Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 129
Текст из файла (страница 129)
Гогдя лиисйпяя скорость ч точки тела (х, у, г) будет числеппо ряиия с:.гь>- — — ы <!х!.Г-у, я спятя>о>пи< ес ко осям координат будут ряякы (рис. 105): пу пх як= — — уе. пу .)/хя.(- ух ч/ля+ ух >7 и.>: г; и б т) Угловук скогость вйвшенкЯ оескокечно млло!о э.. с,г„мнвк„.„, ц весной точке прострьнствн. р)твк, го! ччьо в тек н тосико в тек гочьэт течгь ьы лыс прпнюспегквт э!ементвм тела, пвголящнься ьо пропит!ген!ком вьпнсек н. В!о оостьгте!ьс;н ь ! лз: «пот!о!ценном (Зо"! к нослужнэто яснов.,к! .: тому, чтоты лвть келн овне го! в явсь нг!с,ч ог'. (от з этннског ! гого — нрвьсвю! н;!н и лрз вьсгорэ н П р и и е (з.
Покззатэь что е го !зю!цгк.' ротора произвозп ноно вектора н в сферической! системе координат Рч б и сс виражакпси !'ледуюшим образок!: ! 1 д . даб ) 101 .а == — — —. ~ —.=(ч!и б ° а ) — — — зг, !с э!по дб ' дн дпй го1б а.=-, э — — — ® з)п баа) ~, Яэ!цб ( дн дй" (31*) 1 10 гн! Ъ го1 а =--- —., ~ —.-Яаб) — — 6-~.
'=!1(дй ' ' )0) ф ' ' ( а '" "")б-бел!!а (пцЯдб) а,на — (а„)(э!нбдп)б-б,+(н )(дб)„„ клн — ° д, д ") дл — — — (н )! Мн бди) ° дб — — (~~Я дб) д~=-~ —. и вюб) — — й дбд э дб а дп '1 дб д твк квк,мнченн!' рьссмвтрньнг мой цлц!нэнлп )5 рннно гдб Р по и да, то нз (дз*) слсзпст. го! а — — —. ~ — (а Мпб) — —. Лв!пб (дб! а ' г дп Анйзогнчнын пуггп пвэопятся н остн.тьные г.мгвннннс р! гора в.
Предоставляем читателю в виде упражнения показать, что слагающие ротора произволыизго вектора а о цилиндрической системе координат г, сс, е (см. рис. 102) выражаются еледукпцнм образом: го1, 1 днн дпа . до, дал 1 Г д днг ) а = — — — —.—, го(н а=-=' — —, го(ла =-- - — (га ) — — з! . г да Ъ' " дк дг' '.' г 1г)г " дп)' (32') 6 6. Производная вектора по направлению Скаляр Йу а и вектор го(а, как уже отмечо.поело могут быть названы соответственно скалярной и векторной пространствснпымн пронзводнымп вектора а. Онн имеют непосредственный гсомстричеелий сл!исл, что явствует из (18*) и (29в), и наряду с градиентом сколяра являются основными понятиями векторного анализа. Однако задания значений скаляра Йуа и вектора 001а в данной точке недостаточно для определешгя в этой точке производной вектора а по произвольному направлению (тогда как производнач скалнро г! по произвольному направлениго однозначно определи!тон заданием всктгзра пса!! г() .
Чзкьэ евйн, нвпрнмср, зньчсннс !о!»в, м ж!и прнч ннов ф!'рз|уп (29*! ! эчементврной плошечке, выр! зэемо ! нз:!роювозы сй !ппр ьой понерккосн! Р .— сопя Летн ! ! ернгнвннмк а==ак н а .а, ! г!а н Лв)мк цв! вннельнымн кР)твмк б= б, и б=бк,:-дб (сн. Гнс. !О!). Вмчгслк.! фа, ы прн облоке конту!! этой ц.комп:гкн, сост,! мяю!пем нрвчонннтонуто снстему с нн!Чмвленнем и, !нмучнм оизводная вектора а по произвольному направлепействительио произв с может быть определена б делена путем следующего геометрического р пост оению а в двух близких точках Р и Р равны г ния.
