Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Для случая заполнения конденсатора наполовину найдем емкость конденсатора С, напряженность поля Е, распределение плотности заряда на поверхности пластины о, уменьшение энергии конденсатора Л14' (М 3.61). Емкость конденсатора можно рассматривать как параллельное соединение двух конденсаторов (с половинной плошадью пластин) воздушного и заполненного диэлектриком. Используя (3.56) и (3.64), находим Аналогичным образом можно решить задачу с твердым диэлектриком.
Найдем, например, силу, с которой пластина из диэлектрика (е), также вставленная до половины конденсатора (с квадратными пластинами), втягивается в него ()Ча 3.63). Используя (3.85), имеем дз (е — 1) Е дх (е — 1) 4У 8х 8я(с + 1) Если внутри конденсатора имеется диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е, то его емкость (С) увеличивается в е раз С = еСО (3.56). Из (3.67) для энергии плоского конденсатора имеем тюк Ч Ч 2С 2есо Допустим, что в конденсаторе находился жидкий диэлектрик, который слили, предварительно отсоединив конденсатор от батареи (источника питания). Так как заряд на конденсаторе сохраняется, его энергия станет равной ))г = =Ж.
д 2С Такая энергия выделится при разрядке конденсатора (Ха 3.55). Выливание диэлектрика — это работа силы тяжести против сил электрического поля, которые в соответствии с (3.85) стремятся втягивать диэлектрик. Она увеличивает энергию конденсатора. На рис. 3.! 9 показано сечение конденсатора переменной емкости, состоящего из двух неподвижных металлических пластин, расположенных на расстоянии Ь друг от друга, и подвижной диэлектрической пластины с диэлектрической проницаемостью е, которая может поворачиваться и заходить в зазор между металлическими пластинами.
Все пластины имеют форму полукруга радиусом Я, причем зазоры между диэлектрической пластиной и пластинами кощгенсатора пренебрежимо малы по сравнению с л. Пренебрегая краевыми эффектами, найдем момент М сил, действующих на диэлектрическую пластину, когда она выведена из положения равновесия, а разность потенциалов на пластинах конденсатора равна У ()ча 3.67). Сила, действующая на границе между диэлектриком и воздухом внутри пластин конденсатора, втягивает диэлектрик в конденсатор и определяется (3.85). Момент ее равен 114 Рие.
3.19 Рис. 3.20 Как видим, момент сил не зависит от угла поворота диэлектрической пластины. Отметим, что когда угол поворота равен нулю, можно считать, что внутри конденсатора находятся две границы диэлектрика, на которых моменты уравновешивают друг друга, и суммарный момент, действующий на пластину диэлектрика, равен нулю (М 3.68). На рис.
3.20 показано сечение сферического конденсатора, у которого половина заполнена диэлектриком с проницаемостью еп а другая половина диэлектриком с проницаемостью е,. Найдем силу, действующую на внутреннюю сферу радиусом Я, если конденсатор имеет заряд Д (Ха 3.70). Заряд перераспределится (разделится на Ц, + Д = Д) так, чтобы в соответствии с (3.18) на границе оставалась непрерывной напряженность поля Используя связь между зарядами, выражаем через суммарный заряд г (е~ + аз)г Из (3.85) получаем давление на внутренней сфере, которое для получения силы умножаем на площадь: (е~ — е~ ) а~ 2яд~ Зл(к~ + е2) Л Рассмотрим подъем жидкого диэлектрика (диэлектрическая про- ницаемость е, плотность р) в вертикальном воздушном цилиндри- ческом конденсаторе с радиусами обкладок Я, и Я, < Ян разность н5 потенциалов на которых равна К(рис. 3.21).
Найдем высоту подъема диэлектрика Ь (М 3.64). Напряженность поля в цилиндрическом конденсаторе определяется зарядом на единицу длины у = д/1 Интегрируя (3.58) для воздушной части, получаем Подставляя в (3.58), имеем Рвс. З.И Е= 1и (Я1/82) г На границе диэлектрика напряженность поля непрерывна.
