Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Найдем силу, с которой оба полушария отталкиваются друг от друга (М 3.53). Поле на поверхности шара описывается (1.28) Е = ЗЕ~ озΠ—, К где Π— угол между направлением Ео и нормалью к поверхности. Проекция силы давления на ось симметрии (направление поля Е ) из (3.78) 7 Е2 Созв 8в Силу отталкивания, действующую на каждую из половинок, находим интегрированием по углу г г Г = )' 7'2яАяп ОгЫО = — Е,'К' )' сов' Оз(п ОНО = — ЕО2Я'. 4 0 Ют Таким образом, сила, действующая на единицу плошади элемента 475, равна Рассмотрим длинный проводяшии цилиндр радиусом Я, составленный из двух половинок. Найдем силу отгалкивавия Г, действующую на единицу длины каждого полуцилиндра, если на единицу длины цилиндра приходится заряд т (М 3.54).
Давление на единицу поверхности определяется (3.73). На единицу длины каждой половинки цилиндра действует сила г = 2яоо2Я = —, х яА так как х о= —. 2яЯ Если на оси цилиндра поместить тонкую заряженную нить, на единицу длины которой приходится заряд то, то на его поверхности Ео =— 22 Я и дополнительное давление 2Хоо ро = т. е. в сумме для силы имеем Х(Х + 2Хо) к)1 Оценим силу, действующую на атом, находящийся на расстоянии ! = 200 А от поверхности острия металлической иглы с радиусом закругления Я = 100 А.
Потенциал на игле Р= 100 кВ. Поляризуемость атома а — величина порядка его объема (М 3.71). Будем считать, что поле острия иглы совпадает с полем заряженного шара ия г2 Г2' Дипольный момент поляризованного атома р = аЕ. Используя (1.11), находим силу притяжения Р=-2а, =10 дин.
и'я' (!+ А) !оа — = р=2яо . г Ю (3.81) Учитывая, что поле внутри конденсатора Е = 4по, получаем, что Ег Р= 8п (3.82) Это можно назвать силой натяжения вдоль силовой линии, и ее величина равна плотности энергии (3.69). Силовая линия как бы старается сократиться, а расстояние между силовыми линиями, как в дальнейшем будет показано, стремится увеличиться. Рассмотрим плоский конденсатор, состоящий из двух квадратных пластин, расположенных в вакууме вертикально на расстоянии )г = 1 мм друг от друга, одна из которых закреплена, а другая может двигаться без трения по гладким вертикальным направляющим.
Найдем, при какой разности потенциалов (7 между пластинами подвижная не упадет вниз, если ее масса М = 1 г, а сторона квадрата 1= 1О см (М 3.69). Обозначая смещение подвижной пластины у и пользуясь (3.68), получаем для энергии конденсатора ЕЫ(1 — у) 8п Сила в направлении у равна дЬ' ЕЫ Г=- — = — = Яг8.
ау 8п Отсюда для разности потенциалов получаем (7 = ЕН = ~ " 8 ) = 4, 71 кВ. Если между пластинами конденсатора находится диэлектрик, то поле от первой пластины, которое действует на заряд второй, равно Е = 2яо/е и сила р 2пе~ аŠ— =Р= — =— Я е 8п (3.83) Найдем силу притяжения между пластинами плоского конденсатора, на одной из которых плотность заряда о, а на другой — о. Поле, создаваемое одной пластиной там, где находится вторая, равно (1.17) Е = 2яо. Сила, действующая на единицу. поверхности второй пластины, И в этом случае величина силы натяжения вдоль силовой линии равна плотности энергии (3.75).
Отметим, что в случае твердых диэлектриков, когда имеется хотя бы небольшой зазор между диэлектриком и пластиной, сила притяжения определяется (3.81) и (3.82), а для жидких диэлектриков, когда зазор отсутствует, — (3.83). В заряженном цилиндрическом конденсаторе сила притяжения между обкладками может привести к разрушению обкладки. Рассмотрим цилиндрический конденсатор, состоящий из двух тонкостенных коаксиальных металлических цилиндров, пространство между которыми заполнено жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е = 2.
На конденсатор подается напряжение, величина которого медленно увеличивается. Найдем, что наступит раньше: механическое разрушение внутренней обкладки или пробой диэлектрика, если известно, что пробой наступает при напряженности поля Е, = 30 кВ/мм, а разрывное усилие стенок цилиндров— и „= 500 г(/м и радиус внутренней обкладки )г = 3 см (Хв 3.60). Отметим, что сила притяжения между обкладками растягивает внутреннюю обкладку и сжимает внешнюю. Так как материал на сжатие обладает большей прочностью, чем на растяжение, то в первую очередь будет разрушаться внутренняя обкладка.
