Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(3.9) Приведем формулы для полей н потенциалов в изотропном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью е. Для поля точечного (и сферически симметричного) заряда из (3.7) и (3.8) вместо (1.1), (1.2) и (2.4) получаем обобщенный закон Кулона Е= з ср= —; Е=,, ~р= — .
(3.10) ог ог ~ 4пооег 4пооег Для потенциала точечного диполя вместо (2.14) (3.11) Дифференцируя, в соответствии с (2.8), можем найти напряженность поля (Е = — бган ор). Для потенциала поля от равномерно заряженного по обаему (с плотностью р) шара радиусом а из (3.10) и (2.15) получаем: вне шара 4 про~ 3 ог (3.12) внутри шара За р = 2пр Зо 66 Потенциал сферы радиусом а, равномерно заряженной по поверхности зарядом д: вне сферы Ю= —; Ч. ег' (3.
13) внутри сферы Ф = —. еа Для равномерно заряженной (плотность заряда р) пластины толщиной 2а в зависимости от расстояния от средней плоскости ж внутри пластины х +а г р=2 а +ее; (3. 14) вне пластины ИХ ~р = -4лр — + <р, при х > а; 6 ИХ р= 4лр — +до при х <а, е где д — значение потенциала на средней плоскости.
Для бесконечного равномерно заряженного по объему цилиндра (плотность заряда р) радиусом а в зависимости от расстояния от оси цилиндра г ~р = — (а — г )+ <ро при г <а; лР( г 2) Е (3.15) д = -2 — а 1и ~ — ) + щ при г > а, лР г (г1 1а( где р — значение потенциала на оси цилиндра. Для бесконечной цилиндрической оболочки, равномерно заряженной с поверхностной плотностью о, в зависимости от расстояния до оси оболочки д= де при г < а; (3.16) ло !г1 д = -2 — а 1и ~ — ~+ ро при г > а, е 1а! где д — значение потенциала на оболочке. 5' (3.17) В электростатике было получено, что циркуляция электрического поля равна нулю (2.7): ф Ел! = ф Е,лу = О.
(3.18) Рассмотрим однородный изотропный диэлектрик с проницаемостью е, на плоской границе которого с вакуумом напряженность электрического поля в вакууме равна Ео и вектор Е составляет угол 0 с нормалью к поверхности диэлектрика (рис. 3.2). Считая поле внутри и вне диэлектрика однородным, найдем: 1) поток Фг вектора Е через сферу радиусом Я с центром на поверхности диэлектрика; 2) циркуляцию вектора 13 по прямоугольному контуру Г со сторонами длиной 1, и 1„плоскость которого перпендикулярна к поверхности диэлектрика и параллельна вектору Е, (№ 3.23). Из (3.18) касательная к поверхности диэлектрика компонента поля Е, яп 0 непрерывна на границе.
Вследствие симметрии входящий в сферу поток ее равен выходящему потоку. Нормальная компонента поля Е, сов 0 дает поток через поверхность сферы такой же, как через ее диаметральное сечение. Из (3.7) следует сохранение нормальной компоненты вектора электрической индукции Р =Е чеЕ =Есоз0. в Ол дп 0 Отсюда для нормальной компоненты напряженности электрического поля в диэлектрике имеем сох 0 Е,„= Ее —. Поэтому поток вектора напряженности электрического поля , е э,- Яа е(~--').
Касательная компонента вектора ин- дукции в вакууме равна касательной ком- Р с. з.г Введя обозначение 7, = д/е, можно для поля (3.10) повторить все выкладки, которые привели к формулам (2.20) — (2.24), и получить обобщение теоремы о среднем (2.26) — потенциал проводящего шара радиусом г, находящегося в поле заряда (на расстоянии Е) в диэлектрической среде с диэлектрической проницаемостью е (№ 3.37): поненте напряженности поля Е0з!и О.
В диэлектрике Р, = еЕ0з!и О. Поэтому циркуляция вектора электрической индукции (по контуру Г из 1, и 1 ) равна ~ Рл! = 1, Е0 з!и б(1 — е). г Если в центре диэлектрического шара радиусом Я с диэлектрической проницаемостью е, помещен точечиый заряд д и шар окружен бесконечным диэлектриком с проницаемостью е, то на границе диэлектриков появляются поляризационные заряды. Найдем их плотность (Мо 3.22). Из (3.7) следует непрерывность Р на границе.
Из (3.8) Е! г ! Ег = е,Я еЯ' Из (1.12) 4яо = Ез — Ег Откуда аЕ 4 !! 1! о= — = — — —— 4л 4яЯ ~ е~ е~) Из (3.7) и (3.18) следует, что в плоских щелях (воздушных или вакуумных, для которых диэлектрическая постоянная е = 1) напряженность электрического поля Е связана с напряженностью электрического поля в диэлектрике (с диэлектрической проницаемостью е) Е„следующим образом: в щели, параллельной полю, Е = Е„ в щели, перпендикулярной полю, Е = еЕ,. Аналогичным образом связаны поля на границах диэлектрйка в конденсаторах, частично заполненных диэлектриком.
Например, если плоский конденсатор (две параллельные металлические пластины, имеющие противоположные заряды) частью опушен в диэлектрик так, что пластины перпендикулярны поверхности диэлектрика, то поле в диэлектрике равно полю в воздушной части конденсатора. Используя (3.7) и (3.18), получаем, что при отсутствии на границах между диэлектриками свободных зарядов, при переходе через границу сохраняются нормальные к границе компоненты Р и касательные к ней компоненты Е. На рис. 3.3 показано преломление силовой ливии поля на границе двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями е, и е,.
