Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Рассмотрим взаимодействие точечного заряда (д), находящегося на расстоянии Е от плоской поверхности диэлектрика (диэлектрическая проницаемость е) с этим диэлектриком, заполняющим полу- пространство (Х~ 3.40). Обозначим плотность связанных зарядов на границе диэлектрика о. Учитывая, что напряженность электрического поля в некоторой точке А (рис.
3.4) создается зарядом д и связанными зарядами диэлектрика (противоположного д знака), и используя (3.3), (3.9), (1.1) и (!.17), получаем Рассмотрим два однородных диэлектрика с диэлектрическими проницаемостями е1 и е, граничащих друг с другом вдоль плоскости (рис. 3.5). В точке В, помещен точечный заряд д1. Найдем напряженность электрического поля в каждом из диэлектриков. В окрестности В, поле должно описываться (3.10), т. е.
в выражение для поля должен входить член вида (3.10). Предположим, что поле от поляризационных зарядов на границе диэлектриков в первом диэлектрике (е,) эквивалентно полю Рис. 3.5 заряда д2, помещенного в точку В, зеркально симметричную точке В, относительно границы. В таком случае поле в первом диэлектрике описывается формулой Е, = — + —. д1Г1 У2Г2 3 3 6101 42Г2 Предположим также, что поле во втором диэлектрике можно представить через некоторый заряд д3, помещенный в точку В„ ЧЗГ1 Ег = 3 6201 Оба предположения будут оправданы последующими вычислениями.
Должны удовлетворяться условия на границе диэлектриков: непрерывность касательных компонент вектора Е и нормальных компонент вектора 13 31л в 31п 0 31п в % +92 =Ч3 Е1 Е1 42 д1 соз0- д2 соз0 = д3 соз0. Видно, что угол 0 выпадает из обоих уравнений. Отсюда находим Е,— Е2 Е2 %=% 1 9=2% Е1 + Ег 41 + Ег Подставляя их в выражения для полей, имеем 71г1 (е2 41)71"г . 1 3 е!01 41 (41+ 42)г2 2'71 г1 2 (61+ 42)01 3 ' 74 (3.36) (3.37) (3.38) При е — з получаем выражения для точечного заряда над проводящей плоскостью %г! ч!гг Е! = —,— —,. 6!й! 6!/г В г !7г 4Ьге! и умножаем его на 4!! г '7 (е! ег) 47! (е! +ег) (3.39) Опишем поля через потенциалы: !р, в первом диэлектрике и <р, во втором диэлектрике.
Из отсутствия заряда на границе диэлектриков и (2.8) и (3.10) имеем =ег (3.40) Используя (3.6), (3.8) и (2.12), получаем уравнения Пуассона 4яр 4яр Д(р! = — — ' Д(рг = — —. е! ег (3.41) Плотность зарядов равна нулю везде, кроме точки Вг Поэтому д4зг = О. (3.42) Другое уравнение из (3.41) можно удовлетворить, положив !р! = +'Рз' д!рз = 0~ '7! е!й! (3.43) где г, = [хг + (у — Ь) + Я ц~. Воспользовавшись (2.13), убеждаемся, что первый член устраняет особенность в точке Вг Потенциал в каждой точке пространства зависит от г и расстояния от плоской границы раздела диэлектриков (у).
Вместо у удобно ввести расстояние от точки В„расположенной симметрично точки В, относительно границы диэлектриков, г = 1хг + (у + 7з)г + язlг. Гра- 75 Чтобы определить силу, действующую на заряд д„который находится на расстоянии Ь от границы диэлектриков, находим поле от заРЯда 4!г, Равное ница диэлектриков описывается уравнением «, = «. Решениями уравнений Лапласа из (3.42) и (3.43) являются суперйозиции сферически симметричных решений (2.13), зависящих от «, и «2. При этом потенциал егг во втором диэлектрике не может содержать членов, пропорциональных 1/«,, а потенциал !Вг в первом диэлектрике соответственно членов, пропорциональных 1/«г Решения ищем в виде Чгг =а! — ' чгг =аг— Ч е!«! Ег«2 где а! и аг — постоянные величины, которые определяем из условий на границе.
Равенство потенциалов !р! и ч!2 дает 1+ а! !гг е! ег Из (3.40) имеем ! — а! = а . Отсюда е! — ег 2ег а! = — '; аг= Е! +Ег 6! !' 62 Получаем для потенциала д !7 (е! ег) !а=!а! = — + при у > 0; а!«! е! (а! + ег) гг (3.44) гч !в=!вг = (е! + ег)«! при у < О. (3.45) 4 эР (е — 1)К Е 3 3 (3.46) 76 Рассмотрим взаимодействие между сферическими пузырьками (полостями) радиусом «внутри диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е, помещенного между обкладками плоского конденсатора, имеющими разность потенциалов (/. В первом варианте пузырьки расположены на расстоянии !друг от друга в плоскосги, параллельной обкладкам конденсатора. Оценим величину и направление силы их электростатического взаимодействия, предполагая, что наличие пузырьков не изменяет однородной поляризации диэлектрика и равномерного распределения заряда на обкладках (Мо 3.17).
