Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Так как заряженная сфера при отсутствии заземления на крайних сферах создает на них потенциалы, отличные от нуля, то при заземлении появятся заряды, которые обозначим на внутренней сфере Дн а на внешней (;,. Используя суперпозицию (сложение потенциалов) и то, что для заряженной сферы (радиус Я, заряд Д) внутри потенциал посто- л~ л~ лэ Рис.
2.13 42 янен и равен 0/Я, а снаружи падает как 0/г, получаем из условия заземления: на внутренней сфере О= — + — + —; Й 0 02, Яз на внешней сфере О= — + — + —. 03 0 02 Яз Яз Яз Отсюда находим 0 0 1 Я3/Я2 1 Я 3/Я! 02 а О!' Наведенные заряды отрицательные. Напряженности поля: если 0<г< Я, и Я3<г< Е=О, Е =-0 113/Я2 если Я, <г < Я„ '(1 — Я,/Я,) ' 1- Я1/Я2 Е=0, ', если Я,<г<Я,.
(1 — Я!/Я3 Й 02 03 431 = — + — +— г Я2 Я3 После соединения второй и третьей сфер у них будет одинаковый потенциал, поэтому напряженность поля между ними должна равняться нулю. Следовательно, на второй сфере находится заряд, противоположный заряду на первой сфере ( — 0,), а на третьей— заряд, равный сумме всех зарядов 0, + 0 + 0 . Суперпозиция дает 03 02 0~ 4 02 + 03 «Р2 = г Я, ' Я, 43 На трех концентрических тонких металлических сферах радиусами Я, < Я, < Я„находяшихся в вакууме, имеются соответственно заряды 0„0 и О,. Найдем изменение потенциала в некоторой точке между первой и второй сферами на расстоянии г от их центра в результате замыкания накоротко второй и третьей сфер (М 2.4). До соединения потенциал определяется суперпозицией от трех зарядов Изменение потенциала равно ~р2 Ю! (9 + 02)1 /.
йЗ "2~ На рис. 1.1О показано изменение напряженности поля в плоском слое с постоянной плотностью заряда. Если расстояние отсчитывать от одного края слоя толщины Ь, то для напряженности поля получаем Š— 4яр (х г) Если этот слой поместить между двумя тонкими металлическими пластинами (обкладками), образующими плоский конденсатор, в котором одна обкладка заземлена (нулевой потенциал), а вторая имеет потенциал до, то к напряженности поля добавляется постоянная напряженность ~р /Ь. Постоянство напряженности между металлическими пластинами следует из плоской картины и равномерного распределения зарядов на пластинах. Таким образом, напряженность поля в конденсаторе Е 4яр(х ") о Используя (2.6), получаем (М 2.5): (х) ( — о + 2ярл) х — 2ярх~ 1Ь Найдем, какой должна быть плотность объемного заряда (р) равномерно распределенного между пластинами плоского конденсатора (расстояние между пластинами Ь), которая получается, например, при распространении равномерного потока электронов внутри конденсатора параллельно пластинам, чтобы потенциал и напряженность поля на одной пластине были равны нулю, а на другой потенциал был равен ~р (М 2.6).
Из (2.11) для плоского случая имеем — = -4лр. а'р дх~ Дважды интегрируя, получаем <р = — 2ярхз + С,х+ С. Из условия при х = л имеем и = Чо =-2яал+ С,л+ С„ при х = О ср = О = Сз; Е = — — ~ = -4яр О+ С, = О. Откуда Чо Р = — —. 2лЬ ' Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора (внутренний радиус Я„внешний радиус Я !), между которыми находится заряд с постоянной объемной плотностью р, можно найти (№ 2.7), используя (2.12) для потенциала ! И(лйр/Иг) г дг Дважды интегрируя, получаем <р = С!п г+ С, — яргз.
Константы определяются, если задано, что при г = Я потенциал Ч! = ~р„а при г = Я ! потенциал д = О. Найдем поверхность нулевого потенциала для двух разноименных зарядов д и -фл (л > 1) (№ 2.19). На рис. 2.14 изображены заряды. Ось х, проходящая через них, является осью симметрии картины поля.
