Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Из (3.7) для единицы длины цилиндра получаем еЕ2яг = 4яу. Для разности потенциалов на обкладках имеем <р~ — <р, = — 2 — ) — =-2 — 1п~ — . Ч гег Ч Я2 а„г е '1 Я,7' ! 93 Откуда для емкости цилиндрического конденсатора длиной 1по- лучаем е1, (, 4ляее1 21п(Яз/Я~) ( 21п(Яз/Я~) (3.57) 2х = Е(1+4ябг~Е!). При положительном заряде на внутренней обкладке Е > О по- лучаем 4яб(гЕ)з + гŠ— 2д = О. Решая это квадратное уравнение и беря (по смыслу) положитель- ный корень, находим гЕ = -1+ (1+ 32л134) = А = соим. 8ф С помощью (2.6) получаем гп Ь~р = -А ) — = -А 1и — .
Я2 ~Я,! Откуда емкость (М 3.32) С = д/а~р. Рассмотрим цилиндрический конденсатор (с радиусами обкладок Я, и Я, и длиной 1), заполненный двумя разными диэлектрика ми (с проницаемостями е, и а,), граничащими по плоскостям, проходящим через ось цилиндра и образующим двугранные углы О, и О, = 2я — Ог Найдем напряженность электрического поля между обкладками, если заряд на внутренней обкладке равен Д (М 3.29).
Обозначая плотности зарядов на внутренней обкладке о, и о„имет 94 Прн малом по сравнению с радиусами зазоре между цилиндрами (Ь) (3.57) переходит в (3.56). Найдем емкость цилиндрического конденсатора (на единицу длины), т. е. отношение заряда к разности потенциалов, при заданном значении заряда д (на единицу длины), если в него (радиусы обкладок соответственно Я, и Я,) помещен неоднородный диэлектрик с поляризуемостью, зависящей от расстояния от оси цилиндров (г), а = ЩЕ)г. Из (3.7) .0 = 2д/г.
Из (3.2), (3.5) и соотношения для поляризуемости имеем ем (е' = )г,!(О,о, + Озо ). Из сохранения напряженности поля на гра- нице диэлектриков (3.18) и (3.7) находим Е = 4п — — = 4п — —. л,о, я,ег г е, г ез Откуда о, о2 Используя выражение для О, получаем 4л0 (е,в! + е202)!г Найдем распределение объемной плотности поляризационного (связанного) заряда, напряженность поля Е(г) и индукцию Р(г) внугри и вне в длинном цилиндре радиусом Я с замороженной поляризацией (Хе 3.35) Пользуясь (3.4) и выражением для дивергенции в цилиндрически симметричном случае (1.21), получаем Р (! — г/Я)(г /Я) 2Р ( Зг) связ = .
лг Я ~ 2Я1 Снаружи, так как свободных зарядов нет, .Р = О. Следовательно, снаружи и Е = О. Из непрерывности на границе диэлектрика нормальной компоненты Р и (3.8) внутри Е = — 4пР. Если диэлектрический диск вращать, то силы инерции (центробежные) вызывают смешение электронных оболочек и возникновение поляризации диэлектрика. Сила, действующая на электрон, определяется угловой скоростью его вращения ге, массой т и расстоянием г от оси вращения, Г = яке'г. Эта сила дает ту же поляризацию, что и электрическое поле Е = г/е (е — заряд электрона). Для нахождения поляризации воспользуемся (3.2) и (3.9) а — ! Р=таг —, 4яе ' где е — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, а вектор поляризации направлен к оси вращения и на поверхности цилиндра 95 при г = Я будет отрицательный заряд.
Объемная плотность связан- ных зарядов определяется (3.4) и дивергенцией для цилиндричес- ких координат. С учетом направления Р получаем (Ж 3.36) 1 г тш (е — 1)14пе з е — 1 рсеез,1 4пе Угловую скорость вращения можно выразить через число обо- ротов ы л = —. 2п Для заряда на поверхности цилиндра получаем д = -в2п~(е -1)п К вЂ”. е е= — д. 1ег (3.58) Из (2.6) получаем 2д 1п г т' = + сонм. 1а (3.59) В точке, которая находится от проволок на расстояниях г, и г,, потенциал " + ~+сонм. 2у 1в 2д!и 1е 1е Вводя расстояние между проволоками 2Ь и действуя так же, как ранее для шаров, получаем емкость системы е1 (С 2пеее1 21 (м /я,е 1 1 ~еь /я,м е' (3.60) В случае одинаковых радиусов проволок С= 4 1п (2й/Я ) (3.61) Емкость двух прямолинейных параллельных проволок длиной 1 (много большей диаметров проволок Я, и Я, чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами), имеющих противоположные по знаку заряды д, вычислим, используя суперпозицию и теорему Гаусса.
Из (3.7) следует Система из проводящей поверхности и проволоки, проходящей параллельно ей на расстоянии Ь, имеет емкость (3.62) С= 2 1П(2Ь/Я) Это следует из предыдущей формулы при использовании метода зеркальных изображений. Конденсаторы можно соединять в батареи. Общая формула связи разности потенциалов на конденсаторе с зарядом и емкостью (3.63) д~р = (7 = —. С' При параллельном соединении конденсаторов (емкостями С, и С,) разности потенциалов между обкладками обоих конденсаторов одинаковые, заряд системы равен сумме зарядов конденсаторов д = д, + д,.