Учитывая, что Ряс. 3.3 69 получаем 1$~~ е сву2 ез (3. 19) 4 Е =-яр1, 3 где р! — дипольный момент единицы объема, т. е. ( — Р). Поэтому поле внутри шаров (при малом сдвиге это один как бы шар радиусом Я) Е,.= — — яР; Е,.= —— (3.20) Это поле за счет поляризации. Дополнительного внешнего поля, которое могло приводить к такой поляризации, нет. Дипольный момент поляризованного шара равен р = Р Р = — яЯ' Р. 3 (3.21) Вне шара поле является полем диполя (1.9) Е„=Р (Р) — —— (3.22) На границе шара с внешней стороны Е„, = 4я(Рп)в — — яР, 4 (3.23) где в — единичная нормаль к поверхности шара.
В точках поверх- ности на оси симметрии Егю 3 пР = -2Е,. На диаметре, перпендикулярном оси, Е„„= — — яР = Е,. 4 70 Для определения поля равномерно поляризованного шара воспользуемся формулой (1.14) для поля в равномерно заряженном (плотность заряда р) шаре и суперпозицией его поля с полем от такого же шара с отрицательным равномерным зарядом ( — р), сдвинутым на малое расстояние 1 относительно первого. Сложение полей в области пересечения определяется (1.24) и дает Е 3 о о+2 (3.25) Из (3.2) и (3.25) 3( 1) Ео 4я(о+ 2) ' Дипольный момент диэлектрического шара радиусом а (Р= 47а7'/3) во внешнем поле р = ГР = а' (е — 1) — '. а+2 (3.27) Введем координатную ось х, проходящую через центр шара (начало отсчета) параллельно внешнему полю Е,. При этом потенциал внешнего поля ~р = — Е х, а потенциал поляризованного шара определяется уравнениями (2.14) и (3.11), в последнем е = 1 для среды, окружающей шар (г > а), Рг ср, =у~ —, при г>а, г (3.28) где 4 з и,=- 3 71 Равномерная поляризация диэлектрического шара получается при помещении его во внешнее однородное электрическое поле (с напряженностью Е).
Убедимся, что в этом случае сумма внешнего поля и поля равномерно поляризованного шара. удовлетворяет условиям на бесконечно большом расстоянии и на границе шара. На бесконечно большом расстоянии суммарное поле Е = Е, + Е, переходит в Е, так как поле шара (3.22) стремится к нулю. На границе шара по разные стороны границы должны быть одинаковы касательные составляющие векторов Е и нормальные составляющие векторов 1).
Суммарное поле внутри шара Е = Е + Е,, вне шара Е = Е, + Е,. Как видно из (3.20) и (3.23), касательные составляющие поля на границе шарасовпадают. Вне шара)3 = Е + Е,. Внутри шара)3=Е + Е,.+4яР. Используя (3.20) и (3.23), находим, что на границе шара одинаковы нормальные составляющие вектора 1). Таким образом, поле внутри диэлектрического шара, находящегося во внешнем поле Е, Е= Е, — — кР. 3 (3.24) Используя (3.2) и (3.9), находим Внутри шара И=в 4 з 3 Поэтому при г < а 4 ор, = — яРг. 3 (3.29) Окончательно, для потенциала поляризованного шара во внешнем поле Е получаем Рг а 4з = — Е х+ 1' — =-Е х~! — (е — 1), г >а (3.30) о о з о 2) з 4 х у, = -Еох+ — яРг = -ЗЕо —, г < и.
3 о+2' (3. 31) Е„= Е+ яР = (а+2) —; ~Е„= Е+ — = (е+ 2) — ). (3,32) 4 Е ( Р Е1 3оо Оценим силу взаимодействия между нейтральным диэлектрическим шариком радиусом Я и точечным зарядом д, считая расстояние между ними Е большим, а диэлектрическую проницаемость шарика е, такой, что е — 1 «! (Хо 3.39). Предполагая, что при вычислении дипольного момента шарика поле, его создающее (от заряда), можно считать постоянным по величине и направлению, а при вычислении силы учитывать его изменение, из (3.27) и (1.11) находим (Š— 1) К ч и(Д/А ) 14) (к1 6 — 1 (о+2)гз сЧ. И (Сl о+2 При е — 1 к 1 получаем Е = — -(4) ~ — ) (о — 1).
72 Найдем напряженность поля Е„в сферической полости, вырезанной внутри равномерно поляризованного диэлектрика. Обозначим поле внутри диэлектрика, вызвавшее его поляризацию, Е. Если полость заполнить тем же диэлектриком, то к полю в полости добавится поле равномерно поляризованного шара (3.20). Их сумма должна равняться Е. Отсюда Сила взаимодействия между двумя шариками, один из которых заряжен и состоит из диэлектрика, а другой металлический и не заряжен, определяется (1.26) и (1.11) ()Ча 3.41).
Дипольный момент металлического шарика за счет заряда (д) диэлектрического шарика в соответствии с (1.26) бу- !А х з Е„( ) усов 0~С вЂ” 2ло 4л 4л Откуда распределение плотности связанных зарядов (е -1)дсоз' 0 о= 2л2А(е+ 1) (3.33) Приведем соотношение между параметрами, использованными здесь и на рис. 3.4: х 2 Гао Нх 2 Г,Г0 соз 0 гз = 2з+хг Вычислим полный связанный заряд на поверхности диэлектрика Ц = ) а 2лхсх = ( Я+1 (3.34) Для силы притяжения получаем со50 0 (е — 1) Г = ~да2лхс(х — = г~ 4ГА(а+1)' (3.35) 73 дет уменьшаться с расстоянием между Рве. 3.4 ними (г), как 1/г~. Используя (1.11), находим, что Г- 1/г'. Действие возникающего дипольного момента шарика из диэлектрика дает несущественную добавку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