Ось у проводим через точку расположения меньшего по абсолютной величине заряда перпендикулярно х. Найдем линию пересечения плоскости (х, у) с поверхностью нулевого потенциала. Обозначая расстояния от зарядов до произвольной точки с нулевым потенциалом г, и г„находим !Р = О = Ф! + ч!з = — Ч ' ' Откуда следует, что г = лгг Из рис. 2.14 находим г' = х + у; г,' = (1 - «) +,у'. Отсюда л~(х~+ у~) = (1 — х)~ + у~. Окончательно «+ г +у = з ' (2'2О) Рие.
2.14 45 Это окружность радиусом и! я= —. и — ! (2.21) Центр ее находится на расстоянии от меньшего заряда (2.22) п — ! и на расстоянии от большего заряда (,=я+1= — =ля. л! л — 1 2 (2.23) Получаем полезное соотношение (2.24) '7 Г = -яг'. ( г г)' (2.25) Знак минус говорит о притяжении заряда к заземленному шару.
Напряженность поля в точке А равна 1+ г/Я (с+ я) а в точке В д 4 Я~2, (г + Я) (я+ яг/С) Для получения плотности зарядов в данных точках напрюкенности надо разделить на 4я (№ 2.42). Если в!ар не заземлен и заряд его ранен нулю, то можно воспользоваться суперпозицией полученного ранее поля и поля от заряда д/и, 46 Вычислим силу, действующую между заземленным металлическим шаром (потенциал равен нулю) и зарядом (д), расположенным от центра шара на расстоянии г',. Воспользуемся тем, что поле вокруг заряда будет таким же, как от этого заряда (д) и заряда-изображения ( — д/л), находящегося на расстоянии ! от заряда д (см.
рис. 2.14). Пользуясь законом Кулона (1.1), а также (2.24), (2.23) и (2.22), находим силу, действующую на заряд д (№ 2.20): расположенного в точке, соответствующей центру шара. Заряд в этой точке дает на сфере, соответствующей поверхности шара, постоян- ный потенциал, который получаем также, если этот заряд равно- мерно расположить на поверхности сферы: Д Ч= лЯ А' (2.26) Это важный результат, заключающийся в том, что незаряженный проводящий шар в поле заряда имеет потенциал, который создавался бы в точке, соответствующей центру шара, в его отсутствии (теорема о среднем). Внутри сферы сумма зарядов равна нулю. Сила, действующая на заряд д от зарядов внутри сферы, равна (№ 2.20) (2.27) Если на шаре еще имеется заряд — д (№ 2.40), то в выражении для силы появится еще член — дг/2,г и г г Если на шаре полный заряд Д, то сила равна д Я Д+дд/А А ( Лг/А) г Отсюда, чтобы сила взаимодействия была равна нулю (№ 2.41), заряд должен быть равен Яг, — (г.
— Я) Х (г г) Для вычисления работы по удалению заряда д на бесконечность (№ 2.21) надо проинтегрировать полученные выражения, учитывая, что внешняя сила имеет противоположный знак. В случае заземленного шара (2.25) В случае незаряженною шара (2.27) Аг= А +дгЯ / х ! гйэ г ~ г =2 г(г г) Если внутри незаряженной металлической оболочки (внутренний радиус г, внешний Я) в точке А на расстоянии ОА = Ь от ее центра находится сосредоточенный Рве. 2.15 заряд г/ (рис. 2.
!5) и требуется вычислить потенциал на внутренней поверхности оболочки, то надо иметь в виду, что на внутреннюю поверхность оболочки притягивается заряд, равный — д, но неравномерно распределенный, а на внешней поверхности оболочки заряд, равный г), распределяется равномерно с поверхностной плотностью Ь х а= 4яЯ так как поле в проводящей оболочке равно нулю и влияние внутренних зарядов отсутствует. Потенциал оболочки в сферически симметричном поле чг = г//Я.
Такой же и в точках В и С (№ 2.22). Поле внутри оболочки найдем, пользуясь методом электрических изображений. Найдем вначале, какой заряд Д и на каком расстоянии х от сферической поверхности, находящейся на месте внутренней поверхности оболочки (см. рис. 2.!5), надо поместить, чтобы потенциал на этой сфере был постоянен и равен нулю.
