Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 18
Текст из файла (страница 18)
4.2 (Ж 4.2). На рисунке показаны выбранные направления токов. Если получим отрицательное значение, то направление противоположно выбранному. Из (4.19) 1= 1, + 1,. Из (4.20) (21 = 1 г, + И и Ж = 1 г, + 1К Три уравнения и три неизвестных тока. Решая уравнения, получаем = '1,05 А; а!Г2 + Я (а1 а2) г,г + Я(1; + г2) хЗГ! + Я("! а2) 12= = 087А' Г1гг+Я(Г1+ГЗ) = Г1ГЗ + Я(г! 2) и = 1Я = 1,8 В.
Ток через второй элемент идет противоположно направлению, указанному на рис. 4.2. Для схемы, показанной на рис. 4.3 (М 4.3), пренебрегая сопротивлением соединяющих проводов, из (4.20) имеем а! + ЗГЧ + Вз 1= Г! + Г2 + ГЗ Откуда 8112 82Г1 + В1ГЗ ВЗГ! )г =(з — 1Г = + Г7 + ГЗ При 12 12 получаем Р= О. Рис. 4.4 Рис. 4.3 Рис. 4.2 Згг В схеме на рис. 4.4 сопротивления Я, и Я, подобраны так, что ток через гальванометр Г не идет. Считая известными Ж„сгг, Я, и Я и пренебрегая внугренними сопротивлениями батарей по сравненйю с Я, и Я, найдем (1(М 4.4). Предполагаем направления токов такими, как показано на рис. 4.4.
Так как ток через гальванометр не идет, то 1, = 1 = 1 Используя (4.20), находим 1 =; Ж! — б~ = 1Я,. Отсюда бг = ~!Я2 + ~ЗЯ! Я! +Я2 Найдем ток, проходящий через Я,, в схеме на рис. 4.5 (М 4.5). Предположим направления токов такими, какие обозначены на рис. 4.5. Из (4.19) и (4.20) 1о = 12+ 1з' (г! = 1зяз 1гяг' ~! + (10 = 1гяо + 1з(яо + Яз). Откуда 4!Яо+("'-!+Ко)йг ":!Яг+":ог!ЯЗ+Яз) 1з = 1о = ЯОЯЗ + ЯОЯ2 + Я2ЯЗ ЯОЯЗ + ЯОЯ2 + Я2ЯЗ Для схемы на рис. 4.6 при заданных значениях Я, и Я, найдем Я, при котором рассеиваемая на нем мощность максимальна, и определим условие того, что ток, проходящий через Я, равен нулю (Мо 4.6).
Считаем направления токов такими, как обозначенные на рис. 4.6. Из (4.19) и (4.20) имеем 1! = 1+ 12' 11! = 1(Я + Я!) + 1!Яр' бг = 12ЯЗ вЂ” 1Я. 2! 22 Рис. 4.6 Рис. 4.5 Згз Откуда ХЭ Я2 Д2 Я! 1= Я(Я! + Яг)+ Я,Я2 Отсюда условие, чтобы ток был равен нулю: Я, '2 Я2 Для мощности, рассеиваемой на Я, имеем АЯ (Я+ В) где г (К1Я2 — агй!) Я,Я, (Я! + Яг) Я! + Я2 Вычисляя производную %по Я и приравнивая ее нулю, получаем, что максимальная мощность рассеивается при Я!Яг Я1+Я2 На рис. 4.7 показана схема из двух батарей ЭДС (6! и о и четырех одинаковых резисторов сопротивлением Я каждый. Найдем мощность, рассеиваемую на зтих резисторах (М 4.7).
