Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Сторона самого большого треугольника а, = 1 м. Сопротивление одного метра проволоки 1 Ом. Найдем сопротивление между клеммами А и В ()чв 4.19). В силу симметрии системы потенциал во всех точках на вертикальной линии, проведенной из верхней вершины треугольника, будет один и тот же (равный половине разности потенциалов между точками А и В). Поэтому ток, идущий от А к а„равен току от а, к В, а ток от аг к а, равен току от а, к а . В таком случае можно в нижнем а, отделить внутренний треугольник от внешнего. Для внутреннего треугольника ситуация теперь такая же, как была для внешнего. Учитывая, что сторона его равна половине внешнего, Рвс. 4.18 Рвс.
4.19 139 получаем, что и сопротивление его должно быть в два раза меньше внешнего. Если искомое сопротивление К, то сопротивление системы, ограниченной первым внутренним треугольником, равно К/2. Обозначая сопротивление куска проволоки, равного длине стороны внешнего треугольника г = а,р, получаем эквивалентную схему, изображенную на рис. 4.!9. В результате 1 1 1 Я г г+ гЯ/(Я+ 2г) Это квадратное уравнение относительно К Выбирая корень, кото- рый дает положительное значение, получаем К = — ~ /7 — !)г = 0,55 Ом. 5. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ. ЗАКОН БИΠ— САВАРА — ЛАПЛАСА.
ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ В ВАКУУМЕ. ИНДУКТИВНОСТЬПРОВОДНИКОВ. ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ В пространстве, окружающем электрический ток„создается магнитное поле, проявляющее себя тем, что действует на движущиеся заряды, в том числе и на токи. Название этого поля объясняется тем, что оно того же типа, как у постоянных магнитов. Величина и направление поля описываются вектором Н, называемым напряженностью магнитного поля.
На основе опытов сформулирован закон Биб — Савара — Лапласа, позволяющий вычислить напряженность магнитного поля от элементов тока: — — 1~~- ~ —,), (,п,) ( (,г!г1) с г 4лг (5.1) Ь пса — = соза = —. г сП Ряс. 5.1 !4! где с — скорость света (электромагнитных волн) в вакууме (при использовании для входящих в формулу величин гауссовой системы единиц); с1 — элемент проводника, по которому течет ток 1; г — вектор расстояния, отсчитываемого от элемента тока. Из опыта следует суперпозиция магнитных полей, которая нарушается лишь при наличии в поле ферромагнетиков. Для бесконечного прямолинейного проводника с током силовые линии магнитного поля представляют окружности с центрами на оси провода. Из (5.1) интегрированием получаем напряженность магнитного поля на расстоянии Ь от оси провода.
На рис. 5.! показан прямой бесконечный провод, по которому течет ток 1. Для вычисления напряженности магнитного поля на расстоянии Ь от провода пользуемся тем, что а расстояниях, больших Я, поле является полем диполя типа (1.9 . В таком случае поток поля я о ( Р „,1„о о л „сЯ !Ос Магнитные стрелки, далеко отстоящие друг от друга, взаимодействуют как диполи. На рис. 5.3 показано, что в точке А закреплена под углом а = 45 к линии АВ одна стрелка. Найдем угол р, под которым установится другая стрелка, которая может вращаться в точке В (М 5.27).
Используя формулу (1.9) и обозначая Р а= —, г~ находим вдоль направления г: Е = За сов а; вдоль направления р: Е = — а. Поэтому Р а ива 1 !йД =— = — — !я а. Засооа — асооа 2 При а = 45' гя р = -1/2. Магнитное поле в плоскости крупнюго витка с током неоднородно.
Для прямого проводаоноуменьшается обратно пропорциональнорасстоянию от оси провода. Но для искривленного провода оно могло бы и возрастать. Покажем, что на оси оно имеет минимум (Ж 5.9). Рассмотрим два элемента Лй на противоположных сторонах диаметра витка (2Я). Обозначим расстояние от центра витка х. Используя (5.1), от двух противоположно расположенных элементов имеем И--Ы1 2+ — 2 2 Г ! ! (Я вЂ” х) (Я+ х) Поведение этого выражения вблизи центр витка (х = 0) определяет и поведение суммы всех элементов. Для выяснения этого надо рассмотреть функцию У(.) = (Я-х) (Я+х) Рис. 5.3 143 Первая производная по х Х[)— 2 2 [Я вЂ” х) [Я+ х) Вторая производная 6 6 4 4' (Я вЂ” х) (Я+ х) Так как при х = 0 первая производная равна нулю, а вторая производная положительна, то здесь минимум функции.
