Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 13
Текст из файла (страница 13)
3.14 зб Плотность связанных зарядов на поверхности диэлектрика о = Р, плотность свободных зарядов на пластинах конденсатора С= — =Я; 1С=а=4яеоЯ~. (3.50) Емкость такого же шара в диэле1прике с диэлектрической проницаемостью е из (3.10) С= еЯ; (С= 4яе,>еЯ). (3.51) Для двух металлических шаров (радиусами Я, и Я,), находящихся в диэлектрике с диэлектрической проницаемостью е и расположенных на расстоянии 2Ь друг от друга, в точке, отстоящей от одного на кн а от другого — на г,, из (3.10) и суперпозиции для потенциала получаем 1р= — — ~ +сопзг.
'7 е01 сг2 В случае Ь» Я, и Ь» Я имеем на первом шаре 1р, = — — — + сопаг Д Д еЯ1 2211 и на втором шаре 1Р2 = — — — + сопз1. а2Ь еЯ Разность потенциалов 4~71И1+ Я2) Я1Я2] 4(Я!+ Я2) 1Р1 1Р2 = ея1Я2 ей1Я2 а7 Е РЬ о, = — = —. 4п 1' Важной характеристикой проводящих тел и конденсаторов (специальных технических устройств, предназначенных для накопления и сохранения электрических зарядов) является емкость. Это— коэффициент пропорциональности между зарядом проводника нли конденсатора и потенциалом или разностью потенциалов, который зависит от размеров и формы устройств и диэлектрической проницаемости окружающего диэлектрика и ее распределения в пространстве.
Емкость металлического шара радиусом Я в вакууме из (2.4) Отсюда емкость такой системы С = 4яеое еК,К При К, = Я = Я получаем (3.52) ~С = 4аеае — ~. С= —; 2 ' (3.53) Применение метода зеркальных изображений дает то же значение емкости для системы из проводящей плоскости и проводящего шара на расстоянии Ь» Я. Для концентрических металлических оболочек радиусами Я, и Я„между которыми находится диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е (сферический конденсатор), из (3.10) получаем (3.55) Если толщина зазора между обкладками Ь мала по сравнению с радиусами, то для площадей обкладок имеем Ю = 4яК, = 4пК', = 4иК,К,.
В этом случае для емкости получаем С 4 Ь' С=еФ (3.56) Естественно, что ту же самую формулу получаем и для плоского конденсатора, если пренебрегать краевыми эффектами. Используя (3.7) и (3.8) для напряженности между противоположно заряженными плоскими металлическими пластинами, получаем 4 аул и ч — Чз — — ЕБ= еэ Е= — ~ аЮ Отсюда и следует (3.56). вв д(17К, — ~/К,) Ю1 Фг = (3.54) Отметим, что здесь д — абсолютная величина заряда, который находится на внешней оболочке внутренней сферы и на внутренней поверхности внешней сферы. На внешней поверхности внешней сферы может находиться любой заряд, и он не влияет на поле между сферами.
Из (3.54) емкость сферического (шарового) конденсатора Найдем емкость плоского конденсатора, пространство между обкладками которого заполнено диэлектриком с линейно изменяющейся диэлектрической пронипаемостью от значения е, у одной обкладки до е < е, у другой. Обозначая расстояние между обкладками )г, площадь обкладок 5 и координату, перпендикулярную к обкладкам х, получаем из (2.б) для изменения разности потенциалов х Ь Ь У = ( Ег)х = 4я ~ ( = 4я 7 ( = 4п '7 7г 5 е 6(х) 5 с ег+ (е! Ег)х/Ь Я 6~ — ег Отсюда определяем емкость С = г)/У(М 3.26).
Рассмотрим плоский конденсатор, на пластинах которого распределен заряд с поверхностной плотностью а, а между пластинами вставлен диэлектрик с диэлектрической проницаемостью 8, заряженный положительным пространственным зарядом так, что объемная плотность заряда изменяется от О у одной пластины (положительной) до р, у другой по закону р(х) = о —, х лг > где л — расстояние между пластинами. Найдем полный простран- ственный заряд в диэлектрике на единицу площади Ь ггх о и = (ох —,= —.
ьг 2 о Используя (3.7), находим, что снаружи конденсатора поле, как от заряженной плоскости 2Е „= 4яп/2, т. е. абсолютное значение Е,„, = яо. Снова используя (3.7) для поверхности вне конденсатора и внутри на расстоянии х, получаем ох по+ 8Е = 4я о+ — ~.
2Ь Отсюда получаем Е(х) внутри конденсатора (Ха 3.27). Если в изолированный заряженный конденсатор вдвигать пластину (толщиной, равной зазору между обкладками) из диэлектрика (проницаемость е), то заряды на обкладках не меняются, а перераспределяется их плотность. Конденсатор можно рассматривать как два конденсатора, соединенных параллельно. Суммарная емкость при этом увеличивается, а разность потенциалов и напряженность поля уменьшаются. 89 Электрическая индукция (смещение) в диэлектрике при вдвигании уменьшается и при заполнении конденсатора целиком становится равной значению без диэлектрика. На границе диэлектрика меняется плотность заряда на обкладках так, чтобы напряженность поля была одинаковой с обеих сторон границы.
