Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 9
Текст из файла (страница 9)
2.23), изображениями являются диполь р, и заряд дг Из (2.24) получаем Я 1~ и= — = —; л,=— и Я' Ь+! Я' Отсюда находим 2.-2„= 1( — Я) и заряд 4Я1 % =иЧ-и!Ч= — 2. Для момента диполя-изображения имеем рЕЯ Р и~ Сила взаимодействия между диполями (притяжение) равна Рвс. 2.24 Рис. 2.23 сила действия заряда на диполь (отталкивание) 29р 2р Я л'(2, — л)5 Суммарная сила (№ 2.35) (притяжение) р Ь 2+6/Я Я4 Я~ 5/ ~~4' На рис. 2.24 показана система зарядов изображений 47Я/а и — дЯ/а для двух зарядов д и — 47, расположенных на расстоянии 2а друг от друга, и незаряженной проводящей сферы радиусом Я, находящейся посередине между зарядами (№ 2.29).
Величины зарядов-изображений определяются (2.24), их расстояния от центра сферы — (2.22). Так как сумма зарядов равна нулю, имеем незаряженную сферу. При а» Я заряды-изображения действуют на заряды д и -д как диполь с дипольным моментом 2Я д Р= а2 Воспользовавшись (1.7), получаем изменение (увеличение) силы, действующей между зарядами, Г= ~ 4а на ЛГ = — = —. 2рд 4Я 47 а а 5 59 Рассмотрим систему двух параллельных бесконечно длинных прямых нитей, находящихся на расстоянии 2а друг от друга и имеющих равномерные заряды противоположных знаков по абсолютной величине равные Х на единицу длины. Напряженность электрического поля на расстоянии г от заряженной прямой нити определяется (1.16): Е = 2Х/г.
Между нитями действует сила притяжения, которая на единицу длины равна Х Е= ЕХ= —. а Отметим, что этим же способом можно вычислить силы и для раз- ных зарядов на единицу длины. Из (2.8) и (2.1б) для потенциала получаем (р = 2Х 1п г+ Фо. (2.28) На рис. 2.25 показано сечение, перпендикулярное нитям. Ось х проходит через нити, а ось у перпендикулярно к оси х через середину расстояния между нитями.
Потенциал в точке с координатами (х, у) равен д = у, + у, = 2Х! и г + Чо — 2Х! в гз + Фо = 2Х!п — + 2Во. (д1 Ы Постоянное значение потенциала будет при б — ' = С = сола!. гз (2.29) Значение С определяет различные линии постоянного потенциала (сечение поверхностей равного потенциала). При С = 1 получаем ось у. Для других значений С получаем С, б (а — х) + 2 2 2 гзР (а+ х) +у Отсюда находим для сечения поверхностей равного потенциала з 2 у+ х+а— (2.30) Это уравнение окружности.
Полученные результаты позволяют вычислить силу (на единицу длины) взаимодействия между металлическим цилиндром радиусом г 60 Рис. 2.26 Ряс. 2.25 и длинной тонкой проволочкой, расположенной на расстоянии Я > г, если на единице длины нити заряд т, а на единице длины цилиндра — т (М 2.45). Из (2.30) находим положение и радиус для нашего металлического цилиндра (линии равного потенциала). Центр сдвинут на С +1 Х,га С -1 2 в сторону отрицательных иксов, а радиус равен С г=2а —. С -1 2 На рис.
2.26 показаны цилиндр и проволока (сечение в перпендикулярной плоскости). Расстояние от центра цилиндра до проволоки Я = а + хг Так как поле вокруг цилиндра такое же, как от проволочки на расстоянии — а, то сила взаимодействия между цилиндром и проволочками одна и та же. Из предыдущих соотношений получаем С помощью (1.16) получаем 2Х 2Х 2а д(1 — г'/дз) Найдем, какую максимальную разность потенциалов можно поддерживать между проводами бесконечной двухпроводной линии, если напряженность пробоя воздуха Е = 30 кВ/см, диаметр проводов 2а = 1 см, а расстояние между проводами Ь = 5 м (М 2.48).
Используя теорему Гаусса (1.12) для изолированного заряженного цилиндра, как и в случае заряженной нити (1.16), получаем распре- 61 деление напряженности поля Е = 2Х/г, где Х вЂ” заряд на единицу длины; г — расстояние от оси цилиндра. В случае двух противоположно заряженных цилиндров благодаря суперпозиции получаем на линии, соединяющей их центры (расстояние х отсчитывается от оси положительно заряженного цилиндра): Е= — + —. 2Х 2Х х Ь вЂ” х Исследуя эту зависимость, можно получить, что при х = Ь/2 она имеет минимум.
Таким образом максимальное значение напряженности поля на поверхности цилиндров равно 2ХЬ а(Ь вЂ” а) ' Из (2.б) следует Ьар = 2Х ~ ~ — + — ~Жс = 4Х 1и ~ — — 1) = )х Ь вЂ” х1 1а а = 2Е„а11 — — ) 1и ~ — — 1) = 207 кВ. а а Заряд (4), находящийся в точке внешнего электрического поля с потенциалом у, обладает энергией в этом поле, равной (2.31) Если в поле находятся два заряда +а и — д, образующие диполь бесконечно малой длины 1, то энергия этих зарядов во внешнем поле равна И = 4(Ч Ч ) где <р и ~р' — потенциалы внешнего поля в полюсах диполя.