На рис. 3.15 показаны силы, действующие на элемент обкладки (плошадью 2аЯ, умноженной на единицу длины вдоль образующей цилиндра): сила притяжения 2а)(р, которая определяется по (3.83), и проекции сил 2а/ которые ее уравновешивают. Откуда ЯеЕ У= —. 8я Если Е = Е„, то/= 2 1О' дин/см. Это меньше, чем а = 500 Н/м = = 5 !О' дин/см. Поэтому раньше произойдет пробой диэлектрика.
Найдем силу притяжения между обкладками (плошадью Я) плоского воздушного конденсатора (разность потенциалов обкладок У), в который введена диэлектрическая пластина толщиной л, и диэлектрической проницаемостью е так, что между обкладками и пластиной еше остались зазоры, суммарная толщина которых! (Ж 3.59).
Для разности потенциалов имеем и = Е/+ —. ЕЛ е Используя (3.82), получаем ЯУ 8л(1 + Ь/е) 110 Рис. 3.16 Рве. 3.15 На рис. 3.16 показано сечение плоского конденсатора, в который параллельно его обкладкам вставлена диэлектрическая пластина с проницаемостью е, толщина которой равна половине зазора конденсатора (Ь), и приложено напряжение К Пунктиром изображен некоторый замкнутый контур С, пронизывающий конденсатор и диэлектрическую пластину. Найдем циркуляцию фР,г71 вектора электростатической индукции )3 по контуру Е (М 3.65). Круговой интеграл (3.18) в электростатике равный нулю можно разбить на две части.
Часть, находящуюся вне конденсатора, обозначим А. Тогда из (3.18) А+ — + — =О; А =-ЕЬ вЂ”. 2 2е ' 2е Так как вне конденсатора Р = Е, а внутри конденсатора 13 непрерывно, получаем ф Р, гЕ = Р)! + А = ЕЬ = 1' —. Рассмотрим плоский конденсатор, пластины которого имеют площадь Е и расположены на расстоянии Ь, заполненный диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е и присоединенный к батарее постоянного тока, поддерживающей на нем разность потенциалов У. Одну из пластин отодвиппот так, что образуется воздушный зазор. Найдем, на какое расстояние х отодвинута пластина, если при этом совершена работа А (Хо 3.57).
Изменение напряженности электрического поля Е в воздушном зазоре можно определить из условия Сила, совершающая работу, определяется из (3.82). Работа этой силы А= — / 172,1х ЮУ2хез Зл2~(х+ ь/е)2 8лЬ(хе+ 6) Откуда получаем Ь х= ЯУ~с~/8лЬА — е 22 (1/е2 — 1/е1) 8л (3.84) При е, > е, сила направлена, как показано на рис. 3.17, в сторону диэлектрика с меньшей проницаемостью. Если граница диэлектриков перпендикулярна пластинам конденсатора (рис. 3.18), то на границе постоянна напряженность поля, Рис. 3.18 Рис. 3.17 112 На границах диэлектриков, находящихся в электрическом поле, действуют силы. Рассмотрим это на примере жидких диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями е, и е, внутри плоского конденсатора.
В первом случае плоская ~раннца диэлектриков параллельна пластинам конденсатора (рнс. 3.17). Предполагается, что диэлектрики несжимаемы, и температура постоянна. Как обычно в механике, работу силы /У на виртуальном перемещении бх приравниваем изменению энергии в данном случае при постоянных зарядах на обкладках конденсатора, так как при этом на границе диэлектриков индукция постоянна. Изменение энергии происходит из-за того, что в объеме Ябх вместо диэлектрика с проницаемостью е, появится диэлектрик с проницаемостью ег Таким образом, /обх = †(и, — в )Ябх.
Используя (3.75), находим силу на единицу площади что соответствует постоянной разности потенциалов на конденса- торе (конденсатор присоединен к батарее). Из (3.84) находим силу давления на единичную плошадку Е (е~ ет) 8я (3.85) (1 + е).у 8ял Из (3.18) следует непрерывность напряженности поля на границе диэлектрика.
Сохранение заряда на конденсаторе ГЯ д=иС, = — =1;С. 4яЬ Откуда ги Е= — = Ь Ь(а+1) Из (3.7) о = Ю/4я. Используя (3.8) и равенство напряженностей, находим в воздушном зазоре и 2ял(1+ а) ' е1' 21й(1+ а)' Из (3.75) изменение энергии (а+1)Е 68 (Р"/Ь) Я~ Я~ (е — 1) 16л 8я 8яЬ(е + 1) нз При е, > е сила направлена, как показано на рис. 3.18, также в сторону диэлектрика с меньшей проницаемостью. Если к плоскому воздушному конденсатору (площадь пластин Я, расстояние между ними Ь, пластины расположены вертикально), заряженному до разности потенциалов К и отсоединенному от источника ЭДС, снизу подводят сосуд с жидким диэлектриком (диэлектрическая проницаемость е), то диэлектрик втекает в конденсатор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
