Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 126
Текст из файла (страница 126)
Пример 2. Показать, что если Ь есть постоянный по величине и направлению вектор, то ягас(,(Ьй)=Ь (Ь =сапа!). (1 !') Вектор й имеет слагающие х' — х, у' — у, г' — г; поэтому Ьй =-. = — Ь (.т' — х) + Ьи (у' — у) + Ь, (г' — г) . Слагающая по оси вектора угад„(Ьй) равна ---(Ьй) =Ь„; две другие соответственно равны !лх и Ь„откуда и д дк' следует формула (! 1*). $3. Поток вектора через поверхность Если задано поле произвольного, но дифференцируемого скаляра ф (й), то тем самым задано и поле производных этого скаляра по произвольному направлению. Инвариантной, т.
е. не зависящей от выбора системы координат характеристикой этого поля производных является, как мы видели, поле вектора ига<)ф. Нам предстоит теперь определить инварнантные характеристики поля пространственных производных произ- Значение рта<1 й, соответствующее первому случаю, мы будем обозначать через дгаб й, а соответствующее второму — через атас)«К.
Определим сначала ига<),й, т. е. предположим, что точка истока О фиксирована. Направление дга<1„)<<, т. е. направление наиболее быстрого возрастания расстояния )7 при возможных перемещениях точки Р, совпадает, очевидно, с направлением радиуса-вектора й из 0 в Р. Числовое же значение производной <с по этому направлению, очевидно, равно единице, ибо при перемещении точки Р по направлению й на отрезок дз расстояние й возрастает на ту же величину дз. Стало быть, йгаб, р есть единичный вектор, направленный по й, т. е.
йгас), й = й/й. ПОТОК ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 462 с)АС = па с)5 Г>ис. 97 ри! !м г(г)=апг(5=асов(а, ц)й5=ааг)5, (12') вольного вектора а (йс). К этим характеристикам, естественно, приводит рассмотрение поверхностных и криволинейных интегралов вектора а. Мы начнем с исследования поверхностных интегралов. В поле произвольного вектора выделим мысленно бесконечно малую плоскую площадку с(5, т. е. площадку столь малую, что во всех ее точках вектор а с заданной степенью точности остается постоянным по величине и направлению. Г!роведем нормаль к этой площадке и условимся одно из направлений этой нормали и считать положительным, или внешним, а другое — отрицательным, или внутренним.
Если задано направление обхода контура площадки, то направление положительной нормали мы будем выбирать так, чтобы нормаль эта образовала вместе с контуром право- винтовую систему. Это значит, что при повороте ручки буравчика правой нарезки по направлению заданного обхода контура острие буравчика пой1!ст по полозкссгельносс нормали (рис. 97).
Обратно, если задано направление внешней нормали, то мы будем соответственным образом выбирать направление положительного обхода контура площадки. Наконец, соли направление обхода контура и направление нормали сего плоскости заданы независимо друг от друга, то мы будем для краткости говорить, что направление обходя и направление нормали составлшот принс>винговусо, гщ'тему, если они удоил!"творяют упомянутому условию, и левовикговую систему, если они ему не удовлетворяют. Напра!>ление нормали мы будем характеризовать совпадающим с ней единичным вектором п (и = 1) .
Логс>ком вектора а через бесконечно малу!о площадку с!5 называется величина Гдс а -- ЗиаЧЕНИЕ ВЕКтара На ПЛОщадКЕ С15, а аь - СЛатаЮщая ЕГО ПО Направлению и. Площадка с)5 выбраня нами бесконечно малой именно для того, чтобы вектор а имел на этой площадке одно определен>юе значение. Чтобы определить поток вектора через понерхность конечных размеров, нужно разбить ес иа бесконечно мальк площадки сс5 так, чтобы не только вектор а оставался постоянным на каждой площадке, но чтобы и самые пло!цадкн мотли считаться гглоскимн (рис. 98).
Одну из сторон поверхности 5 назовем внутренней, а другую . - внешней и выберем соответственным образом направление внешних нормалей к каждому из элементов с)5. Г!отоком су' вектора а через поверхность 5 называется алгебраическан сУмма потоков ачс15 чеРез отдслыплс эл! менты этой повеРхности. Это суммирование тождественно с операцией нахождения определенного интеграла: и называется интегрированием по поверхности 5. Оно обозначается двой ным интегралом потому, что поверхность имеет два измерения. Однако для упрощения записи мы в этой книге обозначали двукратные интегралы как и интегралы однократные, одним-единственным знаком интеграла: Напомним, что во всех поверхностных (и только в поверхностных) интегра- лах мы обозначали элемент интегрирования через с)5.
дани!к величине м название потока вектора взято нз гидродинамики. В гидродинамике нзучаетсн векторное пщ>е скорости жнлкости: в каждый лан>плй момент с каждой точкой заполненного жндксктью пространства связано определенное значение векгора скор!кп> т, а именно, то значение этой скорости, которы>л обладает находящийся в этой точке эдеме>п жидкости. !соток в!ктора ско!зости жидкости через элемент а попер»в>сти !15 ес>'! нс ч!о иное, как объем >кялмкти, протекаю>ций через эт<п' эле. 1 / иснг за г:пн!ицу нрсмеки в на!а>пилении впещнсй нормали к !15 ! 1„ /и 11сйств>псльио, за сднюп!у в!имени кажлми зл!мепг жнлкости пере- 1 чсгп;сгн на рассгояние т! стало бып, через пл!»палку В5 пройдут все тс н только тг частицы жидкости, которые в начале рассм>правлен!по промежутка чремени занимали цилиндрический обьсг с основаны м !Еэ и образую!ними и ') (рис.
