Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 19
Текст из файла (страница 19)
4.15) напряженность электрического поля на его основании Е = 2р/г и разность потенциалов (на каждом основании) г; = 2р!п( — ). На боковой поверхности цилиндра поле постоянно, так же как постоянна плотность тока. Следовательно, падение потенциала на боковой поверхности 1'1 = 4р —. 0 Полное падение потенциала К = 4р — + 1п— Силу тока вычисляем по плотности потока вблизи электрода / = 2л — Ь/ = лИЬ).Е = 4лрХЬ.
И 2 Сопротивление системы (М 4.18) !/О+!п(0/е) Т тйЬ !31 Найдем сопротивление между двумя металлическими шарами (радиусами Я, и Я,), зарытыми на большую глубину и находящимися на большом расстоянии друг от друга в земле, проводимость которой вблизи от шаров Х, и А значительно меньше проводимости металлов (Ха 4.32, 4.34).
Воспользуемся тем, что токи вблизи шаров близки к сферической симметрии 1 ! 1 — и Е= — = 4лг 4гйг~ что приводит к быстрой сходимости интеграла ! ЕНг. Для оценки разности потенциалов между шарами имеем 1йг ~ Ыг л, 4гй )г л, 4лг.гг Откуда Я= ! 1 + 4гй, Я, 4гйгЯ 2 Если шары включить в цепь постоянного тока с источником ЭДС Ф, как показано на рис. 4. )6, то, пренебрегая всеми сопротивлениями, кроме сопротивления заземления„получаем для тока 4ли 3/2~1Я~ + )М~2 Это позволяет найти напряженности поля на каждом шаре и по теореме Гаусса (!. )2) вычислить соответствующие заряды (знак определяется направлением тока) (М 4.36) Я1 ЖЯг г 4гй~Я~ Яг/Я1+ )Ч/гг я 21 4гйгЯг Я~/Яг + )'г/гч Сопротивление заземления можно найти и для электродов произвольной формы, если заданы Рис.
4.!6 132 их емкости в вакууме (определяемые только формой) С, и С. Для заряда на электроде можно написать 22 = СР = ~ оЮ = ~ — = — 42~03 = — = —. ° ЕГЯ 1,. 2 и 4л 4лЛ 4лЛ 4лЛЯ Откуда 1 4лЛС ' (4.21) Если среда обладает диэлектрической проницаемостью е, то в теореме Гаусса должно стоять Ю = ОЕ вместо Е. Соответственно 6 Я = —.
4лЛС (4.22) Можно ввести удельное сопротивление р = 1/Л. Тогда (М 4.33) Я= —. ОР 4лС (4.23) Для всего заземления (Хр 4.35) а~/С, ~ р2/С2 0 1+ 2 4л Ж(21х Р 4л Для суммарного заряда имеем 2 2 И д = о) Р р22х = Х) —. ! ! 1ЗЗ Рассмотрим токи в слабо проводящих диэлектриках. Пусть пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено многослойным диэлектриком, обладающим слабой электропроводностью.
Диэлектрическая проницаемость и удельная электропроводность изменяются от ен Л, на одной поверхности диэлектрика до е„Л2 на другой его поверхности. Если такой конденсатор (с утечкой) включить в цепь с некоторой ЭДС, то по нему потечет постоянный ток Е Обозначив площадь пластин конденсатора Е, для плотности тока получаем ЦЕ = / = ЛЕ. Найдем суммарный свободный заряд д, который возникнет в диэлектрике (на границах) и плотность которого р„определяется из (3.6) через дивергенцию электрической индукции Очевидно, что все внугренние слои дают нулевой вклад и результат определяют крайние. Используя (3.8), получаем (М 4.23) 5(Рг — Р~) Ю(с~Е, — е,Е,) з1(ег/Лг — е,/Л,) 1(ег/Лг — е1/Л,) 4л ' 4л 4л 4л Если электрическое поле направлено от стороны 1 к стороне 2 и ег с! — ) —, Лг то заряд положительный. Если задан не ток, а разность потенциалов на пластинах (обкладках) У, то в случае двух слоев диэлектрика толщиной Ь, и Ьг (М 4.25) плотность заряда на границе диэлектриков получаем следуюшим образом: Е,Ь, + ЕЬ = У; /= Л,Е, = Л,Е„ Откуда Л,У л,у ! и Ег= Мг+ эЛ1 Мг+Ю и, так как 0 — 1), = е Е, — е,Е, = 4ло, то (егЛ~ — е|Лг ) У о= 4л(а~Лг + ЬгЛ~ ) Рассмотрим цилиндрический конденсатор с радиусами обкладок Е, и Яг, заполненный слабо проводящей средой (е = ), Л = л/»г, где л — некоторая постоянная), на который подано напряжение И Найдем распределение поля и плотности заряда (р) в конденсаторе и его емкость (М 4.24).
