Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Найдем его напряженность (Х~ 5.7). При отсутствии разреза внутри трубки магнитного поля не было бы. Условие в разрезе удовлетворяется„если предположить, что по нему, противоположно 1, пропускается ток силой ГЬ !Ь 2лЯ вЂ” Ь 2лЯ Внутри трубки на расстоянии г от разреза с помощью (5.2) получаем 1Ь Н = —. лсЯс Вне трубки добавляется еще поле тока по всей трубке Н= —, с1 где ! — расстояние от оси трубки. Найдем распределение магнитного поля вне и внутри длинного цилиндрического провода, состоящего из двух проводящих сред, имеющих удельное сопротивление р, от оси провода до Я, и рз от Я, до Я, по которому идет ток ! ()Ча 5.8).
Благодаря электрическому контакту, стационарности токов, при котором электрическое поле аналогично электростатическому, напряженность электрического поля в проводе постоянна. Из (4.7) и (4.8) для плотностей тока в частях провода получаем Е = р1)1 = рД . Откуда .~~ 01 21 Р2 Ток через первую среду 150 ток через вторую среду ~2 = 22я(Я2 Я!) Для токов получаем ( 2 '1+ ~2 72 Р1 Л2 ~1 Р2 Л1 2 Отсюда 2 ~(Р!/Р2)(Я2/Я! 1) (1+ Р,/Р,)(Я,'/Я', -1) (1+ Р!/а )(Я~~/Я', -1) Из (5.7) и (5.2) при 0 < г < Я, магнитное поле 211г и, = —, сд при Я, < г < Я, (2/с) (2/г)(1 + р1/р2)(г /Я! — 1) (1+ Р1/Р2)(Я2/Я! 1) при Г) Я2 2! сг Найдем зависимость магнитного поля Н от расстояния г от оси бесконечного прямого провода радиусом Я, по которому течет постоянный ток 1, а удельное сопротивление его р зависит от расстояния от оси по закону р = Р,г (М 5.38).
Как и в предыдущей задаче, электрическое поле Е в проводнике постоянно, поэтому Е Е р(г) = — = —. Р(") Рог Используя закон Ома (4.7), (4.8), получаем 1 = (/(г)2ягдг = ™~~. о Ро 151 Из (5.6) внутри провода Н2яг = — ) /(г)2кгс(г = — 1 —. 4я' . 4в с Я Откуда 2/ Н = — = сопки сл При г> /! 2( Н = —. сг Если в плазменном цилиндре радиусом а распределение удельной проводимости Х в зависимости от расстояния от оси цилиндра г имеет вид Х=)~ 1 — —, то плотность тока 21 /(г) = Х (г) Е = /о 1 — — ~, где / = Х Е; Š— постоянное электрическое поле, вызывающее по- стоянный ток: О г /' = ) /2л с(г = уо о С помощью теоремы о циркуляции (5.6) находим распределение магнитного поля (М 5.21).
Внутри плазменного цилиндра с ( г~ ( 4 2вгН = — 2я/о ! г~1 — — ~Ыг = — ж/о ~ г с о~ ~ ао/ с о'( 2со~~ о откуда 41 г Вне плазменного цилиндра 2лгН =— 4а! с !52 и, следовательно, 21 О = —. сг На рис. 5.12, а показано поперечное сечение системы из двух бесконечно длинных прямолинейных проводников из немагнитного материала, изолированных друг от друга и ограниченных цилиндрическими поверхностями. Найдем величину и направление магнитного поля (в данном случае, совпадающего с индукцией магнитного поля) в полости (и), если токи с одинаковой плотностью 1 идут по одному проводнику к читателю, а по другому — от читателя (М 5.23). Используя (5.7), для цилиндра с током можем написать в векторном виде Н = — 1)г~.
На рис. 5.12, б показаны все векторы. В результате получаем 2л . 2л . Н=Н, +Н, = —,~йг,-г,Ц= —,[)г„! Эту же формулу можно применить и к нахождению магнитного поля внутри бесконечной цилиндрической полости, сделанной в бесконечном цилиндрическом проводе, вдоль которого течет постоянный ток плотностью 1, равномерно распределенный по сечению провода (М 5.24). Рассмотрим плоский конденсатор, пластинами которого являются диски радиусом Я, подключенный к источнику постоянного А б Рис. 5.12 153 напряжения И Объем между пластинами заполнен слабопроводя- щим диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого г е(~) = еО + ьг' а проводимость где Ь вЂ” расстояние между пластинами, а ~ отсчитывается от нижней пластины; г — расстояние от оси.
Пренебрегая краевыми эффектами, найдем плотность заряда р(г, ~), а также полный свободный заряд 9 сосредоточенный в диэлектрике, и магнитное поле В(г) (М 5.25). Из (4.7) имеем Е = НЛ. Считая, что плотность тока не зависит от ~, получаем, что напряженность поля также не зависит от ~, т. е. Е = )г/Ь. Из (3.6) 8П78~ 8(еЕ уас 2П ис Р 4я 4я 4яй~ 2кй Интегрируя по объему, находим Из теоремы о циркуляции (5.6) следует 2кгН = 4яЕ) 2ягЛ0 ~ ~ Ыг = 8япЕКО~Л гл~йг = — п~Е(Яг) ~ гЛ0. Откуда, учитывая, что В = Н, находим В = 8я — Л0(Яг) У 0 При симметрии системы можно воспользоваться теоремой о циркуляции (5.6) и в случае части провода конечной длины.