99) Объем эгош цгюиплра раасн з„>15, сели г, .-. О Если веьюры и и и обри. зук>г '! пой *, гол. со г„< О, и ноток жидкости отрнци елен. Это Риг. 99 !>н! нп, чш жильа!ть протекает через В5 в паяраю!енин, обратном инеи:псй нормали п. Носок жидкости через копен>ую поверхность 5 равен, оченидно, потоку вектора скорости и через эт! поверхность: Часто приходится вычислять поток вектора через замкнутые поверхности (поверхность шара, куба и т. д.). При интегрировании по замкнутой поверхности мы будем отмечать это обстоятельство кружком у знака интеграла, так что, например, поток жидкости через замкнутую поверхность 5 запшцс-гси следую!цим образом: Оченщ1!и по ноток >>ог ранги копииста> жидкости, нытекаюисей в слиницу врсмгни из Ыъемщ ограпичениог! .и!>! нь-ой поверхностна> 5.
Если А>~О, то это значит, что внутрь чщкрхппг>и нпкзгт больщс»,износ>и, чем нытгкяст из нег. 'с;1ля нростопх нргзпоза>э!'и, >то скорость т не зависит от нремгнн и постоннна на исси цр!пв>ь>ннн зг>>го цилиндра. Н противном случае укнзанщге рассуждения нужно пр ° ии .
не 1, ди вцг гр!. >н,: к'- е ту нр. >и ис. !11!а носок чер 3 площадку Д5 ровен -,„!15 >и. $ 4. Теорема Гаусса. Дивергенция ! . Поверхностный интеграл !)> а„ д5 можно преобразовать в объемный; в этом заключается содержание одной из важнейших теорем векторного анализа — теоремы Гаусса. Рассмотрим сначала поток д)Ч произвольного, но днфференцируемого вектора а через поверхность бесконечно малого параллелепипеда и выберем для удобства вычислений направление осей координат х, у, г так, чтобы они совпадали с ребрами этого параллелепипеда с(х, ду, дг (рис.
!00). Интеграл д)Ч=$а„д5 сводится в этом случае к сумме шести интегралов по каждои из граней параллелепипеда. Воспользовавшись известной из интегрального исчислении теоремой о среднем, можно каждый из этих шести интегралов представить как произведение площади граРпг. >00 ни на некоторое среднее значение нормальной ела~нюшей вектора а на данной грани. Рассмотрим сначала поток вектора а через две параллельные грани 1 и 2, перпендикулярные оси х. !1оток через переднюю грань 2 равен аа„(х+ с(х, у, й)д5= — а.,(х+ дх, у„г)с(ус1г, где у и г — некоторые средние значения координат у и г на грани 2 и а» значение вектора а на грани 2; поток через заднюк> грань 1 равен а>„д5=-а>„с(удг (а,„=а,„(х, у, 2)), где а! — значение вектора а на грани 1, ибо внешняя нормаль к этой грани направлена противоположно оси х.
Стало быть, общий поток через грани 1 и 2 равен (аа„— а,„) с!у с(г. Разность ат,— а!„есть приращение слагающей вектора а, при изменении координаты х на расстояние дх между гранями 1 и 2. С точностью до бесконечно малых второго порядка приращение это равно аа«(х+дх, у, г) — а>,(х, у, г)= — "дх, где ввиду бесконечной малости параллелепипеда под да с>дх можно понимать значение этой производной в любой точке параллелепипеда. Таким образом, общий поток через обе грани, перпсндикулярныс к оси х, равен д'." дх ду дг- Для потоков через пары граней, перпендикулярных оснм у и г, получим аналогично: да» да. — ду дх дг и — дг с(х ду. д,у д» Складывая полученные выражения, получим общий поток вектора а через все шесть граней элементарного параллелепипеда: Г да» да» да» 'т с()Ч = а„д5 = !х — + — + — ) с(х с(у дг. дх ду д» (14*) Стонщую в скоГ>ках сумму производных вектора а по осям ксюрдинат принято для краткости обозначать символом д>та: да» да» да» 6(у а = —.
+ — +— дх ду д» (16') (читай «дивергенция а», смысл слова см. дальше). Если, кроме того, ввести для бесконечно малого элемента объема обозначение д!с: с1У=дх с1у дг, то выражение потока д>Ч примет вид сПЧ = — д!т> а дУ. (16') 2. Эту формулу, выражаю>цую поток вектора а через поверхность бесконечно малого параллелепипеда, нетрудно обобщить для поверхности произвольной формы и размеров. Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность 5. Разобьем ограниченный ею объем У системой взаимно перпендикулярных плоскостей па совокупность бесконечно малых кубических элементов.
Конечно, крайние, смежные с поверхностью 5, элементы объема, вообще говоря, не будут иметь кубической формы; однако путем дальнейшего дробления их можно достигнуть того, чтобы грани крайних кубиков с любой степенью точности совпадали с заданной поверхностью 5. Вычислим с помощью уравнения (!6») поток вектора а через поверхность каждого кубика, лежащего внутри 5, и сложим полученные выражения: ~ ЖЧ = ~~> д(ч а дУ = ~ ~ ~ с) !ч а дУ. г В этом уравнении тройной интеграл означает, что суммирование подынтегрального выражения должно быть произведено по всем элементам трехмерного обьема У, заключенного внутри поверхности 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
