Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 125
Текст из файла (страница 125)
При этом имеют место соотношения <( да <(Ь д <(а д<р — (а+Ь)= — „+ — „. д (<ра)=<р (+ д а, <(( <(! <(! ' й 2. Векторные и скалярные поля. Градиент !. Векторным или скалярным полем называется область пространства, каждой точке которой отнесено значение некоторого вектора или скаляра. Поскольку каждая точка поля определяется ее радиусом-вектором К, задание векторного или скалярного поля эквивалентно заданию некоторой векторной функции а (К) или соответственно скалярной функции <(> (К) Функции а (К) н <(> (К) могут, конечно, зависеть, помимо К, также и от каких-либо скалярных аргументов, например времени.
Функции а (К) и ф (К) мы будем считать непрерывными и дифференцируемыми относительно всех их аргументов. Рассмотрим скалярное иоле функции <р(К) =-<р(х, у, е). Таким полем является, например, поле температуры неравномерно нагретого тела (<р== Т), поле плотности неоднородного тела (<у= †..т), поле электростатического потенциала и т.
п. 2. Пусть скаляр <р имеет в точке Р,> значение <ро и пусть нри перемегценин дз по направлению вектора з мы приходим из точки Ро в точку Р, где скаляр <р имеет значение <р,. Приращение <) при этом перемещении равно <!<Р=<~.,— <ра.
Предел отношения этого приращения <г<р к числовому значению перемещения дз обозначается через д<(,<'дх и называется при зеркальном отражении Век<ори этого класса называк>тся писпал>,нымп в отличие От векторов и собственном смысле слова, направление которых задается непосредственно, вне зависим<кти т выбора координат нли правых троек, н которые иазываютси поляряымп Равенства между двумя полирными лекторами или между двумя зксиальпыми нектарами зеркально инвариантны; равенство же меж!<у одним полярным и одним аксиальиым вскго(н>м нс инвариантно и физического смысла иметь не может.
Легко убслнтьси, что градиент скалярз нилястся полирным вектором; ротор поливного иск<ори иппяется вксиальным век<ором В частнпсти, напряженность электрического поли есть полярный вектор, напряжс<щость жс Мщнитиого ноля - аксиальпый вектор. пьк«!УИЫИ АИАпИз некто<'и!яг и скхлярные поля.
грьдиент производной скаллра <р в точке Р, по направлению э: а<р р <рл — <ро ав „ , «в Очевидно, что значение этой производной существенно зависит от выбора направления э и что ее ни н коем случае нельзя смешивать с обыкновенной частной производной по скалярному параметру э. 3, эсля изучения зависимости производной — от направления дифач <Э< ферепцироваиия в рассмотрим те точки паня, в которых <р имеет одинаковое значение, равное, например, <ро.
Совокупность этих точек, вообще говоря, образует собой поверхность '), которая называется поверхностью уровня, или эквилотенциальной п<эверхностью. Лналитически поверхность зта характеризуется уравнением Р(х, У, и)= — 4эо. Рис. 93 изображает сечение плоскостью чертежа ряда поверхностей урочня, соответствующих значениям скаляра <р, равным <ро, <р!.+Л<р, <ротЕ2Л<р и т. д, В поле точечного заряда или заряженного шара поверхности уровня электростатического потенциала представляют собой концентрические сферы, в поле заряженного бесконечного цилиндра .- коаксиальные цилиндры и т. д.
Вообще же в более сложных случаях последовательные эквипотснцивльныс поверхности различны не только по своему положению и размерам, но и по своей форме. Однако, во всяком случае, поверхность каждого проводи!ага являетсл энвипоген<сиально!<' понерхностью, ибо потенциал проводника в элсктростатическом поле постоянен на всем его протяжении (4 9). / Об!озна пьч через п нормаль к поверхности уровня <Э = — <ро, направленную в сторону возрастания <Эс и покажем, / ~„+ ГЛР в в / Р -д пч рпо га что, зная производную д<р/дп по направленич! этой нормали, можно опреде- Э!ить значение производной скаляра <Э по лк<бому направлению з. Пусть поверхность уровня, проходящая через лежа!цую в направлении э точку Рч пересекает нормаль п (или сс продолжение в обратном чаправленни) в точке Р« (рис, 94).
Значение <р в точкс Р„ равно значению <р з точке 1'. (<Э;„=-<р,) и Р Р, = РоР„/сов (з, и). 1 1!оч <ж уч/!/" «оп пр<ктрчж топ, п «отжпч< ! — Ып!. 1, пск/!кчспис !ог< г со"!вилять 'с и:о.!чрочопачс точки паля. в «оторн«!пп<чсо!и ! постиг:<ст мч«<ииу<ы нло чннимумв.
Поэтому ( )— а41 Х р Р« — <РО = СОЗ(В, П) ЦГП т ~ = ! ~ 1 СОЗ(В> П). дв о <Р о о л Таким образом, ао ап — 'Р = вчэ соз(в, и). (2') равный д<р/дг! и направленный по норв!али к по- сторону возрастания <р, носит название градиента Вектор, численно верхности уровня в скаллра <И етад <р = — и. а<р Поэтол!у уравнение (2в) может быть записано так: — 'Р =! дгад<р!. соз(а, п)=прад,<р. (4') ав Стало быть, производная <р по направлению э равна проекции вектора градиента <р на направление з. Если, в частности, ввести систему декартовых координат х, <й г, оси которой направлены параллельно единичным векторам 1, ), й, то, согласно уравнению (4*), полу- А/ чим угас)„<р = —, ар К-д.ф =+', (б) дгадр< =- — „„, ра т. е.