у П сть значения вектора а в д правление отрезка Р Р' = Л с совпадает соответственно а и а', причем направле с направлением с !рис. ! . с ( . 136). Если разность между а и а равна Ла, то производная да/дс будет равна — 1пп —, = 1(п! — (33*) и -ьо 1! вс-ло ~~ Таким образом, направление вектора да/дс совпадает с пр е. и едельным направлением вектора а, но, векто ов в!' воо гще б говоря, отлично от направления векторов а с ! а и с. Далее, если координаты точек и и Р' отличаются друг от д! у а р га нв зк Ао зг то с точностью б до величин второго порядка малости ! да дв да Р +др э+да Рнс 100 дл ествующее уравнение и приняв во внимание, что Подставляя это в предшеств РР' з У О Ра 0Р иабла.
ВтоРые пРоизвоциые. Производные от произведений и е енциальных операций над !. Выше мы познакомились с рядом ди р и и скаля ами: образование градиент а скаля а *, дивергенр то а (29*) и т. д. При применении векторного анализа приходится встречаться е!це с целим рядом других ди е ециалып, х выражений. б у цено н уложено Оперирование этими выражениями ' б может быть прощено ского б г)иффереычиального оператора Гамильтона. Оператор этот о оз знаком зьг (читай: «набла»); в декартовой системе координат он имеет в 7=1 д +) д„+(с д, ° д дк (35 ') !? получим да — — 1(п) —,=сов(к, с) — „+ соз(у, с) — + соз(г, с) —.
!34 ) до Р,; „РР" ' дк Таким об азом, для оп о ределения в данной точке производной некто а а н необходимо задать оеенто величин: р по произвольному направлению не дп, да„да, — и соответственно по трн слагаюсла . тающих — '-, ВЕЛИЧИНЫ д — н. Совокупность этих девяти величин представляет щих величин — — и —..о о да дг собой слагающие пекоторог рого тензирп, заданием которого определяются каь производные вектора а и по произвольному направлению, так н ензо ом чения величин Йча и го а. пр 1". В! очем, н настоящем курсе нам этим те з р' пользоваться не придется.
477 ОПЕРАТОР НАЕЛА. ВТОРЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ (36«) получим ') Ь(ЬВ)ФЬ'а. г. е., согласно П5»), 1 д д д дх ду дх ах а„ ах [)7а[ =. = го( а. (39') где ), ) и й — единичные векторы по осям х, у, х. Иными словами, 'ьг есть векторный оператор, слагак>щне которого по осям координа~ равны д тх= д, Чу=' —, ')7 =— х ду ° х дх Этот векторный оператор соответствует в векторном анализе знаку производной обычного анализа. Подобно тому как и обычном анализе дифференциал функ>сии можно считать произведением оператора дифференцирования г! на дифференцируемую функции>, так путем помножения скаляров и векторов, являющихся функциями точки, па оператор лг мы получаем «роегринствемньи, производные этих величин. Так, например, произведение чг на скаляр ф нужно„очевидно, положить равным чу% -~1 +1 — +(г — ф 1 'р [ > дф ф д д ч д д дх ду дх .> дх ду дх ' Стало бьгп» согласно (6*), ф = дтаб гр.
(37е) Гаким образом, ~>гр действительно может быть названа простран- ственной производной от ф, г'бо вектор Ьгаг) гр впс>лне характеризует изме- нения, испытываемые скалиром ф гри перемещении «точки наблюдения» (т. с. цпи изь енспии координат х. и, г ) . Подобно этому, и другие выражения, включав»цис и себя оператор ч>, тоже характеризуют собой тс или и> с неш пия между значениями скалярных и векторных функций в смежо или иные ных точках пространства. С извег тнььчн ограничениями, о которых будет сказано ниже, можно образовывать произведения ч~г с другими векторами и скалярами так, как если бы тг был истинным, а не символическим вскторолч. Как и поль: зовании знаком дифференциала, при этом предполагается, что операр . к и при гор ~' «действует» ли>пь иа тс величины, которые стоя> вправо от ак, например, скалирпое произведение символического вектора ~7 иа произвольный вектор а равно '(>а=7„ах+1> а +~ ) ддах+ даа дах ~та:--=б>у а.