Обозначая площадь обкладок Яп а площадь, занятую диэлектриком Я2, и отношение индуктивности в диэлектрике (Р = еЕ) к его значению без диэлектрика (Ро = Е,) буквой и = Р/Е„из сохранения заряда получаем А~~о (его+Я~ Б2)Е 4я 4я Найдем, при каком отношении площади диэлектрика к площади обкладок получим заданное значение л (М 3.30). Из приведенных ранее соотношений 52 е — л а(а — 1) В плоском конденсаторе (расстояние между обкладками 1) можно две пластины диэлектрика (диэлектрическая проницаемость е) приложить к обкладкам так, что между ними остается небольшой зазор 12.
Найдем, при каком Ь поле в зазоре будет в и раз превышать поле в отсутствие пластин, если конденсатор подключен к батарее (М 3.31). Обозначая поле в отсутствие диэлектрика Е, в диэлектрике Е, и в зазоре Е, из постоянства разности потенциалов на обкладках и (2.6) находим Е1= Е,(1 — Ь) + Е)2. Из непрерывности нормальной компоненты электрической индукции на границе диэлектрика следует Е = аЕ,. Получаем Е 61 л= — = Ею 1+ 12(е 1) Откуда находим 1(е — л) л(е — 1) Если металлический шар радиусом )1, окружен шаровым слоем диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е толщиной Ь (Я = Я, + 6) и помещен концентрично в металлической оболочке с 90 внутренним радиусом Аг (М9 3.24), то для разности потенциалов такого конденсатора имеем аз,~„ Отсюда находим С = ~у/д~р.
Найдем изменение напряженности электрического поля в сферическом конденсаторе (радиусы Я, и Я ), который заполнен двумя однородными диэлектриками (с диэлектрическими постоянными е, и г ), граничащими по конической поверхности (телесные углы й, и ь1 ). Если на внутренней обкладке заряд Д, то Ц = ь2,Я,о, + ь2 Яго . Йз сохранения касательной компоненты поля на границе диэлектриков и (3.! О) получаем Е = 4лЯ~ — ' = 4я)(г — г. Е1Г егг Откуда о, ог е, ег Это позволяет найти 0 а,= Я ~ (й1 + йг ег/е1) и подставить его в выражение для напряженности поля (М 3.28) Рассмотрим пустотелый металлический шар, заряд которого д, а радиус Я, плавающий в жидкости с диэлектрической проницаемостью е, так, что его центр находится на уровне поверхности жидкости, и найдем плотность свободных зарядов на его поверхности, считая диэлектрическую проницаемость воздуха равной е ()ча 3.38).
Для потенциала и напряженности поля вокруг шара имеем симметричную картину, описываемую уравнением Лапласа (2.13). Плотность свободных зарядов на шаре и электрическая индукция меняются скачком на границе диэлектриков. Обозначая плотность заряда на половине поверхности, находящейся в жидкости ан а в воздухе о, можем написать д = 2яЯг(о, + о). Изменение электрической индукции из (3.7) в воздухе Р= 4ЯЯг г 4яг 91 а в жидкости Р, — 4лЯ вЂ”. 4лг Используя непрерывность напряженности электрического поля на границе диэлектриков (2.7), получаем Р Р, Е= — =— 6 и затем о о~ 6 г Подставляя это в выражение для суммарного заряда, находим соответствующие плотности.
Найдем емкость сферического конденсатора, т. е. отношение заряда к разности потенциалов, при заданном значении заряда у, если в него (радиусы обкладок соответственно Я, и Я,) помещен неоднородный диэлектрик с поляризуемостью, зависящей от расстояния от центра сфер (г), а = р1Е1гз. Из (3.7) 0 = д/гз. Из (3.2), (3.5) и заданного соотношения для поляризуемости имеем — ", = Е(1+4 бг'И). При положительном заряде на внутренней обкладке Е > О получаем 4~ф(гзЕ)з + гзŠ— д = О.
Решая это квадратное уравнение и беря (по смыслу) положитель- ный корень, находим -1+ (1 + 1блб9) г Е= = А = сопа1. 8лб С помощью (2.6) получаем гНг Г1 11 Ь(р = — А ) — = -А — — — . лг Я~ Яз 2 Откуда емкость (М 3.33) С = д/Ь<р. Найдем объемное распределение связанных зарядов в диэлектрике, заполняющем сферический конденсатор (внутренний радиус Яц 92 внешний Я ), проницаемость которого с расстоянием от центра сфер (г) изменяется по закону (Ма 3.34): ! Я 6 = е~ —. г2 ' Из (3.7) и (3.8) имеем 2 2) = — = Ее = Ее, —.
Я, гг ~ „г ' Откуда следует постоянство напряженности поля при изменении расстояния от центра сфер Е= —. 4 г' с~Я~ Из (3.8) (6 1)Е Ч(6, Я2/г — 1) 4я 4ле,Ят Используя (3.4) и выражение для дивергенции в сферических координатах в случае сферической симметрии (1.22), получаем ( и л~ (à — 1) 4 гЧ 1 4хе~я, 24 р,, =-йчР=-— г ег 4хе,Я~~г Если задан не заряд, а разность потенциалов (У), то и = Е(Я, - Я,) = д "' е,Я2 Емкость цилиндрического конденсатора, состоящего из коаксиальных цилиндрических металлических обкладок радиусами А, и Я„ между которыми находится диэлектрик с диэлектрической йроницаемостью е, получаем, используя (3.7) и (3.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
