Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 133
Текст из файла (страница 133)
- и 1 тг,< (ибо е=--</ггппггр), откуда и п<глучим формулы <4.7) к (4.8) Непрерывкосг< вектора Е при прок< их<чаи через <.оверхиогть сферы следует из того, что для 7(=-и буде< Я. (С. 27.) Согласив (4 5). в иол кчь коппсвсдтора ноле впспшего циливдрл равно нулю. Стало бить, в этой шжости юг к. всзбуж<шегси лип<ь вч грсивим циливдром и определяется формулой (4.5). В том то заряды <киники клики обкгшдок ковхеисэтора равны по величике и врогивоположии по знаку. топ<шо тбедитьси, кримсияя теорем) Гаусса к хамккутой поверхвосги, частью проход<писа по гш<ше виепшего ч<-таллического пилив<В<э, ча<тью же ограпичевиой двумя паралледьиымг <счеяиими, п<рпг<гдикуляриыпк оси гюпдсисаторз, П<пок электрического вектор<< <срез такую човсрхпость рввеп пулю. 5, (< 251 Решение этой идачи вп<ыкс э пик гичиг ршпению задачи предьшуп<ей.
8 (С. 38.) В формуле (8.2) выберем в качестве пути иитегрировавия соответствеиио ось х (для плоскости) и перпендикулярный оси цилиндра радиус-вектор г. Виося зиачевие вектора Е из (4.4) и (4.5), получим для плоскости и лля цилиндра соответствевпог <Р <Рэ — ~ 230 <(л — 2лел) г Г2 г ф фэ 3 — <(г — 2к1а — для г>г' .') г г < <г ц ,р р,=о для г <г<. 7. (С.
39.) Выбирая в формуле (8.3) в качестве пути иитегрирования радиус-вектор К, получим иа основании (4.7) лли точек, лежащих вие шара: ОО ) е е %.- ~ дЯ Стало быть, )иа поверхности шара <Г-=Ч<г —:е/а. Воспользовавшись формулами (8.2) и (4.8), получаем для точек, лежащих внутри шара: Я Г 4 газ /(эх <р< — фэ = — — ~ЖР </Й = 2пр 33 ~3 3/' а что во ввесеиии звачеиия Ч<, совпадает с формулой текста.
8. (С. 41) Из (5,3) следует, что разность потскциалов обкладок плоского кокдеисатора раппа <Гт — <р< =-4пе<7/3. В случае цилиндрического и сферического ковдеисаторэ поле в пространстве между с<о обк <адками возбуждает<и единственно лишь аарядом виутревисй обкладки. Поэточж согласно с резуль<атами р<чэеиия задачи 6, для цилиидрического коидеисатора <рэ — <р, = — 2и )п (гх/г,): и =' г/1, Внося эти выражения в (9.1) и выбрав для С, как обычна, положительный знак (знак выражсвия (9.!) зависит от того, какую из обкладок считать первой и какую второй!.
получим искомыс результаты У. (С. 45.) Из (8.10) и (43е) следует: Š— цгада — з = — — э 3<гада (Р)() — (РЮ йтаба ~ цэ ) . (Р/() <' ! Приняв во вкимаиие, что иа осиоваиии (8"), (9*) и (11*) йтада (рй() = р й б ~ — ',) = ~~ (-' ) к йа)7- — ~~, получаем (10.4). В сферической системе координат слагающие постояипого вектора р в произвольной точке 7<г, 6.
а равны <оответсгвеиио: рг< р сов(), рй — р з!и (у, р =О. так что РЯ р)< сов(). Внося гто в (10.4), получаем (10.5). РЕШЕНИЯ ЗАЦЛЧ РЕЦ1ЕНИЯ ЗЛЦЛЧ Поэтому у внешней поверхности диэлектрика елэ 1 — в елэ 2еело Ел= — + — —— )(3 !+ в ))з (!+ в) 7(з ь ег 1 — в ег 2ег Ег= — + — — = — —, 7<э 1+ в )(з (1+ в) 7(з ' Еа О. где )7 = Т~г + ло. т — — ~уд---Е)= — 1'Е -Е). )-8м 1 в — г).
Следовательно, вЕ ь дУ == — $ ))„<р <(Е. 1 1 р, — р,=С~~ — — — ). = (,)(, Е.7'. (а) 7- $ 1„,(Е=ЛС(У вЂ” -4. Сй. .с,в Т )7' Е =-Е =. ~ Т.з <(х <)р, )Е Р! - —. (1 = 12). !Н 7!я Г = ~ Тив ' 2цг <(г. Приняв во внимание, что в данном случае нормаль нужно считать направленной внутрь сферы 5, и воспользовавшись теоремой Гаусса (3.6), получаем искомый реаультат. 16. (С.