Из постоянства тока через единицу длины конденсатора 1 = 2л»1 = 2л»ЛЕ = „= сопй 2л»lсЕ » следует линейная зависимость напряженности поля от радиуса Е = Ак Для определения постоянной А вычислим разность потенциалов на обкладках конденсатора А(л, — Я~) У= )' ЕЫ.= 2 134 Откуда Следовательно, 2К Яз — Я, 1 2гг дг г' Из (3.6) и (1.21) при е = 1 имеем йу Х) (!/г) д(гЕ,)/дг Р 4а 4п я~дз д1) Плотность заряда постоянна. Величина заряда на единицу длины на внутренней обкладке д определяем из уравнения Е 24 2!'Я! дг 2 2' Для определения емкости на единицу длины к этому заряду надо добавить распределенный заряд в диэлектрике 0 рл(Е2 Е1) Отсюда емкость С= ч 0 д2 Г д1 д1 Найдем, по какому закону должна меняться проводимость в таком конденсаторе, чтобы напряженность электрического поля была постоянна. Из постоянства тока в конденсаторе имеем 1= 2яг!' = 2ягЛЕ.
Отсюда (М 4.28) 2 1 Л= — --. 2яЕг г В случае сферического конденсатора (радиусы Я! и Я ), заполненного диэлектриком с удельной проводимостью Л, из постоянства тока ( = 4яг9 для напряженности электрического поля имеем 2 I Е = — = —. Л 4ягзЛ 135 Для разности потенциалов получаем Проводимость изоляции ()Ча 4.26) Можно было бы воспользоваться (4.21) и (3.55). Найдем, как должна меняться проводимость Л(г) в диэлектрике, находящемся в сферическом конденсаторе, чтобы при прохождении тока была постоянной во всех точках объемная плотность джоулевых потерь (Хз 4.27): Ф = —.
у Л Постоянство тока дает 1~ = (4яг9)-' = (4яг~)~ЛХ. Откуда следует, что должно быть 1 4 ' Г Изменение проводимости на участке проводника приводит при постоянной плотности тока к изменению напряженности электрического поля и плотности зарядов проводимости. Найдем изменение объемной плотности зарядов проводимости в цилиндрическом проводнике, по которому течет ток плотностью 7', на участке, где удельная проводимость меняется по линейному закону (М 4.29) Л = Л, «-(Л вЂ” Л~)-. 1 Используя теорему Гаусса (1.19) и закон Ома (4.7) в дифференциальном виде, получаем /(Л~ — Л~) 0Е~йх Р— 4я/~Л~ +(Л~ — Л~)х/!) При постоянном Л объемная плотность зарядов р в проводнике, по которому течет ток, равна нулю. $36 Если в вакууме находятся и идеально проводящих тел с зарядами дп д,, д„..., у„и соответственно потенциалами ~рп ~р, ~р„..., <р„, то поле между телами определяется уравнением Лапласа, следующим из уравнения Пуассона (2.11) при р = О.