На рисунке обозначены выбранные направления токов. Используя (4.19), получаем ! 6 2' 4 3 5' 3 4 1> 4 5 6' Откуда 2 4 3 6' Из (4.20) ~3 + ~4 + 6 + ~2 ф' ~3 ~4 ~2 + ~3 Я' '2 72 ~Э ~3 ~4 Я Рвс. 4.7 124 В результате (и - 3 ! - иг)' я, я, я, Условие минимальности мощности определяется уравнениями д!у 23'! 2(и - 3'! - з'2) дЗ; Я, Я, Решая их, находим аг!! 2иг 2(Р— 14! — )42) 0 а!2=Я, Я, 3 я, „Ря,, З'яз ! из= Э Яз+Я2+Яз Я!+Я2+Яз Я! 4 Я2+Яз Если сопротивления соединить параллельно (М 4.11), то из (4.18) 1'3' = 1згЯ2!+ 122Я2+(1 — 1, — 12)яз.
Условие минимальности мощности дд! 21, 2(1 — 1, — 12) дФ 212 2(1- 1, — 1г) а1, я, я, ' а1, я, я, Получаем 1ягЯз . 1 1Я!Яз ! 2 ягяг+ я!Я!+ ягяз язяг+ я!Яз+ ягяз 1Я2Я! 13 Я!Яг+ Я4Яз+Ягяз з25 "! + «г, 12 14 1 13 16 2Я ' 2Я Выделяемая мощность равна гт'= 12Я. Существует принцип, согласно которому токи и напряжения в цепи, состоящей из линейных (подчиняющихся закону Ома) элементов, распределяются таким образом, что диссипируемая в теплоту мощность минимальна.
Найдем с помощью этого принципа напряжения на каждом нз трех последовательно соединенных сопротивлений яц я„я„если суммарное падение напряжения на них равно )'(М 4.10). Обозначим падения напряжений на сопротивлениях Р; = 1Я„)'г = 1Яг Тогда падение напряжения на третьем сопротивлении ( г'- ~'! — 'г'). Для диссипируемой в теплоту мощности, используя (4.18), получаем Рвс. 4.8 Рве.
4.9 В схеме на рис. 4.8 сопротивления л„Я, и Я! подобраны так, что ток через гальванометр Г не идет. Зная зти сопротивления и ЭДС К'! и йп найдем ЭДС Ы', и ток 1, проходяший через батарею йн пренебрегая внутреннимн сопротивлениями батарей (М 4.8). На рисунке показаны предполагаемые направления токов. Учитывая, что ток через гальванометр не идет, из (4.20) получаем 83 =)!й3~ 82 АФ2+й3) 83 )+ !' л,! Ток 1находим из уравнения ')'! + 4!()'! + Ю' В схеме на рис, 4.9 сопротивления Я! и Я, подобраны так, что ток через гальванометр Г не идет. Пренебрегая внутренними сопротивлениями батарей и считая известными с'! и Й„найдем о (М 4.9). Выбранное направление тока указано на рисунке. Используя (4.20), получаем Откуда е! + гз л ! /!гг 8= ).я!/л! На рис.
4.! 0 показана схема включения неоновой лампочки в разрыв подвижного проводяшего диаметра С)) окружности АСВР, сделанной из однородной проволоки постоянного поперечного сечения. Найдем, при каких положениях СР лампочка зажигается (потенциал зажигания г'„) и гаснет (потенциал гашения р'„< 'г'„„), 126 пластины (плошадью Ю каждая), расположенные горизонтально (параллельно поверхности Земли) с небольшим зазором, соединенные с Землей, как показано на рис.
4.11. Верхняя пластина вращается относительно вертикальной оси (и оборотов в минуту). Когда она находится над нижней, то напряженность поля над ней равна напряженности поля Земли (Е), а между ними — нулю, так как у них одинаковые потенциалы, равные потенциалу поверхности Земли. После открытия нижней пластины на ней должна быть напряженность поля, равная напряженности поля поверхности Земли. Соответствующий заряд идет через сопротивление Я, вызывая на нем падение напряжения К Считая, что нижняя пластина успевает полностью перезарядиться за один цикл вращения, время которого т = 1/л, получаем оценку среднего тока д ЕБп 1 = — = ял = оЯл = —. т 2я Умножая ток на сопротивление Я, получаем среднее падение напряжения (М 4.! 3), Ток в цепи может быть вызван, например, меняющейся емкостью, включенного в цепь конденсатора.