87.) По определению, 18 () ь = — (1 = 1,2)- ЕН Е<л Воспользовавшись (22.8) и (22.9), получаем искомый результат. 17. (С. 87.] Приведенные утверждения следуют н<п<жрсдствснна нз формулы (22.9) для щели, параллельной Е, и из (22.8) (нри а — — О) для ш<ли, первендикулярной к Е В концевых же участках <цели о<раничииаюоше се поиерхности сходятся под углом либо, во всяком случае, аблздают значитеш ной кривизной, нанравл<ние нормали к ним испытывает резкие изменения, так чта лоло в прилсга<ащих у шсзкях пили отличается значительной неоднородностью.
18. (С. 87.) Приведенные в этой аадаче условия <щнозначности решепия полной системы (А) уравнений электросгатического а<и<и отличаютсн ат приведенных нл с. 86 зем, ьто здесь для проводников не задало распределения зарядов а на нх поверхности. Поэтому в примененной там формуле к поверхности 5 д<ьзжиы быть лричи<ыепы ще нолсрхпосги проводников.
Но на каждой такой поверхности либо ф"-=О (задача Л), либо 4" =-г<шз! (задача В). В <ь<ьсььсь<исм случае можем вынести ф" за алак интеграла и шшучасм (ьл<(Е =.— ф 1)ьь<!Š— <)ь 7<а<!Е =- 4<<с — 4пи =-О. ф '„' С<ало быз,, всс <ь«" егршьы по ль<з< лалерю остям ь обои< <лучзьш равны пулю, и приведенное иа с. 80 ь<окаштглызво оди<аш<ча<изи ршисичя сохранш. снлз. 1<Е (С.
87.) Согласно (22 8) и 122.10), электрическая и<щукпия 77 будет иметь во всем прост!запечье между обкладками <иьсзпяпьик зизчснпг. й ==зла, где о . <шагность заряда на обкладках конденсатора. Напряженно<э., паля и первом и во в~ором слое будез равна сооташственио Гзм — -4ла/г: и Еь=-- Ишуь .
Накален, разио<чь оатснцизлои между обкладками будет ранна эьь--<с, =--.еь<)ь 1-/. <)з. (иск<да на основании саоз ношения:=Бп и формулы (9.! ) ле~ко найти С. 20. (С. 133 ) По соображениям симметрии, рсзультнрующни Р лшнжений, прилаженных к диэлектрику, должна быть пернель<и«уляриа его поверхности, т. с. параллельна оси Паж ому где интегрирование распросцьанншся по л< ш рлью< < << дв ь.ь «грикэ г =-О, а Т., значение с<<ответствующей слагающей натяжений с ннг<лилй стороны лонерхиасп< дизьь<к<!ььька.
Переходи к цилиндри иохим координатам ., ь, с<, получаем Полагая в (23.12) а<=- ! и вь=-ьз убсжлаемгн, что цап< вн< диэлектрика равно сумме гй 1 .: с)(' ! поля —, заря<и си ищи - - —,, фикзиш«ил<прада — г. цаишцсилаг<ь н точку Р', 1<< Е" 1)< яилнюьцуюгя изображением в плоской паигрлпосзи ди'лсшри ш тачки иззожцепия варила и.
Так как в иакууме Т"=0 и поэтому Т.=-Т", та ца основании (34.2) е г<(г(в нй — г ) в — 1 ад Е Предоставляем читателю и<<лучить зот же результат. определяя равиодгйствуюшуьо натяжений, лри;юженных к произвольна малой сфере. окружающей заряд е. 21. (С. 142.) Ввиду отгутс<иия ззрялов внутри однорадпаг< проводника )ураинепнг (37.7)), можем повторны рассуждении, приведшие нас прп реп<енин задачи 12 к формуле й = — С/7(+ В Таков будет потенциал внутри конденсатора, а разность потенциалов на его обкладках будет поле е будет направлена по рлдиусу лшри (Г:=!ень) и Оф С . ЛС Е вЂ” — —, ! 7<Е м <!)7 7(~ ' й Я Наконец, сила пька, прагекающеь а через конденсатор, т.
с. через концентрическую его обкладкам шаРопУю повеРхиасть пРаизволш<ого РлднУсьь !< (лРи Условии 17<=-.7(ибйь). будет равна Разделив почлепнп уравнсшн (а) ил уравнение (и, получим на основании (%! ! искомое значение сопр<л'пиления Гб 22. (С. 142.! По определению, Воспольэававцьись уравнениями (37.5), (30.5) и (77), получаем искомый результат.
