пяоримср, жидкости), причем я >том случае под и пуж о ч п жио поиимят! Таким абра.>с>м, с.щгающан вектора го! а в данной точке поля 1> по данному направлению и равна пределу отноцн ния циркуляции вектора а по контуру произвольной площадки <15, проходящей через 1> и перпендикулярной к и, к поверхности этой площадкп г(5. Отсюда явствует, что анаис'ние слагающей Го! а ровс<> и!' зависит от выбо а системы координат, т.
с. что го1а действительно является истнпныь! вектором. Таким образом, инвариантность вектора го1 а может счнтат с. ь и показа>шой, В сущности это утверждение не вполне справедливо, нбо, во-первых„ мы прн выводе ураинений (26Я) и (27») уже воспользовались тем самым свойством пнварнаптностн вектора го1 а относительно преобразования координат, которое мы хотим доказать: именно на эту инвариантпость го1а мы гсылалнсь, утверждая, что уравнение (26») применимо к площадке произнольнг>го направления (см. сноску на с. 479); во-вторых, мы опустили строгое доказатсльсгво применимости формулы (27*) )а стал; ! быть, и формулы (26*)) к контуру произвольной формы.
Справедливость этих положений может быть доказана путем непосредстненного вычислении в декартовых координатах циркуляции вектора по контуру произвольной поверхности. Проще и правильнее, однако, считать инвариантное относительно прсобразовання координат соогношенис (29») определением понятия кротор вектора а». Исходя из этого определения. нетрудно, обратив порядок наших рассуждений, доказать все выведенные выше формулы. В злклк>копие, побы поягиить гсомс>рический смысл ротора, ряссмогрим 'прин<ели тясрдого тела <' угловой скор<нтьк> ы. Вектор ы мы булсм, кяк обычно, считать пяпряялеииым по оси прящепия и притом тяь, чтог>ы пяяряялеиие яряппк состяяляло < вектором и пряяояиитоиую сигт! му (прилило б<ряячикя). Выберем ось я тяк, чтобы оия сояпядялл с ось>> прял!гиии и била яяирянлеия яо и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