(36ч ) Помимо скалярного произведения символического вектора чьз на вектор а, можно образовать и векторное произведение этих векторов, кото ось сак легко видеть, представляет соб>ой ротор Вектора а (см. сноску на и. )70) . Так, например, слагающая вектора [ л>а[ по оси х равна дах даа [17а[х = — Т>аох — )7,в = — „— — = го(, а. ы ду дх П е ие оператора лг весьма упрощает нахождение вторых и рнмен н стари>их произ о п оизводиых от скалярных и векторных величин. Так, например, квадрат вектора ~г равен д д д д д д да дх > дх ~7х+ т" + )'ех дк дк + ду ду дх дк дхх дуа ' дха ' Поэтому, раскрывая смысл произведения ч7 (чсгф) по правилам векторной алгебры: Ь(Ь>р)=Ь ~(">Р) '7ф д *+ д *+ду (40') В справедливости этого равенства можно убедиться непосредственным вычислением с помощью формул (5*) и (15*): д агади ф д агади ф д Егадх ф дхф дхф дхф (а = х + -у +, — — „,+ — „, Совершенно инбй смысл имеет выражение йтас) с()у а: вгабб(ЕЕ=7(7а)=[1 дк +) ду +(г дх)) дх + д + д / Оно вовсе не равно у еа.
подобно тому как при оперировании с обычными векторами Выражение же ч7 а имеет, очевидно, следующий смысл: 'р'а = (ч)гЧ) а = —, + —, + —,. дха дха дха (41') дкх дуа дхх ' т. е. Представляет собой вектор, слагающая которого, например по оси х равна дзах дха дзах (41 а') (Ч'а)„=-Ч'а„= — — „„, + —,+ —,, ° Конечно, ч7 ф и чьгза нельзя смешивать г (Т7>р) и (ч7а)е; так, на- при леер, (Чф) =(р'абф)'=~да) +(оу) +(дх) Известные формулы векторной алгебры [Ь(Ьф) [ =О, Ь[Ьа[ =-О, [Ь[Ьа[[ = — Ь(Ьа) — (ЬЬ)а е) остаются справедливыми и при замене вектора Ь символическим вектором ~У ') Оисреиор Мт инто оаозиачагтси через А и иазыгчаетси .чаиласиаиом. ) В оравой части иослелиего уравне!!ни можно, конечно, изменить р и ь оо иаок сол|иожиглк >Ь (Ьа) ) . (аь) Ь вЂ” а (ЬЬЬ Олиако ири замене Ь на ф мы лоижны .ииигга~ь зто уравнение чвв, чтобы вгт Лиффсрсинивльиые Операторы и стоили и фсрснииругмым век»гром а.
4?У никсоии!»и ЛНЛЛИз ОПЕ!'ЛТОР НЛВ.ЯЛ. ВТОРЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ (при любых а и ф): [т? ((?ф)] = [~ агад ср] = го1 угад ф = О, '(? ['уа] = 7 го1 а = д(тг го1 а = О, [$? [с?а]] = т (т?а) — т?ва, илн го1 го( а = Нгад д()? а — ~?аа. (42') В справедливости этих соотношений легко убедиться непосредствен- ным вычислением в декартовых координатах ). Так, например, дгот„а дго(па дго( а д))? го( а — — + — + —— дх ду да 3. Итак, поскольку оператор т7 входит сомножителеа! в произведения, содержащие в себе лишь один-единственный истинный скаляр нли вектор, постольку произведения этн можно преобразоиать но обычным правилам векторной алгебры. Однако„если в произведение входят два или несколько истинных скаляров или вега'оров, то правила эти становятся непримени- мыми и нуждаются в видоизменениях. Совершенно то же имеет место и в обычном анализе при символическом умножении алгебраических вели- чин на знак дифференциала д: подобно тому как с( (спс[) = с[ с(с(|+с)| аср, так и в случае умножения произведения скаляров илн векторов на т7 операция дифференцирования должна быть выполнена над каждым из сомножителей в отдельности.
Так. например, при дифференцировании произведения двух скаляров или скаляра н Вектора получаем х7 (фт)|) =-ф (7сР) + р (х?тй) или ьгад (сч4|) =-с(|(угад с(>+фцгад ф, '(? (фа) =-.сс (~?а) +а ( х?сГ) или д)у (фа) =-фдсеа+аетад с)х (43е) [)7 (сра) [ =с(| [ хг а] + [( з? ф) а] или го( (сра) =ф го( а+ [ргас) ср.а[. В справедливости этих соотношений можно убедиться непосредственным вычислением. Так, например, ~(($)$[)) = [ д, ( ~)+] Д (фФ)+)( д, (4Ф=- [ [,4? д„+ ф д„) + +](ф ду +'" О~)+" (ф д +'" да) э'((?ср)+ср((?~) Несколько сложнее обстоит дело при скалярном дифференцировании произведения двух векторов. Обратимся, прежде нсего, к иыражени)о 'с? [аЬ'1 =-дст [ВЬ] . ) С.еотныненин го( Ига ) |! =-О и сиу |о| а-.-.О вел?чан|тон также.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