На рис. 4.!2 показана система, состоящая из ЭДС ст и подключенного к ней конденсатора, в который вдвигается пластина из диэлектрика (диэлектрическая проницаемость е) высотой Ь и шириной Ь (без зазора) с постоянной скоростью ц Ток в цепи связан с зарядом, приходящим на конденсатор. За время дг приходит заряд йу = аЬий. Здесь, как следует из (3.3) и (3.9), (е-1)и 4хЬ Поэтому для силы тока получаем (М 4.14) ~щ (а — 1) жгь й 4яЬ Рис. 4.12 Рис.
4.11 !28 Если пластину не вдвигать принудительно, она сама будет втягиваться в конденсатор. Сила определяется уравнением (3.85). Работа батареи идет на увеличение электрической энергии конденсатора и механическую кинетическую энергию пластины (трением пренебрегаем). Обозначая мощность, развиваемую батареей Ф, получаем %(г = Ыд = ИИ~+ БА. Для работы батареи из (3.77) имеем ЖзлС, для изменения энергии конденсатора ,1С82 Ж2,1С ЫИ" =— 2 2 Таким образом, половина работы батареи идет на увеличение энергии конденсатора и половина на создание кинетической энергии пластины. Для емкости конденсатора при вхождении пластины внутрь конденсатора на расстояние х имеем С~ +(е — 1)Ьх 4лЬ где С, — емкость конденсатора без диэлектрика. Подставляя в формулу для работы, имеем К' (е — 1)Ьий (е — 1)Ьиб 4лЬ ' 4лЬ Видно, что мощность, развиваемая батареей, растет с увеличением мгновенной скорости пластины диэлектрика л = Их/~(г (№ 4.15).
Рассмотрим некоторые примеры распространения токов в неограниченной проводящей среде. На рис. 4.13 изображен металлический лист толщиной а, к которому на расстоянии Ь друг от друга приварены по нормали к листу два цилиндрических (радиусом г ) проводника, удельная проводимость которых Л, ~0 значительно больше удельной проводимо- Ь сти Л материала листа. Найдем сопротивление между проводниками, считая, что а «го <с Ь (№ 4.16). Из (4.6) и (4.7) следует, что электрическое поле стационарных токов аналогично электростатическому полю. Найдем это поле, учитывая, что благодаря Л, » Л, цилиндрические проводники по всей своей длине имеют постоянные потенциалы.
Если линейная Рис. 4.13 9- плотность зарядов на проводниках +р, то для стержней в отдельности из (1.12) и (1.16) Е = +2р/г. Разность потенциалов между проводниками находим, интегрируя напряженности от них по линии, проходящей через их оси: и-2р)Р— ')ш -4рь( ")-4рь( — '). Величину тока находим, считая, что вблизи каждого цилиндра влияние другого мало и имеется цилиндрическая симметрия, т. е. 1= 2лг,а1 = 2лглаЛЕ= 4лрЛа. Следовательно, сопротивление 1и (Ь/гл ) Т лЛа Аналогичным образом можно найти сопротивление систем, изображенных на рис. 4.14 и рис.
4.15. В первом случае к цилиндрическим электродам диаметром И присоединен проводящий слой с проводимостью Л, намного меньшей проводимости электродов, и толщиной б к а', находящийся на двух конусах, наибольший диаметр которых Р, а во втором — такой же проводящий слой на поверхности цилиндра диаметром Р и высотой!. Для изменения напряженности электрического поля в проводящем слое на конусе имеем для компоненты поля, перпендикулярной оси симметрии, Е = —. гр l Рвс.
4.15 Ряс. 4.14 Разность потенциалов на конусе гр1 Р = — ) Е, аг = 2р 1и ~ — ). с//2 На втором конусе еще такое же падение потенциала. Для тока получаем У = 2л — Ь/ = лИЬХЕ, = 2 ' з!ва ' где Е, — поле вдоль образующей конуса, компонентой которого яв- ляется Е,, Ю - е' япа = —. 21 Сопротивление системы (Мо 4.17) 2Р 211п(В/Ы) ы()7- г)' В случае цилиндра (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