Можно воспользоваться приведенными ранее формулами, а можно записать соотношения для равенства потенциалов нулю в точках В и С вЂ” + — =О; — + =О. ч 0 . ч 0 г — Ь х ' г+Ь х+2г Отсюда г — Ь г х = г —; О = -д —. Ь ' Ь' Напряженность поля в точке В от двух зарядов равна д(! + Ь/г) Ев = (» — Ь) Напряженность поля от тех же зарядов в точке С Ч(! — Ь/г) (г 4 Ь) 48 Для получения распределения плотности зарядов надо эти величины разделить на 4п. Изменения потенциала на сферической поверхности на постоянную величину не изменяет картину поля внутри и распределение заряда по поверхности.
Если потенциал поверхности не нулевой, а <р = д /г, то потенциал, например, точки В равен чв ч (2 Фв= + + г г — Ь х Получаем то же самое уравнение, что и раньше: 4 12 яв — + — = ив — — = О. г — Ь х г Рассмотрим теперь тонкостенную металлическую изолированную сферу радиусом Я с зарядом на ней Ц и зарядом д внутри нее на расстоянии от центра, равном половине радиуса (рис. 2.16). Вне сферы поле сферически симметрично и по теореме Гаусса (1.12) определяется суммарным зарядом на сфере и внутри ее. На внешней поверхности сферы напряженность поля и плотность заряда равны (№ 2.30) (2+д, Е 12+4 Е= —; о= — = я' ' 4д 4дя~ Для обеспечения нулевого (и вообще постоянного) потенциала на сфере надо использовать заряд-изображение Д, = — щ на расстоянии 2, = пЯ от центра сферы (2.23) и (2.24). Если заряд д находится на середине радиуса, то л = 2, О, = — 2д и Е = 2К.
Поэтому сила, действующая на заряд д, равна я 8 у (ь — Я/2) 9 Я Поле на внутренней поверхности сферы в точке А равно ~+ в г 2д бц (яд)~ яв яв Заряд на сфере поля внугри не создает. Поле внутри металлической оболочки должно быть равно нулю. Это обеспечивается плотностью заряда в точке А, равной Е Зв 4д 2дяг Рис. 2.16 В точке В на внутренней поверхности поле равно 9 24 24 Е= (Я+ Я~2)з 3Яз 9 Я Плотность отрицательного заряда в точке В на внутренней поверхности Е д а = — = —. 4я 18яя~ Плотность на внешней поверхности в случае Д = — 2д (М 2.31) д — 24 о= — =- —.
4яЯ~ 4яЯК При заземлении сферы плотности зарядов на внутренней поверхности в точках А и В не изменяются, а на внешней поверхности плотность заряда должна быть равна нулю, так как потенциал такой же, как на бесконечности, и нет поля. Найдем потенциал у металлического шара радиусом Я с зарядом на нем О, когда точечный заряд д помещен иа расстоянии Е от центра шара (М 2.23). Пользуясь суперпозицией для потенциала в центре шара, можно написать Здесь суммируются потенциалы от зарядов ЬД,.
на поверхности шара. Потенциал металлического шара такой же, как в центре. Для нахождения потенциала сферической проводящей оболочки (или полого металлического шара) от собственного заряда Д и заряда 4, находящегося иа расстоянии 2, от центра оболочки, также можно использовать суперпозицию теоремы о среднем (2.26) и решение для постоянного заряда на сферической поверхности. В случае заряда д вне сферической поверхности потенциал на оболочке Если же заряд д переместить через малое отверстие внутрь оболочки (М 2.25), то потенциал на ней определяется ее внешним радиусом и по теореме Гаусса суммарным зарядом О+4 я 50 Поле вокруг заземленного металлического шара, когда на расстоянии 2. от его центра находится заряд д, такое же, как от этого заряда и заряда — д/и, расположенного, как показано на рис.
2.14, и определяемого (2.24). Можно вычислить напряженность поля на поверхности шара и найти распределение заряда, который в сумме равен — д/и. В случае изолированного незаряженного металлического шара картина распределения напряженности поля не изменится, и распределение заряда по поверхности будет таким же, но в центре надо расположить заряд д/и, который обеспечивает суммарный нулевой заряд на шаре и приводит к появлению потенциала на нем. Если этот шар заземлить, то на него притечет заряд — д/и, чтобы нейтрализовать заряд, создававший потенциал (Хо 2.26).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