23. (С. 143.) Отнесем знач<ьк 1 к проводниьу, а значок 2 к акружзющему сто диэлектрику. Так каи !<,=-0, та вслсдствис (375! и ),„-.О. Отсюда нв основании (36<5) имеем Еь =-0 и !)ы=О. Пажаму уравнение (22.7) дает искомый результат: Вс«торы Е и В перс<та<от быть перпендикулярными поверхности проводника по тай причине, лть гаигспцизльиьп их <лаглющис уже не Равны нулю, «лх при отсутствии така. П<клсдн<ю аызскает из (22.9) и (355) РРРЗЕВВЯ ЗАДАЧ РЕ111ЕВВЯ ЗАДА' ! В результате получаем )п = — !з>. л. -(Ьй — сй') (1+ 1>)/(й — й ), У зг бз адп (ак, й) пз Слеповата»и но, з/2 27 77 ° — ~ — — ~ сов пг/и ' с 3 А> га 3 сг »пс. 107 ['зх [аазй>з[) = >/ь> [г/дай>э) — й>з (ьэ>г(ьз).
24. (С. 146.) Нарушение изолицни означает соединение с землей через некоторое неизвестное сопротивление г В карпом случае ток ./, возбуждаеыый злектродвижущей силой батареи 2»"», разветвляется а точке нарушения изоляции на два тока 1> и 1ы которые идут через сопротиилсния г и (г —.с) ь в землю (з есть сопротивление единицы длины телеграфного провода). Применяя к этому случа>о первый н второй законы Кирхгофа (37.1) и (38.8), получим 0>олагач ш цративление земли, а также сс>противление заземления на станциях равными нул>а): 7>+ ум уха+7>г й/стр, — У г+Уь(а — д) з 0' 'Аналогичные уравнения получим длп второго случаи; в третьем же случае имеем талька одно уравнение, нбг> тут остается талька сдин замкнутый контур, твк что 17=0, 1';=1" Ив полученных семи уравнений >даезся нск, ючитк семь неизвестных: 7" с — Ь 1 — Х ' ' 7> —.1»ю йй — сй' ' 26.
(С. 164.1 В случае прнмолкпейнша тока ьходяший в (424) вектор [г/ай[ имеет одинаковое направление для всех элементов зона зпрц фиксированной тачке наблюдения). Поэтому чис.ханое апач>ни» >к>игорь В равно сумме ччш>очых значений подыитегрального выражения формулы (42.4) Если г есть длина исрп»и,>з>кулир>з, оп>п снчага зз точки наблюдения на приму>а тока, а п — угол между г н !1, т > 11==»/соз р. и бз ып (дь, к) =-17 »/а.
— ь/2 — п/х В сараи»длнвасзп прнседсшгг х и тсхсгс утг>срж/>гний относительно формы н направле. ния силовых линий убг дитыя вссыпа легк~. 26. (С, 164.) Радиус.вектор ат >зрзнс>аа»ио о элсмента тока с1ь до точки оси тока равен й=й»+б (если считать исктс[> й> нзн,'>аьлзььым от окружпосты к центру), поэтому [г/ь й[ = = [с/ь К»[+ [»В 6). Есле мы подставич агат рсзультаз г> формулу (42.4), то исзедствие симметрии задачи интеграл на [»1ь сй будет равен пуща, ибо век>ар [>/з д[ параллелен Йв.
Вектор же [>/ь йх[ варю>леван вектору †и действит льна составляет с направлением тоьз правовинтовуза систему. Накансп, ввиду нсрпснднкудирвостн 11>, и дй> =й>>[>+г/. Талии абра. зом, числовое значение нектара Н рвана 1 (; оз йа 7 2пйа с д ~/(~~ [ с/2)'1- с(1126 [ з)2)*1» ' 27. (С. !661 Согласии правилам ьерсмпажснип векторои, Вносим эта н (43.1) и интегрируем по контурам б н / оооих токо . И перв на члена рвись [ср. (10*)[> $ с''> -„- — =- — $ з/ь> $ (з/взйгабр — )= — $ с/ь> $ ( ~~ ( ! )) 3„ г.
/. д> дг д> гз ибо г >ып» р >ш>сх. в рвжснис второго интеграла явля»»си палнь>м диффереидиилоч С и даиагел> ьа, резтльт> рукицая сила !», с которой весь первый ток действует на песь вгорои. равна 1 Х /[!2 1.>ю,зсгзюлцес. ныражение >ыш 1л получим, обменив пастами зкдексы 1 и 2 Принч> вс вн.>мапшз мз 1(>з-.— . й >, получаем 26.
(С. !6>.) рассьнприм разность между выражением [43.1) д.ш силы Е> и ее вьзраже. ьнсч, даню м Льз.>срам. Опуская фактор 1>1»/г>, получаем лля этой разности следую>цс вырз>,х>сва» 1гр. >;и>/,ыдушу>о задачу): — (й>эз/ьз) -" -" —., (бв>г)вз) — — [г/з>йзх) [с/взй>х) + 2 — 'ь (з/ь>мь ) з/ь>, й зй, йп /[и //ь> йп зй, = — [й>хг/ьз) + — (г/ьзг(вх) — — з (з(ь>й>з) (паяй>з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