С точно- стью до величин второго порядка малости, учитывая (2.10), (р = <р'+ — Р1 = (р'+ 1ягаб <р = <р' — 1Е. а1 Поэтому И"= — д!Е = — рЕ, (2.32) где р — момент диполя; Š— напряженность внешнего поля в месте расположения диполя. В этом выражении не учитывается взаимная энергия зарядов диполя, величина которой изменяется лишь при изменении длины диполя 1. 62 Силы, действующие на диполь, представляют пару сил. Их момент определяется векторным произведением М = (Щ = 41Е) = [рЕ). (2.33) ~7 =1 — +1 — + д —. а .а э ах ау ае (2.34) Скалярным умножением р на Ч получаем оператор д д д (р%') = р, — + р — + р —.
' дх ' ду ' де (2.35) С помощью этого оператора можно обобщить формулу (1.11) для силы, действующей на диполь, Г = (рр)Е. (2.36) Используя сокращенное обозначение градиента в виде оператора «набла»: 3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОНДЕРОМОТОРНЫХ СИЛ Диэлектриками, или изоляторами, называются вещества, не проводящие (или очень плохо проводящие) электрический ток. Имеющиеся в них заряженные частицы могут под действием электрического поля лишь смещаться (а не перемещаться свободно, как в проводниках). Возникающая поляризация, как показывает опыт, пропорциональна напряженности электрического поля, прикладываемого к диэлектрикам. Это наблюдается и для веществ, у которых частицы, например молекулы, обладают дипольными моментами (полярные диэлектрики), но из-за хаотичности их направлений суммарный дипольный момент диэлектрика равен нулю, и появляется он только тогда, когда под действием поля происходит выстраивание моментов в направлении поля.
Вектором поляризации (или поляризацией) Р называется суммарный дипольный момент единицы объема диэлектрика Р ч; Р; ; Ь'г' (3.1) Возникающая в диэлектрике поляризация, как показывает опыт при не очень больших напряженностях поля, пропорциональна прикладываемому электрическому полю (3.2) Р = аЕ; (Р = е,аЕ). б4 Коэффициент пропорциональности называется поляризуемостью. Отметим, что такая зависимость хорошо выполняется для изотропных веществ. Для анизотропных веществ поляризуемость является тензорной величиной и направления векторов Р и Е могут не совпадать.
Отметим также, что поляризация может возникнуть и в отсутствие электрического поля, например при механическом сжатии (пьезоэффект). При поляризации, несмотря на смещение, все заряды внутри диэлектрика скомпенсированы, и только на границах остаются свя- занные заряды. На рис. 3.1 показано сечение слоя диэлектрика. Выделен объем Л Рс боковыми поверхностями, параллельными вектору поляризации Р, и торцевыми поверхностями плошадью ЬЮ, на которых плотность связанных зарядов а.
Для дипольного момента этого объема имеем 55 РЛ К = оЬЯ. Вводя угол б между нормалью к границе и Р .3.! вектором Р, получаем о = Рсоа б = Р„= аЕ„; (о = Р = е„аЕ). (3.3) Для диэлектриков в дифференциальную теорему Гаусса (1.19) необходимо включать и связанные заряды йтЕ = 4яр+4яфо = 4яр — 4яйтР.
~Ю ли= В общем для плотности связанных зарядов имеем р„= — йт Р; (р„= — йт Р). (3.4) Вектор электрической индукции (смешения) Р вводится следующим образом: Р = Е+ 4 Р; (Р = е Е+ Р). (3.5) Вектор Р является суммой различного рода физических величин: напряженности приложенного поля и поляризации единицы объема диэлектрика, но использование его упрощает описание поля в диэлектриках. В частности, для диэлектриков в дифференциальной теореме Гаусса (1.19) надо заменить вектор Е на Р и учитывать только свободные заряды йтР = 4яр; (АР = р). (3.6) Соответственно для интегральной теоремы (1.12) ф РНЯ = ф Р„сБ = 4ьу; (ф РЫБ = ф Р„ЫЯ = д~.
(3.7) Для равномерно заряженной пластины диэлектрика (с плотностью заряда р) толщиной 2а получаем изменение Р в зависимости от расстояния от средней плоскости пластины х: внутри пластины Р = 4ярх, вне пластины постоянно и равно 0 = 4яра. Для равномерно заряженного шара из диэлектрика (с плотностью заряда р) радиусом а в зависимости от расстояния от центра ьч 5 65 внутри шара 4 13 = — прг; вне шара 13 = — пра —,.
4 1 г г Линейная зависимость между поляризацией и напряженностью поля (3.2) нарушается в полярных диэлектриках (элементы которых обладают дипольными моментами) при больших напряженностях поля, когда все диполи среды выстраиваются по полю. Происходит насыщение поляризации (поле растет, а поляризация не меняется). Если же (3.2) выполняется, то из (3.5) получаем 0 = Е + 4пР = (1 + 4па)Е = еЕ; (3.8) (О еоЕ + Р (1 + а)еоЕ еоеЕ). Здесь введена важная характеристика сред — диэлектрическая проницаемость (называемая также диэлектрической постоянной) 6=1+4па; (6=1+а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
