Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 22
Текст из файла (страница 22)
5.16 !57 и магнитное поле Н = 4я1/с. Если тонкостенная длинная дюралевая трубка заряжаетея электрически и приводится в быстрое вращение относительно оси симметрии, то возникают магнитные поля. Максимальная скорость вращения трубки !о обусловлена механической прочностью дюраля а„„. На рис. 5.16 показана максимальная центробежная сила Ряс. 5.17 Для наибольшего отношения магнитного поля внутри трубки к электрическому полю на ее внешней поверхности по- (%) лучаем (№ 5.16). с Для вращающегося заряженного шарика магнитное поле вдали от него представляет поле магнитного диполя.
Найдем величину магнитного диполя при равномерном распределении заряда д по поверхности шарика радиусом Я. Плотность заряда на поверхности я о= —,. 433Л~ На колечке радиусом Я 8!и 4р (рис. 5.17) имеется заряд аЯ424р2яЯ со84р. Этот заряд проходит за время поворота Т= 2я/е3. Отсюда получаем ток и, в соответствии с (5.5), магнитный момент г/р = -ое3лЯ соз 4р414р. 4 3 с Интегрируя по углам, находим магнитный момент, направленНЫй ПО С3, и!2 р =-оа3лЯ 2~ соз <раз!п4р =-дЯ вЂ”.
4 2 . ! 203 с с 3 В случае равномерного распределения заряда по объему шара для плотности заряда имеем Зд Р= 4лЯ~ Заряд в кольце высотой 2Я яп 4р, шириной Я4!!р яп 13 и радиусом Я сов 4р равен р2Я яп 43 Я4ар яп4р 2яЯ сов 4р. Этот заряд проходит за время поворота Т = 2я/а3. Отсюда получаем ток и, в соответствии с (5.5), магнитный момент 4> = -2ре3пЯ соз 4р 8!и 4р4(4р. 1 5 3 2 с Интегрируя по углам, находим магнитный момент, направленНЫй ПО Е3, ю22 р =-разяЯ 2 ~ соз 4рз!и 4рдз!п4р = — 4!Я вЂ”.
1 ~ г 2 . ! 243 4' о с 5 158 Используя полученные магнитные моменты с помощью (1.9), находим магнитное поле (№ 5.17). Согласно современным данным, допустимое из опытов различие абсолютных величин зарядов электрона е7, и протона е7 таково, что ! Ь» -се < 10 и Др Таким образом, каждый атом с номером У может иметь заряд Яхд,, где Чр -Че х= '7 Считая, что для атомов, составляющих Землю, отношение относительной атомной массы А к атомному номеру Упорядка 2, а плотность Земли р = 5 г/смг, оценим, не может ли наличие заряда и вращение Земли создать существующее магнитное поле Земли В = 3 10-' Тл (№ 5.20).
Так как масса атома равна массе нуклона (протона или нейтрона) лг„, умноженного на А, то отношение полного заряда Земли е7 к ее массе М равно е1» т„А Используя полученное в предыдущей задаче соотношение для магнитного момента Земли, находим Уегр Я р = х — — 4яр㻠—.
А т„15с Если бы Земля обладала таким дипольным магнитным моментом, то из (1.9) для максимального значения на полюсе получим В= — Р, э а затем вычисляем х= — — "15сВ г =2,6 10 '~. У ~ур 1бя~рл~ Эта величина намного больше возможной, поэтому магнитное поле Земли не может быть создано из-за разности зарядов. 159 Найдем магнитный момент квадратной рамки со стороной а, равномерно заряженной с линейной плотностью р, вращающейся с угловой скоростью оз вокруг одной из сторон (№ 5.18). Сторона, параллельная угловой скорости, дает момент в ее направлении сз г 3 т, = — ра — яа = рез —.
