Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 23
Текст из файла (страница 23)
поток через весь контур увеличивается в )У раз и превращается в так называемый зацепленный поток Ч' = Ф)х', находим самоиндукцию соленоида точно тонкой металлической трубки диаметром 25, переходит на дно трубки, к центру которой припаяна проволока, и возврагдается обратно по ее поверхности (М 5.28). Пренебрегая краевыми эффектами для магнитного поля внутри трубки, из (5.2) получаем 21 Н = — —. с г Внутри провода из (5.7) г' са На единицу длины трубки и провода получаем — = — [! — ! — ]= — [1+21 [ — ]]. Используя (5.28), находим — = 1 + 2!и( — ).
Для единицы длины системы из двух параллельных одинаковых проводов, по которым одинаковые токи текут в противоположных направлениях (рис. 5.23), учитывая магнитное поле только вне проводов, из (5.2) и (5.27) получаем (Хи 5.29) Л-и Ф=2!! — '-и1 — ~ ~ — ]; с г с Л а и — и41п — . 2а Рве. 5.23 Рве. 5.22 166 Если имеются два замкнутых контура 1., и 1.: первый с током 1„ а второй с током 1, то первый создает поток магнитного поля через второй Фп, а второй через первый Ф и Используя теорему Стокса, получаем Ф!г = ) 11!„г% = у А!!!11з = ф А!!г !з,' ! ~Я !! Фп = )' 11ыг1Б~ = фА!!!!!1г = !уАг!!!!!.
ю! т! Переходя в (5.20) к току (1 = 1:Б), находим с ' г' ! с г' Интегрирование проводится по обоим контурам 1.! и Ц, причем каждый элемент длиной Ж! контура 1,! должен быть скалярно умножен на элемент длиной с!(, контура 1„и полученное произведение разделено на расстояние между элементами г. Двойной интеграл, входящий в формулы для Ф„и Фго носит название коэффициента взаимной индукции контуров 1,! и 1,„обозначается 1,!, и 1,„, а из их выражения следует теорема взаимности (5.30) Если на один сердечник намотаны две катушки с индуктивностями 1,! и Е, и известно, что рассеяния магнитного поля нет, то можно найти их взаимную индукцию М ()!(т 5.30). Обозначим число витков в катушках 1т! и !У, магнитный поток, который не рассеивается, и поэтому одинаковый для обеих катушек Ф, сцепленный поток первой катушки Ч', = ФУ„сцепленный поток от первой катушки через вторую Ч'„= Ф!т,, сцепленный поток второй катушки Ч', = Ф!у, и сцепленный поток от второй катушки через первую Ч', = Ф)т!.
При токе 1только в первой катушке имеем «! ч2! Ф = — = —. ~! ~2 Надо иметь в виду, что формула (5.28) была написана для одного витка. Если поток пронизывает й! витков, то вместо Ф надо брать Ч' = Ф1!! (5.31) !67 В данном случае П.! Пз! Ч', = — и Ч'„= —. с с Отсюда, используя полученные ранее соотношения при сохранении потока, имеем 1.! Л', Л'г При токе / только через вторую катушку получаем Чз Ч!з Ф === —. Л'2 Л'! Используя (5.31), находим Л! 112 Л!~ Ез Из двух соотношений числа витков следует М = (Е!Ц)ц~. Найдем магнитный поток, который посылает поле маленькой плоской катушечки плошадью Ю с числом витков Л~„, по обмотке которой течет ток 1„, через обмотку соленоида длиной ! с числом витков Л!в (Хв 5.31).
Используя (5.23) для зацепленного потока магнитного поля от соленоида, по которому течет ток 1,, через катушечку получаем ~в ~~с Ч' = Лг Ю4яЛ~ — '= — '. к к сс) с Используя теорему взаимности (5.28), находим для зацепленного магнитного потока через соленоид Ч', = М вЂ”" = 4яЛг„5Л!, — ". У„ 1„ Поле намагниченного стержня и витка с током на больших по сравнению с их размерами расстояниях описывается полем диполя с магнитным моментом (5.5) вит вит У 5 с Используя это, найдем магнитный поток, пронизывающий длинный соленоид с плотностью намотки п и радиусом Я, от намагни- !68 ченного стержня, находящегося на его оси вдали от концов и имеющего магнитный момент р, направленный по оси соленоида (М 5.34). Обозначая коэффициент взаимной индукции М, который по теореме взаимности (5.30) одинаков для витка и соленоида, получаем для магнитного потока через виток Ч',и, = — М1, = Н,Б,„, = 4пп1, — '"' .
! иит Откула М = 4пп5,„,. Поэтому 1вит 1,„, Ч', = М вЂ” '"' = 4плЮ,„,— '"' = 4плр. Вычислим коэффициент взаимной индукции М между катушкой, намотанной на тор прямоугольного сечения, и бесконечным прямолинейным проводом, идущим по оси тора. Длина стороны поперечного сечения тора, параллельного проводу, — а, перпендикулярной к ней — Ь, радиус внутренней поверхности тора Я, число витков катушки Н ()Че 5.33). Используя (5.2), получаем для зацепленного магнитного потока от провода через тор Ч' = ) — Фааг = — 21аФ!п 21 1 Я+Ь сг с Я Отсюда в соответствии с (5.31) М = 2аФ!п(1+ — ] = 2аФ вЂ”. Ь! Ь я! я На рис. 5.24 показана система: внутри катушки-соленоида длиной 1, площадью сечения Ю и плотностью намотки и расположена небольшая катушка с площадью витков о и полным числом витков Ф. Обе ка- З,л,! тушки соединены последовательно.
