Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 127
Текст из файла (страница 127)
Однако на протяжении всей этой книги мы обозначали интегралы любой кратности одним-единственным знаком ~; различение жс интегралов разной кратности достигалось различным обозначением элементов интегрирования: элемент объема (трехкратного интеграла) обозначался через дУ, элемент поверхности (двукратного интеграла) через д5, элемент линии (одинарного интеграла) через дх. Грани всех элементарных кубиков, составляющих в совокупности объем У, могут быть разделены на два класса — грани внешние, совпадающие с элементами поверхности 5, и грани внутренние, отграничиваю>цие смежные кубики друг от друга.
Очевидно, что в сумму ) с1>Ч поток вектора а через каждую внутреннюю грань войдет дважды: при подсчете потока через поверхность кубика, лежащего по одну сторону от этой грани, и при подсчете потока через поверхность кубика, лежащего по другую сторону от нес. Так как нормаль к грани, внешняя по отношению к первому кубику, противоположна нормали к той же грани, внешней по отношению ко второму кубику, то оба потока через эту грань будут иметь проти- ) 466 ТЕОРЕМА ГАУССА. ДИВЕРГЕНЦИЯ 46? 4 4) ВГКТОРНЫЯ АНАЛИЗ воположные знаки. Следовательно, все члены суммы ~ ссй, относящиеся ко внутренним граням, сократятся, и сумма эта сведется к сумме потоков вектора а через одни лишь внешние грани кубиков, совпадающие с элементами поверхности 5 ).
Таким образом, С.с)ст' оказывается равной потоку Ф вектора а через заданную поверхность 5, и, стало быть, йс =$а д5= ~ с)гоас!)г. (1?') Это выражение представляет собой георему Гаусса: поток вектора а, являющегося непрерывной функцией точки, через произвольную замкнутую поверхность 5 равен интегралу дивергенция этого вектора по объему ограниченному этой поверхностью. 3. Если поверхность 5 столь мала, что во всех лежащих внутри нее точках д)на можно считать величиной постоянной, то н уравнении (1?«) йу а можно вынести за знак интеграла.
Стало быть, поток с)?т' через бесконечно малую замкнутую поверхность 5 гс)гоизвольной формы выражается той же формулой (164): йЧ = с~ а„с)5 = йу а с()г, как и поток через поверхность элементарного параллелепипеда. Так как эта формула справедлива лишь в предельном случае бесконечно малой поверхности, то ее правильнее записать в следусоп)ей форме: $ а„дв йтга= 1пп АУ- О (18') Правильнее всего считать эту формулу определением понятия дивергенс)ии: дивергенция вектора а в данной точке поля есть предел, к которому стремится отношение потока вектора а через произвольную, окружающую эту точку, поверхность к ограниченному этой поверхностью Объему ЛУ (прн ЛИ-»О).
Из этого определенна дивергенции следует. что значение ее вовсе не зависит от выбора системы координат, т. е. что диьергенция вектора есть истинный скаляр. Исходя из (184) и воспользовавшись (16»), мы в частном случае декартовых координат, очевидно, вновь придем к (14«). Отметим в заключение, что в гидродинамике дивергенция скорости жидкости у имеет непосредственное физическое значение.
Действительно, в каждой точке жидкости $ сгл до д!)сзс= 1пп — —. А »'-»О равна рассчитанному на единицу объема количеству жидкости, вытекающей из элемента объема с))г, окружающего рассматриваемую точку. Название «дивергенция», что значит по-латыни расхождение или расходимость, было избрано для этой величины именно потому, что жидкость растеКается или расходится из тех и только из тех точек или участков занимаемого ею пространства, в которых д!и у з О. Очевидно, что в этих точках ) Утверждение, что ноток через внешние грани кубиков совивлвс1 и нрелсле с потоком Чврез ооверкность 8, нужлвстся, в сущности, в вовсе строгом мвтемвтичсском локлзнтсль стае, нв котором мм оствнввливвться не булт'м.
должны быть расположены источники жидкости. По аналогии, те точки поля произвольного вектора а, в которых йу а ~0, принято называть истоками этого поля. Числовое же значение 41вс а называется силой, илн обильноггью, истоков полн; в зависимости от знака дивергенции сила истоков может быть как положительной, так и отрицательной. Иногда отрицательным истокам поля дают название стоков поля. Векторные поля, у которых йу а=0, называются свободными от источников, или солвноидальными. П ри мер 1.
Определить дивергенцию вектора а, который в каждой точке поля направлен параллельно нли антипараллельно радиусу-вектору К, проведенному в эту точку из точки О. Применим с этой целью формулу (!84) к элементу объема д)г, вырезаемому из шарового слоя, ограниченного сферами радиуса Я и )?+с!)?, конусом с центром в О, который пересекается с этими сфсрами по дугам меридианов а и а+с!я и дугам параллельных кругов д и 1)+с% (рнс.