с 2а 2с Каждая из радиальных сторон дает 1( ы з 1 а Я з т = — (р~1х — ях = — рсз —. с' 2я с 6 В сумме получаем 15 з т = — — реза . сб Для вращающегося с угловой скоростью ез равномерно заряженного (полный заряд Д) диска радиусом Я (рис. 5.18) магнитный момент находим (№ 5.19) интегрированием, используя (5.5): я 2 оаз 12(яг хз)дз Й с2" о где 0 о= —. яд С помощью таблицы интегралов, либо вводя обозначение х = Я з)п у, получаем мйг и 8с Вектор-потенциал магнитного поля можно получить из закона Биб — Савара — Лапласа (№ 12.1). Используя связь 1= /Ю, из (5.1) получаем 1[)дыг) 1(. 1 и с сз с сз ' Рае. 5.18 Интегрируя, находим Н = -1 11г) —,.
1 . аГ г (5.16) Входящий в (5.16) радиус-вектор г имеет начальную точку, где находится элемент тока с плотностью), называемую истоком, и конечную точку, где вычисляют величину магнитного поля, называемую точкой наблюдения. Найдем градиент численной величины радиуса-вектора г. Можно при вычислении градиента оставлять неподвижной точку истока. В таком случае наибольшее возрастание производной происходит в направлении радиуса-вектора (изменение расстояния равно изменению длины вектора) (5.17) 8гас$, г = г/к При перемещении истока (5.18) 8гад„г = — г/». Так как для произвольной функции/(г) йгаб„/'(г) = бган.
г, а/(.) то 1 1 г 8гад„— = — — бган„г = — —. г г (5.19) го! (/а) = /'го1 а + [8гад/а!. Подставляя в это соотношение/'= 1/г и а =1 и при дифференцировании считая неподвижной точку истока вектора г, получаем 111 . 1 го!, 1-1 = [8гаг)„г11 + - го!, 1. Так как значение вектора! в элементе д)'(точка истока) не зави- сит от перемещения точки наблюдения, в которой вычисляется поле, то го!,1 = О. Следовательно, Далее можно воспользоваться формулой, в справедливости которой можно убедиться просто вычислением, Внося это в уравнение (5.16), находим Н = — ) гог„(!)Ы)'. Так как дифференцирование (образование ротора) проводится по координатам точки наблюдения, а интегрирование — по объему проводников, обтекаемых током, то возможно изменение последовательности этих операций Вводя обозначение величины, называемой векторным потенциалом магнитного поля, А=-!( —; (А= — !1 — ), (5.20) получаем Н = го! А; (Н = го! А).
(5.21) А(х5!Пср = Я вЂ”, ге 5!П ф г)Н = — — 5!и <р; ПН = ! — г)х; ~г! 2я з с Я ! В результате Н = — — ) 5!п~рАЯр. 2я! Ф с ! Откуда Н = — — (сов!3 — соаа). 2я! М с ! (5.22) Для точек внутри достаточно длинного соленоида, чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами В = О, а = я: (5.23) 162 Найдем поле на оси соленоида (катушки) как сумму полей от набора витков (Ма 5.5). На рис. 5.!9 показано сечение соленоида и даны его размеры. Обозначая общее число витков Фи силу тока ! и пользуясь (5.3), получаем поле в точке А от элемента соленоида Нх Рис.
5.20 Рис. 5.19 Поле не зависит от расстояния от оси соленоида и направлено в соответствии с (5.1). На краю достаточно длинного соленоида 15 = О, а = л/2 поле на оси соленоида (5.24) Если на тонкий латунный прут, свернутый в кольцо, намотано равномерно У = 104 витков провода, по которому идет ток 1, то магнитное поле есть на оси прута и в центре кольца. Так как ток вдоль кольца равен 1, то поле в центре кольца радиусом Я (5.4) Н=™. сЯ Поле на оси прута (5.21) 4лУФ 2лсЯ Отсюда можно найти их отношение Ж/л (№ 5.22).