Минимум даст и сумма всех элементов витка. Для плоской катушки (как бы сжатой в один виток), имеющей Ф витков, в ее центре в соответствии с (5.4) имеем поле 2аЛт" Н = —. сЯ Если в центр этой катушки подвесить, например, на жесткой нити другую плоскую катушку, то при пропускании по ним тока возникает взаимодействие. Предполагая, что подвешенная катушка значительно меньше неподвижной, имеет и витков с площадью Ю и в равновесии плоскости катушек взаимно перпендикулярны, а модуль кручения нити а, найдем угол поворота подвижной катушки в случае одинакового постоянного тока в них ! (г(а 5.40).
В данном случае магнитный диполь с магнитным моментом р = Ь~Ю/с находится в поле Н. Момент сил, действующий на диполь, М = [рН[. Величина момента определяется синусом угла между векторами. Угол поворота подвижной катушки <р предполагаем малым. Получаем уравнение для определения д М = РНсозгР= 2кЯФ вЂ” ~ — ] =а<р. и 111 Я(с] Аналогичным образом можно рассмотреть квадратную рамку, подвешенную внутри соленоида (Ха 5.41). Найдем напряженность магнитного поля в фокусе витка с током (1) в виде эллипса, уравнение которого в полярной системе координат (рис.
5.4) имеет вид Р и= Э 1+ есозр Рис. 5.4 144 где Ь' Р=— а — параметр; с (а — Ь) е= — = <1 а а эксцентриситет (М 5.1). Используя (5.1) и вводя угол а между а1 и г, находим 1/ . !ГАВ~ 11 НН = — — Жв1па = — — — "- = — — йр. сг сг г сг Так как 1 1+есове г р получаем 17 г 2яГ 2яГа Н = — — )'(1+ есов<р)йр = — = —. вЂ,р) ср Рассмотрим также виток, представляюший егофрнрованную окружносп е (рис. 5.5), уравнение которой в полярной системе координат имеет вид — = -+ Ь сов (икр), 1 1 г а где а и Ь вЂ” постоянные величины; в — целое число (Ыв 5.2).
Можно повторить сделанное ранее 1! . 1гсИ~ 12 аН = — — а'15!па=-- — '= — -а!р. с г~ СГ Г Сг Так как — = — + Ь сов(аер), 1 1 г а получаем Н = -1 ( ~-+ Ьсов(лвр)~йр = —. 2вl са Рвс. 5.5 145 |о- ом Рнс. 5.7 Найдем магнитное поле в центре окружности, если по проводу, изображенному на рис. 5.6, а, протекает ток 1 (М 5.3). Суперпозиция четырех таких проводов, изображенная на рис. 5.6, б, позволяет найти поле от круглого витка (5.4) и четырех прямолинейных проводов (5.2) Рис. 5.6 )р =1Яйр —, Я ~О с и дает в центре окружности в соответствии с (1.9) йН = —. Нр я' ' 146 На рис. 5.7 изображена однородная тонкая металлическая пластинка, имеющая форму равностороннего треугольника со стороной а, по которой пропускают ток 1 Пренебрегая магнитным полем от подводящих ток проводов, найдем магнитное поле в центре треугольника (М 5.4). Три подобные системы утроят поле в центре.
Из симметрии и суперпозиции следует, что поворот второй системы на 120', а третьей — на 240' ничего не должен изменить. При этом оказывается, что через каждую вершину суммарный ток равен нулю. Таким образом, для трех так расположенных пластин поле в центре равно нулю. Следовательно, оно равно нулю и для одной пластины. На рис. 5.8 показан длинный тонкий многовитковый соленоид с поверхностной плотностью тока 1 и площадью поперечного сечения Ю = ягз согнутый так, что его ось образует половину окружности радиусом К Найдем напряженность магнитного поля Н в центре этой окружности (М 5.12).
Элемент соленоида на угле йр представляет магнитный диполь, магнитный дипольный момент которого в соответствии с (5.5) Рис. 5.9 Рвс. 5.8 При интегрировании по длине соленоида (по углу е) компоненты поля, перпендикулярные диаметру АВ, компенсируются, и окончательное значение поля в точке О дает интеграл от компоненты вдоль АВ Го". 1,г Н =г)йН атер = — — /а)п<рсйр =-2л( —. сф с Лт Магнитное поле от витков, намотанных на немагнитную сферу радиусом Я, можно найти, пользуясь формулой (5.3). Считаем, что плотность поверхностного тока в таком «соленоиде» постоянна и равна ~'.