При заполнении пространства между телами однородной жидкостью с диэлектрической проницаемостью е и слабой проводимостью 2. и поддержании потенциалов тел при прежних значениях электрическое поле между ними не изменится. Найдем, какое количество теплоты будет вьщеляться ежесекундно в этой жидкости (№ 4.30). Для каждого тела выделяющаяся теплота определяется током с его поверхности где 1„— плотность тока по нормали к поверхности тела и разностью потенциалов на теле и на бесконечности (0). Используя теорему Гаусса (3.7), для заряда на каждом теле имеем ф ~л "5 ф Ел'(~ ф)и'~~ 4л 4л 4тй Количество ежесекундно выделяющейся теплоты 4~й 0 = Х1к%~ = —,ХЧ~Ч~.
'Гок может создаваться механическим переносом заряда, например на диэлектрической ленте. С помощь такой ленты заряжается высоковольтный сферический электрод (радиусом Х) в генераторе Ваи-де-Граафа, изображенном на рис. 4.17. Найдем максимальный + + потенциал и ток, которые можно получить от такого генератора, если скорость движения ленты и, ширина 1, а пробой в атмосфере газа, в котором находятся лента и высоковольтный электрод, возникает при напряженности электрического поля Е„„(№ 4.21).
Максимальная плотность поверхностного заряда на ленте определяется пробоем Епг о = —. 2л Поэтому максимальный ток Е„лЬ 1 = о(о = 2л Рве. 4.17 Максимальный потенциал на сфере ~р= — = ЯЕ 4 Я Атомный электрический элемент представляет собой две концентрические проводящие сферы. Внутренняя сфера сделана из радиоактивного материала, испускающего быстрые электроны. В пространстве между сферами скорость электронов и, следовательно, их ионизируюшее действие можно считать постоянным.
Пролетев воздушный зазор, электроны поглощаются на внешней сфере. В отключенной батарее устанавливается равновесие между потоком заряда, переносимым быстрыми электронами, и током проводимости в ионизированном воздухе. Найдем напряженность электрического поля Е в пространстве между сферами, если ЭДС элемента равна сз радиусы сфер равны Я, и Я, (Х~ 4.22). Так как проводимость Х ионизированного газа пропорцйональна концентрации ионов, которая пропорциональна потоку быстрых электронов, при равновесии равному току проводимости, то из закона Ома (1„, = ХЕ) следует постоянство напряженности электрического поля 8 Е= Яг Постоянное поле в сферическом конденсаторе свидетельствует о наличии пространственного заряда.
Если в пространстве между пластинами плоского конденсатора, заполненного газом и подсоединенного к батарее, образуется пара ионов с зарядами +е, то возникающее движение этих ионов приводит к протеканию заряда (току) в цепи. Найдем этот ток (М 4.37). Предполагаем постоянной подвижность ионов, т. е. их скорости е, и и,. Обозначим расстояние между пластинами (. Тогда, если один проходит путь до соответствующей пластины х, то другой ион проходит до другой пластины пугь ( — х.
У одного на это уходит время х ! ) Р~ а у другого пусть большее время ! — х гг = ~2 Ток через конденсатор определяется (4.1), числом зарядов на единицу длины, умноженным на скорость движения. Учитывая, что 138 движение заряда отрицательного знака в отрицательном направлении дает ток в положительном направлении, получаем, пока двигаются оба иона (О < г < г,), ток е 1=1, = — (и,+иг), а затем при г, < г < г е г = гг =-"г. Х Таким образом, ток меняется скачком в момент прихода на пластину одного иона.
Простые правила вычисления суммарного сопротивления системы при последовательном Я = ~~~ Яг и параллельном соединени- (! 1'! ях — = ~ — иногда бывает трудно применить. В таких случаях ! л,. я,.! надо искать некоторую симметрию, возможность где-то систему разомкнуть. Рассмотрим такой пример. Фигура, изображенная на рис. 4.18, сделана из проволоки постоянного сечения. Число вписанных друг в друга правильных треугольников очень велико.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