Система, изображенная на рис. 5.13, представляет однородную проводившую 154 Рис. 5.14 Рис. 5.13 сферу и провод вдоль диаметра. Ток 1 идет по проводу от В к А, а затем по поверхности сферы (Ма 5.10). Так как имеется симметрия относительно АВ, то, обозначая расстояние от оси симметрии г, можно из (5.6) внутри сферы получить Н2пг = 4я11с.
Снаружи сферы поля нет, так как суммарный ток равен нулю. На рис. 5.14 показан круговой тор прямоугольного поперечного сечения с размерами а и Ь, на который навита обмотка тонкой проволоки, содержащая )У витков (на рисунке не показана). На тор надета кольцевая катушка с числом витков и, по обмотке которой течет ток 1. Найдем магнитный поток, который посылает магнитное поле катушки через обмотку тора с внутренним радиусом Я ()Чв 5.35).
Предполагаем, что рассеяния магнитного потока от кольцевой катушки нет, т. е. весь поток идет внутри тора, и учитываем, что силовые линии не пересекаются. Для силовой линии, проходящей на расстоянии г от оси симметрии тора, из (5.6) 2ягН = 4яп11с. Для потока имеем л" л Ф = / НЫг = 2 — 1пЬ / — = 2 — 1пЬ!п11+ — 1. ( Умножая это на Н, получаем зацепленный поток через тор.
Если по оси полого цилиндра из немагнитного металла или диэлектрика натянута заряженная нить, то на его поверхностях появятся заряды. Вращение цилиндра дает электрический ток и приводит к появлению магнитного поля. Пренебрегая краевыми эффектами, пьезоэффектом и всеми эффектами, вызываемыми центробежной силой, найдем магнитные поля в случае металлического и диэлектрического (диэлектрическая проницаемость е) цилиндров, вращающихся с угловой скоростью й вокруг нити, на единицу длины которой приходится заряд у (Мо 5.14). Так как суммарный заряд на цилиндре равен нулю, то и суммарный ток равен нулю.
Поэтому в 155 полдсти и снаружи цилиндра магнитного поля нет. Поле внутри цил(ьндра определяется плотностью заряда на внешней поверхности цилиндра (радиус К). В соответствии с (1.16) напряженность электрического поля на внешней поверхности цилиндра Е = —. 2х я' В случае металла плотность заряда из (1.12) Е х о= — = — „ 4» 2лЯ" а в случае диэлектрика из (3.3) и (3.8), так как Е = Р = еЕ„= Е + 4лР, то (с — 1) Е, (е — 1)Е (е — 1)х а,=Р„= 4л 4ле 2леЯ Ток на единицу длины цилиндра 1= оь(Л.
Используя (5.4), получаем в случае металла О = 2Хй/с, а в случае диэлектрика 2Ха(е — 1) се Найдем магнитные поля, возникающие при вращении длинного сплошного цилиндра из статически поляризованного диэлектрика, вращающегося вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью а. Задано, что вектор поляризации во всех точках цилиндра направлен радиально, а его величина пропорциональна расстоянию от продольной оси цилиндра, т. е. Р = кг (1с = сопзг; г — радиус-вектор, проведенный от оси перпендикулярно к ней), радиус цилиндра )1 (М 5.15).
Из (3.4) следует для объемной плотности связанных зарядов р =-йтР =-/сйтг =-lс~ — + — ! = — 2)с, Гак ау'5 свнз (,а»,3г! т. е. постоянна во всем объеме цилиндра. При вращении связанные заряды создают токи с объемной плотностью / = езгр,, = — 2йвг. Заметим, что на поверхности цилиндра при 1с > 0 из (3.3) положительный поверхностный связанный заряд плотностью о = Р„= /сЯ, 156 а внутренние связанные заряды отрицательные и в ! сумме равны поверхностному заряду, т. е., как и должно быть, свободных зарядов нет. Поэтому при ! вращении цилиндра внешнего магнитного поля нет. Для вычисления магнитного поля внутри цилиндра воспользуемся теоремой о циркуляции (5.6). Контур для циркуляции, показанный на рис. 5.15, бе! ! рем вдоль образующей цилиндра на единице длины по радиусам и линии на расстоянии г от оси цилин! дра.
Получаем ток г ! 1 Н н„„=о л Я 1 = )',/Ыг+ осоА = — 2/с!о~ гИг+ lсоэЯ' = Мог' Г Рис. 5.15 Г = р)! Кй!ра1 К = 2о„)! — Ю, где р — плотность дюраля; Ь вЂ” толщина трубки; Я вЂ” ее радиус. Отсюда 7 Опр рЯ Обозначая заряд на трубке д, имеем из (1.3) для напряженности электрического поля на поверхности трубки для плотности тока при вращении !/2 о 4 (о„ /р) 4ян 4ян Этот ток, так же как в соленоиде, создает магнитное поле внутри трубки 4!У Н = —. с Ряс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