!01). Так как, по условию, вектор а параллелен К, то поток его через боковую (образованнтю конусом) поверхность объема др равен нулю. Далее, так,' ' фу как вырезаемый конусом элемегп с!5 поверх- ь~ . длс ' .,'..) з) 2 ности сферы радиуса К равен. ' 1 ' --.....)'лг) с(5 К2 з!4) 44 леь с(а / то поток вектора а через него равен а„с(5 = — ил)с~ з(п.б с(() да, где а„— - слагакнцая а по направлению К (асс=-+-и), ибо внешняя нормаль к д5 на- р .)о) правлена обратно радиусу-вектору К. Поток же через элемент поверхности сферы радиуса )?+с)й, вплоть до величины . второго порядка малости, равен, очевидно: алсс2 з!и б с!б с)а + — (алг(' ейп б с)0 да) с)К.
Таким образом, полный поток равен $ а„с(5 = — (анК2) з )п б сстг с(а 4(сх. С другой стороны, а/ = с)5 ° с(К = К2 3!и б дб с)а Я, так что олд5 ) д д„ д!ха= 1нп г = — —,— Явил)= — + — ал. — й Предоставляем читатезно показать, что для произвольного вектора а выражение днвергепции в сферических координатах приобретает вид с)!))а= — — (Кта )+ м — — — (з!пбао)+ —.— — ('-0) 1 д 2 1 д ) доо з ))и дс) Вг Й в)н 4) дб )с в)и)) ди ' н' к<< '. ц<! "< '. ' <<<и ''<и<'<'<пи .ыы'и з где а, ар. а — слагающие вектора по направлению возрастания координат К О, сс.
П р и м е р 2. Определить дивергенцию градиента произвольной функции ! (Й). Будем рассматривать радиус-вектор К как функцию точки наблюдения (см с, 469). Обозначая вектор пса<1„1(й<) буквой а, получаем на основании (8") и (9"): а=Кгаб,~(Я)= — —, д1 К д) ал — —— д<< ' Так как остальные компоненты а равны нулю, то на основании (!9») <)!ч дгас(1(Я) = ч — ~٠— ) = — + — —.
1 д г з д1х д»1 2 д1 К дй ~ дй)=дй» К дт( (21') Дивергенция ига<)р! (К) имеет то же значение, ибо, как можно убедиться вычислением в декартовых координатах, йч дга<!р(К) =- — б!ч,( — Кгаб,1®)] =б!ч,йта<),~Я). П ример 3. Определить выражение дивергенции произвольного вектора а в цилиндрической системе координат х, г, сс (рис.
!02). Слагающие вектора а по направлению возрастания координат г, г, и обозначаются соответственно через а„а„а„. Применим формулу (!8*) к объему «)<, ограниченному двумя цилиндрическими поверхностями радиусов г и «+<!», двумя мсриднональ— и и = 'а ~ + <!а и двумя плоскостями, перпендикулярными оси / х=х) и х=х)+<< (рис. !02). Поток вектора а через элемент цилиндрической понерхности радиуса < равен -- и,<да <Ь; для цилиндрической поверхности радиуса г+ +<(г он равен а,г <(а <(х + — (а,г <1а <(х) <1г д Риг. 102 — (га„) <1а <(г <(г.
Вычисляя аналогичным способом поток вектора через остальные элементы поверхности объема <!Г, получаем Так как <(!<=г<(а и<а<!г, то формула (18*) пришшнт к результату: да» ! д 1 диа <!!ч а = — '+ — — (га,) +— д» г дг ' г да (22*) (с точностью до бесконечно малых второго порядка), а сумма потоков через обе цилиндрические поверхности равна $ 5. Циркуляция вектора. Ротор вектора. Теорема Стоке» Преобразование интеграла вектора по замкнутой поверхности в интеграл по объему привело нас к понятию дивергенции вектора.
Рассмотрим теперь интеграл вектора по замкнутой кривой. Пусть в поле вектора а [К) задана некоторая кривая 1. и вместе с тем задано, какое из двух возможных направлений движения вдоль этой кривой считается положительным. Разбиваем кривую ь на бесконечно малые элементы <!в, направление которых совпадает с направлением положительного движении вдоль линии, и умножаем каждый элемент <(з скалярно на значение вектора а в соответствукицей точке поля. Предел суммы этих произведений а<(в=а, а<э при сЬ вЂ” О, распространенный на все элементы кривой, называется линейным интегралом всктора а вдоль кривой й: ~ а<(в = ~ а,<Ь.
Если кривая й замкнути, что отмечается кружком у знака интеграла, то линейный интеграл вектора а вдоль нее называется циркуляциеи а вдоль й: С (а) == $ а <(з =. <»)< а» <(з. (23') Предположим, что к<штур й представляет собой контур плоского прямбугольпика А<ЦС1з, и выберем оси х и у декартовых координат так, чтобы онн были ~<араллельнь< сторонам этого прямоугольника и пересекалнсь в с<о центре (рис. !03). Пусть стороны прямоу~ольника панны соответственно Дх и Лу. Если выбрать направление положительного обхода контура так, чтобы соответствую<цая положительная нормаль к пло<цадн прямоугольника была направлена по оси - ( рис.
! 03), то в с и Л С = $ а, <Ь = ~ а, <<х + ~ а» <!у + ~ а„<!х + ~ аа <(у. а с о Воспользовавшись известной из интегрального исчисления теоремой о среднем значении, получим (при и !,' осн г): l » //< <<<» С = $ а,<Ь =- а»йх + а»йу — а, Лх — а» Ьу, где а', а'„' и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