Найдем, как изменяется индуктив- Н ность Е такой системы в зависимости от угла 0 между осями катушек, если индуктивность меньшей катушки равна 1., ()Ч9 5.36). В соответствии с (5.29) индуктивность большей катушки Е, = 4плзЯ Используя теорему I взаимности (5.30), при заданном по- Рис. 5.24 169 следовательном соединении катушек имеем !. = 1, + !., + 2М. Взаимную индуктивность М находим, вычисляя зацепленный поток через меньшую катушку: Ч' = — = Но — )созΠ— !ло!Ч созО. гМ !У 4я с ! с Отсюда М = 4яол)Усох О. В результате Е = 2ч + 4ял~Б+ ОпопМсоз О. Аналогичным методом можно вычислить индукгивность системы, когда внутри длинной катушки-соленоида индуктивностью 2,, расположен соосно другой соленоид меньших размеров с тем же числом витков, все линейные размеры которого в б раз меньше линейных размеров большого соленоида (подобные катушки) (М 5.37).
Так как число витков одинаково, получаем из (5.29), что индуктивность меньшей катушки Для нахождения взаимной индукции записываем зацепленный поток через меньшую катушку !М Ю Ч' = — = НХ вЂ”. с ф Откуда, используя (5.29), В результате индуктивность системы 2 На основе опытов фарадея и правила Ленца, следуя Максвеллу, можно сформулировать закон электромагнитной индукции: изменение магнитного поля во времени возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле. В неподвижном замкнутом конту- 170 ре возникает циркуляция напряженности электрического поля Е, определяемая изменением магнитного потока Ф, пронизывающе- го этот контур: (5.32) фЕЛ = -- —, сдк' где Ф вЂ” поток вектора магнитной индукции, Ф = ф ВЫЯ. О магнитной индукции будет подробно сказано в следующем разделе, сейчас лишь заметим, что в отсутствие магнетиков В = Н (вектору напряженности магнитного поля).
6. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ. ВЕКТОРЫ В И Н. ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ В ВЕЩЕСТВЕ. СВЕРХПРОВОДНИК В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Вещества могут обладать магнетизмом, который возникает благодаря орбитальному движению электронов вокруг атомных ядер, собственному вращению (спину электрона), собственному вращению ядер (спину атомного ядра). При беспорядочном тепловом движении в отсутствие магнитного поля атомы вещества обычно ориентированы хаотически и возбуждаемые ими магнитные поля компенсируют друг друга.
Под воздействием магнитного поля некоторые вещества (например, железо, никель, кобальт) могут сильно намагничиваться. Они называются ферромагиетиками. Другие, например платина, вольфрам, алюминий, намагничиваются, но слабо. Они называются парамагиетиками. Среди слабо намагничивающихся веществ есть такие (например, висмут, золото, серебро), которые приобретают намагниченность, противоположную прикладываемому полю, и называются диамагнетиками. Замечательной особенностью ферромагнетнков является то, что при снятии внешнего магнитного поля они не размагничиваются полностью. Остается постоянное (остаточное) намагничивание.
Здесь проявляется нелинейная зависимость намагниченности от напряженности магнитного поля и гистерезис— зависимость намагничивания от истории изменения магнитного поля. Орбитальные и спиновые вращения электронов и спиновые вращения атомных ядер можно рассматривать как молекулярные токи, создающие магнитные поля. Таким образом макроскопнческое магнитное поле В возбуждается как обычными токами проводимости (плотностью 7), так и токами намагничивания (плотностью 7'„), позволяющими описать вклад усредненных молекулярных токов. Заметим, что токи намагничивания не испытывают сопротивления и не приводят к джоулевым потерям на теплоту.
Отсутствие магнитных зарядов приводит к замкнутости силовых линий магнитного поля. Применение аналога теоремы Гаусса дает (6.1) 172 В дифференциальной форме йчВ = О. (6.2) Теорему о циркуляции (5.6) и (5.15) надо дополнить включением токов намагничивания 1 ~ВЛ = — (1+1 ). с (6.3) В дифференциальной форме го1 — — (1+1 ), (гогВ =1+3 ). (6.4) Намагниченность среды принято характеризовать вектором намагничивания М. Это средний магнитный момент единицы объема магнетика, создаваемый молекулярными токами. Если рассмотреть магнетик цилиндрической формы, магнитный момент которого направлен вдоль оси цилиндра, и обозначить средний магнитный момент молекулы р, а число молекул в единице объемом л, то средний магнитный момент единицы объема М = пр.
Молекулярные токи соседних молекул в местах их соприкосновения текут в противоположных направлениях и взаимно компенсируют друг друга. Некомпенсированными остаются только молекулярные токи, выходящие на наружную боковую поверхность цилиндра и дающие ток 1„. Для цилиндра, имеющего объем У, высоту 1и плошадь основания о (У= !Ю), магнитнь|й момент 1 = сМ; (1 = М). (6.5) Если вектор М не направлен по оси цилиндра, то поверхностный ток (6.5) определяется только проекцией М на ось цилиндра. Поверхностный ток создает поле, которое можно найти по формуле для соленоида (5.23) и следует добавить к полю, вызвавшему намагниченность: В=Н+4яМ; (В=Н+М). (6.6) Вектор В называется вектором магнитной индукции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