Сила на единицу площади границы определяется (3.85). Интегрируя по площади границы, получаем Я! (е — 1) У~ Г = — ) Е~2птйг = Чтобы найти высоту подъема л, эту силу приравниваем весу ди- электрика 4. ПОСТОЯННЫЙ ТОК. ТОКИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ ) = лев. (4. 1) Поток электрического заряда через поверхность л5 (с нормалью в) называется силой тока У (4.2) Изменение заряда, имеющего плотность р„, внутри объема ); охватываемого неподвижной поверхностью Я, описывается урав- нением а(~р„,~и~ = -ф~„сБ, (4.3) где ~'„— проекция плотности тока на внешнюю нормаль поверхности.
В дифференциальном виде отсюда имеем — +йт) = О. до д! (4.4) Это называют законом сохранения заряда. При постоянных токах распределение зарядов стационарно и из (4.3) и (4.4) имеем ф,)„Л=О; (4.5) (4.6) нт о(т1 = О. Электрический ток — это движение зарядов, которое возникает в проводнике под действием электрического поля. Плотность тока 1 определяется числом частиц в единице объема и, имеющих заряд е, проходящих через единицу поверхности за единицу времени со скоростью в: Эти уравнения показывают, что постоянный ток не имеет истоков, т. е. что линии тока всегда замкнуты или уходят в бесконечность. Как показывает опыт, для многих проводящих сред (в частности, металлов) плотность тока ) пропорциональна напряженности электрического поля Е (закон Ома в дифференциальном виде) ) =)Е, (4.7) где Х вЂ” постоянная для данной среды величина, называемая удельной проводимостью, или электропроводностью, зависящая от свойств сред и условий, в которых они находятся.
Отметим, что это уравнение остается справедливым и в переменных электрических полях. Величина, обратная удельной проводимости, называется удельным сопротивлением среды 1 Р=— х (4.8) еЕ а = —. м Предполагая, что при соударении дрейфовое движение пропадает, находим, что за время т до следующего соударения скорость будет и = ат. Средняя скорость дрейфа ат и= —. 2 11В Используя (4.6), (4.7), (3.8) и (3.6), получаем, что в случае стационарных токов макроскопические электрические заряды могут находиться только на поверхности или в местах неоднородности проводящей среды. В этом отношении электрическое поле стационарных токов аналогично электростатическому. Отметим, что закон Ома не является фундаментальным законом, а выполняется лишь для некоторых (может и многочисленных) сред при определенных ограничениях. Приведем пример модельного представления, позволяющего получить зависимость (4.7) и выражение для Х.
В металлах проводимость связана с наличием свободных электронов (масса т, заряд е), которые под действием электрического поля могут ускоряться в направлении поля (Е) и тормозиться при соударениях с ионами решетки. Хаотическое (тепловое) движение электронов не приводит к току. Ток — это дрейфовое (упорядоченное) движение с ускорением Для плотности тока получаем пс тЕ 1= яви = 2т Это — закон Ома (4.7), где выражение для проводимости (4.9) Л= —.
2т ' Время между соударениями можно оценить из длины пробега 1и скорости теплового движения с: (4.10) т =— с Работа, совершаемая в единицу времени (мощность) над электронами единицы объема, при дрейфовом движении лиГ = —. /Г е Эта энергия идет на увеличение внутренней (тепловой) энергии среды. Тепловая мощность Ф, создаваемая током в единице объема проводящей среды: (4. 11) Или, так как Г = еЕ, используя (4.7), получаем (4.
12) Это закон Джоуля — Ленца в дифференциальном виде. Для поддержания постоянного электрического тока необходимы электродвижушие силы неэлектростатического происхождения (химические, индукционные, термоэлектрические, контактные, инерциальные и т. д.). Работа этих электродвижуших сил (ЭДС), которые называются сторонними, компенсирует потери на джоулеву теплоту. Для совокупного действия электростатического поля Е и поля сторонних сил Е' в соответствии с (4.7) можем написать 1 = Л(Е + Е'). (4.13) Это обобщенный закон Ома в дифференциальном виде. 119 Применим полученные соотношения для токов вдоль проводов.