Разделив это на одинаковую разность потенциалов, получаем (3.64) С= С,+ С. При последовательном соединении конденсаторов средние обкладки соединены между собой, поэтому их заряды равны по величине и противоположны по знаку, а разности потенциалов складываются У= У, + У. Поэтому (3.65) Если в плоский конденсатор, имеющий расстояние между обкладками Ь, введена пластина из оптического стекла (е) так, что остался зазор б, и приложена разность потенциалов (7, то напряженность поля Е можно найти из соотношения У = ЕЬ+Е— 6 †е При отключении конденсатора от источника на нем сохраняется заряд. При удалении пластины напряженность поля, определяемая плотностью заряда, не меняется.
Напряжение будет равно Р = ЕЬ. Используя предыдущее соотношение, получаем (Ха 3.25) ие 1 + (е — 1) Ь/Ь ' 97 С вЂ” — ' С— 4х8 ' з 4л(Ь вЂ” 5) Емкость системы С получаем с помощью (3.63) С= 4а~ь +(е — 1)б ) При удалении диэлектрика заряд д = 'г'С сохраняется„а емкость конденсатора становится Я С, = —. 4тй Разность потенциалов и= —. Ч С Перемещение одного заряда в поле другого приводит к изменению энергии электрического взаимодействия зарядов (2.3). Для двух точечных зарядов д, и д, можно вычислить, например, работу по перемещению заряда д, в поле неподвижного заряда д, из бесконечности в точку, находящуюся от него на расстоянии гн, потенциал которой обозначим у, = д,/гц.
Для энергии взаимодействия получаем — =%% = Чг% = 2(%% ~ЧАР~). 'Юг (3.66) Здесь ср, = д,/гп. Найдем энергию, запасаемую в конденсаторе при зарядке. Работа совершается при перемещении заряда с одной обкладки на другую И' =~юг/г/= — Г)дй1 = — — = ~ = —, (3.67) 14' и Си' С 2С 2 2 где (/ — напряжение (разность потенциалов) на обкладках конденсатора. Для плоского конденсатора ~~2~ 8а (3.68) 98 В случае слоев диэлектрика в плоском конденсаторе можно считать на границах диэлектриков обкладки и пользоваться результатами для последовательно соединенных конденсаторов.
В данном случае На единицу объема электрического поля (плотиость энергии) в плоском конденсаторе (3.69) Можно ввести и электрическую энергию одного заряда, подразумевая под этим работу, требующуюся для его создания, например путем последовательного переноса зарядов из бесконечности. Вычислим электростатическую энергию заряда на шаре радиусом Я в вакууме, если заряд шара Д равномерно распределен по его поверхности. Можно заряды из бесконечности приносить на поверхность бесконечно тонкими симметричными слоями. Используя (3.39), имеем ()чо 3.42) 0 1 0 1 02 ( 02 И' =1 Ог)4= — ~404=- —; ~И' = 1. (3.7О) о 2 Я ~ 8лоаЯ) В случае распределения заряда в шаре с постоянной плотностью (р) получаем (Хо 3.43) 0 4 о 1 г 30 И" = ~щ(г, д)й1 = ~ — пг р — 4пг~рйг = — —. (3,71) о3 Те же результаты можно получить, если, воспользовавшись (3.69), (1.14) и (1.15), проинтегрировать по пространству, где имеется электрическое поле: И" = — ~~ Ет()г+ ~Е~И)г~ = ~( — прг)~ 4пгыо(г+/~ — ~ 4пгзйт = -8п~о л 3 о3 г (3.72) 1 0 112 3(2 = — — + — — = — —.
!ОЯ 2Я 5Я' Отметим, что при рассмотрении точечных зарядов в энергии появляются бесконечно большие величины. В некоторых задачах, где требуется найти разности энергий (работу), можно их вычитать. Рассмотрим две удаленные друг от друга металлические сферы с внешними радиусами Я, и Я, и толщиной стенки Ь, в центры которых помещены заряды д, и дг Найдем работу, необходимую, чтобы поменять заряды местами (Хо 3.47). Используя (3.72), можем написать энергию поля для первой сферы с зарядом Аналогичным образом можно написать и для второй сферы.
Суммарная энергия в начальном состоянии ( яг-я г яг-о ! г Г ЙГ д~ г Г ЙГ дг н — 1% ) — г+ — + Чг 21 о г Я~ о г Яг~ В конечном состоянии ( яг-а г яг-о г 1 7г г г 7~ г г 1 г Ыг ?г г Ыг % о гг Я~ о гг Яг! Работа равна разности этих энергий Предполагая, что масса электрона определяется из соотношения )1' = глсг, где И~ — электростатическая энергия заряда электрона, можно оценить его радиус: 1) в случае постоянной плотности заряда по обьему с помощью (3.71); 2) в случае заряда на поверхности с помощью (3.70) (М 3.44).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