а, .а, ав прад <р.=- ) -,—,„+ ),~ + й ав ) йтж~ <р) = 'с,//( ') + (а ) + ( а ) ' Из уравнения (4") следует, как это, впрочем, и непос'редственно явствует из рис. 94, что направление градиента п есть направление наиболее быстрого возрастания скаляра <Э, а направление ( — п) есть направление наиболее быстрого убывания В направлениях жс, перпендикулярных к п, т. е. касательных к поверхности уровня, значение <р вовсе не изл!еняется (д<р/дэ= Чтобы наглядно изобраз!и ь зависимость значения производных <р от направления, проведем из данной точки Ро два равных и противоположных вектора цгас) й и — йгас) <р н опишем вокруг каждого из них, как вокруг диаметра, шаровыс поверхности 5 и 5' (рис. 95).
Тогда абсолютная величина производной д<р/дв в точке Ро по произвольному направлению з изобразится итре<ком РЭР, луча, проведенного из Ро в направлении з, ибо угол РоР,А< ранен 90', и Р Р,= Р й/соэ(з, п)=пгадйэ соз(з, и). Лналогичное соотношение справеу!Лино и для того случая, когда ч направлено в сторону шаровой поверхности 5. Поверхность, а ' ь, касательная к сферам 5 и 5' в точке Рч есть, очевидно, поверхность уровня. <81 вг<т< <и<э ~г хэ<лп<э'э 4<И< гютои виктопв 'и ькз ' <ээээ.э."<ээээ. 4.
Итак, если известно поле скаляра ф, то в каждой точке этого поля можно определить вектор ага<1 ф, перпендикулярный поверхностям уровня этого скаляра. Если провести систему ортогональных траекторий' поверхностей уровня, т. е. систему линий, перпсндикулярных этим поверхностям (на рис. 93 эти линии обозначены штриховыми), то в каждой точке поля направление градиента будет совпадать с направлением этих линий. Поэтому ортогональные траектории поверхностей уровня носят название линий градиента. Если проводить поверхности уровня так, чтобы значение ф на последовательных поверхностях возрастало в арифметической прогрессии, т.
е. равнялось бы ф~„ф<г+Лф, <р<к-<82Лф и т. д. (рис. 93), то расстояния смежных поверхностей уровня при достаточно малом Лф будут обратно пропорциональны значениям градиента. Действительно, если измеренное по нормали расстояние между смежными поверхностями уровня обозначить через Лп, то из приближенного соотношения Лф = — Лп = дгас! <рЛп дээ дп при постоянном Лф следует: СОП«< ага<( ф =-— дп Кга<1.
ф= — = — — ' — =- — цгас( ф, дф дф дф дф дг д<) д«дф так как йта<1 <р =-- — дгаб <]э, дф (ф) дэ)э (7) что следует из формулы обычного диффсреншэро<эания функции от функции. П р и мер 1. I'радигнт числового значения ридиу<:и-нектара й. Прежде всего заметим, что числовое значение радиуса-вектора й есть скалярная функция положснпя даух точек: начальной точки радиуса-вектора 0 и его конечной точки Р (рис. 98).
<1ы будем называть первую из этих <очек точкой ист<>ка, а вторую .— точкой наблюдения, ибо часто приходится рассматривать радиусы-векторы, проведенные из истоков поля (например, электрических за рядсщ) в ту «точку наблюдсрис. э<э пинэ, в которой определяется значение потенциала или напряженности полн. При определении значения рта<1 Й в зависимости от условий задачи необходимо различать два случая: 1) точка истока О фиксирована, и й рассматривается как функция положс ния точки наблюдения Р, и 2) точка Р фиксирована, и й рассматриваетсн как функция положения точки истока О. Поэтому при указанном способе черчении поверхностей уровня густота их расположения дает приближенное представление о числовом значении градиента. Заметим также, что если скаляр <р выражен в функции от другого скаляра ф являю<цегося функцией точки ]<1 = — -<(ф)], то при любом выборе направления дифференцирования 5 Что же касается дгас)«)<, то он должен быть направлен обратно ибо расстояние <с возрастает наиболее быстро при перемещении точки 0 в противоположную от Р сторону (рис.
96). Абсолютная же величина ига<1<Я„очевидно, тоже равна единице, так что дга<] Я= — й/й= — йта<],й. (8') Определив, таким образом, йтаб й, мы можем с помощью (7*) опре- делить градиент любой скалярной функции / (<с) от числового значения /с< йта<1 / (<с) = — —. йгас! /с; д/ (<<<) (9') абсолютная величина этого вектора равна ] дга<) / Я) ] =- ~ ), йгас]ч (1/й) = й/У = — цгаб, (!/Я). В частности (10*) Предоставляем читателю в виде упражнения доказать формулу (8') путем непосредственного вычисления слагающих йга|1 1< в декартовых координатах, выразив предварительно Й в функции координат л, у, г и х', у', г' точек О и Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