Сопротивлением провода на участке от поперечного сечения 1 до сечения 2 назовем величину Ш )1" =~ГЛ' ! при постоянных Х и Х 1 р! Н= — = —. ЮЛ Ю Так как ток во всех сечениях одинаковый, то, используя (4.2), (4.13) и (4.14), получаем 2 2 Жг = ) Б// + ) с г// = )п + й !и (4.! 5) ! ! В стационарном поле постоянных токов электрическое поле Е обладает потенциалом 4/.
Поэтому (4.16) ~~~!2 /!'! /Р! + '!2' Для замкнутого контура (4.17) .И= (ъ где )1 — полное сопротивление контура (включая сопротивление ЭДС); Й вЂ” полная ЭДС контура (верхний индекс здесь опушен, так как это обозначение будет использоваться только для сторонних электродвижуших сил). Это закон Ома для полной (замкнутой) цепи тока. Интегрируя (4.12) по объему провода, получаем закон Джоуля— Ленца в интегральной форме /!/ — 7г)1 (4.18) Для разветвленной цепи проводов, включающих ЭДС, сформулированы два правила Кирхгофа: 1) в каждой точке разветвления проводов алгебраическая сумма токов (например, входя!цие положительны, а выходящие отрицательны) равна нулю ~:.т/ = о; (4.19) / 2) сумма ЭДС в выделяемом контуре равна сумме падений напряжений на всех участках контура (4.20) Гй 7Я / / !го В электротехнических расчетах используют единицы измерения, входящие в систему единиц СИ.
Приведем нх связи с единицами в СГСЭ: 3. 10' ед. СГСЭ Заряд (у) ! кулон .. Напряженность поля (Е) ! В/м (вольт на метр) . Разность потенциалов (р) ! В (вольт) ... Емкость (С) ! Ф (фарада) ...................... Сопротивление (Я) ! Ом ........................ . (3 1О")-' ед. СГСЭ ...
1/300 ед. СГСЭ ...9 !Оном ... (9 10н)-' ед. СГСЭ Рис. 4.1 !г! Для измерения силы тока используют амперметр, разности потенциалов — вольтметр. Идеальный амперметр не обладает сопротивлением, идеальный вольтметр имеет бесконечно большое сопротивление. Реально используемые приборы имеют сопротивление, которое называют внутренним.
Рассмотрим некоторые электрические цепи (схемы). Напомним, что ЭДС на схемах изображают двумя линиями: длинная соответствует положительной клемме, а короткая (более жирная)— отрицательной. Считается, что ток в цепи идет от положительной клеммы к отрицательной. В действительности в металлах отрицательные заряды двигаются от отрицательной клеммы к положительной. На рис. 4.1 показана схема, в которую включены два одинаковых гальванических элемента с ЭДС равными с и внутренними сопротивлениями г.
Пренебрегая сопротивлением соединительных проводов и считая вольтметр идеальным (ток через него равен нулю), найдем, какой ток ()) проходит через элементы, и что покажет вольтметр ( г;) (М 4.1). Из (4.19) и (4.20) следует 2 Й = 2/к Отсюда / = Й/и Из (4.20) й = /г + Р;. Подставляя величину тока, получаем ~; = О. Падение напряжения внутри каждого элемента равно ЭДС элемента. Если бы гальванические элементы были направлены навстречу друг другу (параллельное соединение), то вольтметр показал бы ЭДС элемента (о). Найдем токи через гальванические элементы с ЭДС, равными Ж, = 1,9 В и Ж, = 1„1 В и внутренними сопротивлениями г, = 0,1 Ом и г = 0,8 Ом, и падение напряжения на сопротивлении (Я = 1О Ом) для схемы, изображенной на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