Найдем напряженность магнитного поля в точке О (рис. 5.9), подставляя в (5.3) ток в витке Пар, радиус витка Я з(п ~р„расстояние от элементов витка до точки О равно Я: (т 2 ° Н = — )' з(п' у йр = —. 2лг . ~ л! 2с' Если обмотана вся сфера ()ча 5.13), то поле будет в два раза больше. Вычислим циркуляцию напряженности магнитного поля вдоль произвольного замкнутого контура для бесконечного прямолинейного провода с током, магнитное поле которого описывается (5.2). На рис. 5.10 показана проекция контура на плоскость, перпендикулярную проводу. Интегрируя скалярное произведение вектора напряженности магнитного поля Н на элемент длины контура Ы! по длине замкнутого контура, с помощью (5.2) получаем ф НЛ = ф Н, сИ = ф Н, гВл = ф Нгда = — ф На = — 1.
1 4л с с 1о 147 Суперпозиция позволяет написать эту формулу (теорему о циркуляции в интегральном виде) для суммы проходящих внутри контура токов 1НЛ = 4яХ7. (5.6) Цна =„'.ф Рве. 5.10 2я . 2 гг ( 7В Ь. Н = — гг = —; ~ Н = — = — ~. с с я2' ~ 2 2яд2/ (5.7) Вне провода магнитное поле описывается формулой (5.2), которую также можно получить с помощью теоремы о циркуляции (5.б). Здесь уместно ввести еще один дифференциальный оператор— ротор.
Напомним, что оператор градиента (набла) т7 = — ! + — 1+ — )г. Оператор, примененный к скалярной величине — потенциалу ~р, дает напряженность электрического поля (2.8) Е = — Ч~р; (Е = — ~7~р». (5.8) Скалярное произведение наблы, например, на Е дает дивергенцию (1.20) аг. аг, ак, ЧЕ = — + — +— ак ау а Векторное произведение наблы, например, на Н дает ротор (5.9) ! д д д [ЧН[ = го1Н = (5.10) ах ау аг Н„О, 77, мв Отсюда для цилиндрического провода радиусом Я, по которому течет ток с постоянной плотностью7', получаем напряженность магнитного поля внутри провода Этот определитель раскрывается обычным путем по минорам гогН=! — '- — ' +! — "- — ' +$с —." — —" .
(5.11) Так ротор записывается в декартовых координатах. В цилиндрических координатах (р, хг, ~ на рис. 2.1) (! ан, ан„~ (ан, ан,') (! арн„! ан,') гогН = — — '- — '" е + — "- — ' е + — — "- — ' е . (5.12) ~рЭе аг! ° ~аг ар ! ° !р Эр па~~ В сферических координатах (г, ~у, е на рис. 2.1) ( ! М1пвН„аы,') (1а.Н, 1аН„~ гогН = х- — е е,+~ — — а- — — "~е + !гипв дв ду~ ' (г дг г дв/" (5.13) Из циркуляции (5.6) ротор получается предельным переходом к контуру с бесконечно малой площадью ЛЯ юн-р (! — ), Н,Л'! лз )' (5.14) где в — единичный вектор нормали к поверхности ЬХ Отсюда теорема о циркуляции в дифференциальном виде го! Н = — 1; (го! Н = !), 4л .
с (5.15) 2Н = —. 44яу с Рис. 5.11 где ! — вектор плотности тока. На рис. 5.11 показана широкая полиэтиленовая пленка (диэлектрик) с равномерным поверхностным зарядом с плотностью о, которая движется по роликам со скоростью и. Движение зарядов создает ток плотностью ! = оц Перпендикулярно току и параллельно поверхности пленки возникает магнитное поле, которое находим с помощью теоремы о циркуляции (5.6) Откуда 2лос Ес Н= — = —, с с где Š— напряженность электрического поля у поверхности пленки. При известном значении электрического поля пробоя можно найти максимальные плотность поверхностного заряда и значение магнитного поля при заданной скорости протягивания пленки (М 5.6). Если постоянный ток (течет вдоль длинной тонкостенной трубки радиусом Я, которая имеет тонкую прорезь шириной Ь, параллельную оси трубки, то вокруг трубки возникает магнитное поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