На рис. 5.20 показаны силовые линии магнитного поля соленоида. Найдем, на каком расстоянии Ь от соленоида длиной 1с числом витков Ф пройдет силовая линия (а), если в его середине она проходит на расстоянии в а раз меньшем его радиуса (№ 5.39). Считаем, что на больших расстояниях поле определяется магнитным моментом соленоида (5.5) 1ФлЯ~ Р= с в соответствии с (1.8) Н= Р. с 163 Из отсутствия магнитных зарядов (замкнутости силовых линий) и, следовательно, сохранения магнитного потока, пользуясь (5.23), имеем 4лl Ф (А1 7 — — п~ — ~ = ) Н2птй. с 7 (а7 Подставляя и интегрируя, получаем а ! Ь = —. 2 В следующем разделе будет введено понятие вектора магнитной индукции В, который подобно вектору напряженности электрического поля Е является силовым вектором, определяющим пондеромоторные силы.
Здесь ограничимся лишь указанием, что в отсутствие магнетиков вектор магнитной индукции равен вектору напряженности магнитного поля (5.25) В = Н; (В = цоН). Здесь магнитная постоянная (5.26) цо = 4п 10 7 = 1 25663706144 10 о Гн м '. Поэтому при отсутствии магиетиков поток вектора магнитной индукции 1~ = /л~Я = ~1л ~Б). Приведем пример вычисления потока магнитного поля (М 5.32). Найдем поток напряженности магнитного поля, создаваемого квадратной рамкой со стороной а, по которой течет ток 1, через полуплоскость, граница которой расположена на расстоянии Ь от одной из сторон рамки (рис.
5.21). Рамка лежит на полуплоскости, граница которой начинается от заштрихованной части. Очевидно, что сумма потоков магнитного поля от сторон рамки, перпендикулярных границе полуплоскости, равна нулю. Чтобы вычислить потоки от сторон рамки, параллельных границе полуплоскости, воспользуемся тем, что поток Рис.
5.21 от единичного отрезка стороны рамки через 1б4 все единичные площадки, лежащие на линиях, параллельных гра- нице полуплоскости, равен потоку от провода бесконечной длины через единичную плошадку на этой линии, который вычисляется по (5.2). В соответствии с (5.1) поток равен интегралу Ф = и') с1хйу1 —,. -ЬО сг Введенные координаты показаны на рис. 5.21. Можно поменять местами Н и с(у и воспользоваться (5.2). Отсчитывая расстояние х от стороны рамки, получаем, что интегрировать надо для ближней к границе стороны рамки от Ь до °, а для дальней стороны от а + Ь до, так как ближайшие к сторонам части дают интегралы с разными знаками (т. е.
нуль). Интегралы надо увеличить в а раз, так как результаты были для единичного элемента стороны. Учитывая, что от ближней и дальней от границы полуплоскости сторон потоки имеют разные знаки, получаем 21а("с1х " Нх ) 21а Нх 21а 1 а 5 Ф = — / — — ) — = — / — = — 1и ~1+ — ~. с („х „х! с х с ~, Ь1 а+Ь Для замкнутого провода, по которому течет ток 1, можно вычислить, используя (5.27) и (5.1), поток Ф вектора напряженности магнитного поля Н через замкнутый контур площади Я Ф = — 1.1; (Ф = Е1). с (5.28) 1 = 4яФ' — 1 1, = )гс)Ч' — .
(5.29) Найдем индуктивность 1. проводника, показанного на рис. 5.22. Ток течет по проволоке диаметром 2а, расположенной по оси доста- 1б5 Здесь, как н в (5.1), используется множитель (1/с), а другой множитель (Е), определяемый только геометрией системы (размерами и конфигурацией провода) и не зависящий от силы тока, называется нндуктнвностьв, а также коэффициентом самоиндукцнн провода, или самоиндукцией. Воспользовавшись полученной для длинного соленоида (длину обозначим 1) зависимостью (5.23) и учитывая, что площадь витков равна Я и число их Ф, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