Дипольные моменты пузырьков р„противоположны дипольным моментам, которые получились бы при заполнении их данным диэлектриком. Поэтому (3.21) и (3.8) дают Для диполей из (1.8) и (!.1!) находим силу отталкивания 3р2 (е — 1)2 Ц2е4 14 3621 Если пузырьки расположены вдоль прямой, перпендикулярной обкладкам конденсатора (М 3.18), то возникает сила притяжения (1.10) бр2 2(е — 1) У~г 14 34214 Некоторой моделью диэлектрика может служить среда, состоящая из большого числа проводящих шариков радиусом К. Предполагая, что концентрация шариков п очень мала К'и «1, можем найти, на сколько отличается от единицы диэлектрическая постоянная (проницаемость) среды (М 3.1).
Считая, что поле вблизи шариков равно внешнему Е, из (1.26) находим дипольный момент шарика р = К2Е. Из (3.1) Р = пр, а из (3.8) находим е = 1 + 4ппК'. Зная диэлектрическую проницаемость е некоторого одноатомного газа с известным числом атомов в единице объема п, можно оценить, на какое расстояние 1 в заданном электрическом поле Е сместится электронная оболочка (предполагаемая симметричной в отсутствие внешнего поля) атома с известным зарядом ~е (Ж 3.2).
В случае, когда Ю = еЕ, имеем еЕ = Е+ 4яР. Откуда (е — 1) Е 4к Так как Р = пр, р = д1, д = ег,, то р Р (е — 1)Е 1= — = — = 4 пес 4ппее Отметим, что смещение для атома аргона в поле с напряженностью Е = 300 В/м получается 2 10-и см, что значительно меньше размера атома. Предполагая некоторую структуру электронного облака в атоме, можно вычислить коэффициент поляризуемости атома а в слабом внешнем электрическом поле, пренебрегая деформацией электронного облака (М 3.3). Если плотность электронного облака описывается функцией е 1 2е) р(г) = — — 2ехр~- — ), ка 77 где а — радиус первой боровской орбиты, то, используя теорему Гаусса (!.12), имеем Г Е(г)4яг'' = 4я~4яг р(г)йг.
о Откуда находим Е(г) = — — —. 4 ег 3,~' Это поле в электронном облаке. При наложении внешнего поля Е0 облако сдвигается, и смешение его центра на г определяется положением нулевого поля из условия Ее + Е(г,) = О. Получаем ЗаЕ0 3 з "0 = — Р=его = — а Е0 4 е ' 4 и, следовательно, 3 8 а= — а . 4 Можно предположить, что электронное облако сосредоточено внутри сферы радиусом а с постоянной плотностью (г(0 3.4) Зе Р= 4аа По теореме Гаусса (1.12) получаем Е(г) = — —.
ег з При наложении внешнего поля Е, в данном случае смещение центра облака происходит также на г: 8 го = —, е Зч р =его =л Ео и„следовательно, а = а'. 78 Отметим, что неопределенность при г, стремяшемся к нулю, можно раскрыть по правилу Лопиталя. Производная числителя: 4(г'/аз)е-"~', производная знаменателя: 2г/а. Поэтому Е(0) = О. Так как наибольшая плотность заряда в основном находится при г «а, то, разлагая экспоненту до кубического члена, получаем Диполи диэлектрика, помещенные в постоянное электрическое поле (Е,), выстраиваются по полю.
Под действием поперечно направленного переменного электрического поля (например, синусоидального Е = Ел а)п о27 «Ео) они могУт совеРшать колебаниЯ. Найдем резонансную (собственную) частоту колебаний жестких диполей с дипольными электрическими моментами р и моментами инерции 7 в постоянном электрическом поле Е„превосходящем по величине поле насыщения (№ 3.5). Учитывая, что момент сил М, действующий на диполь, равен векторному произведению М = 1рЕ ), для малых отклонений на угол О, при которых синус можно заменить углом, получаем уравнение вращательных колебаний ИО РЕоО. 772 Отсюда собственная частота колебаний Найдем напряженность поля Е„в центре сферической полости радиусом Я внутри диэлектрической среды с диэлектрической проницаемостью е, созданного поляризационными зарядами, индуцированными на поверхности сферы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
