Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1.14). Рвс. 1.13 Рис. 1.14 31 4 С Е = — ярг+ —. 3 г2' Постоянная интегрирования С внутри шара равна нулю, так как напряженность поля в центре шара конечна, как это ясно из физических соображений. Вне шара заряда нет. Поэтому Е = С/г'. Постоянная интегрирования С определяется по значению поля на границе шара. Найдем, как должна меняться плотность заряда по радиусу, чтобы напряженность поля была направлена по радиусу и имела постоянную величину Е, ()чо 1.21). Из (1.19) и (1.22) Для каждого из шаров поле определяется (1.14). В области их пере- сечения (в некоторой точке А) для напряженности поля имеем 4 4 Е, = Е, + Е, = — яр(г, — г,) = — — яра.
3 3 (1.24) о = расозО. Отметим, что при стремлении а к нулю произведение ар должно оставаться конечным. Выражая ра из (1.24), находим, что для получения внутри сферической поверхности поля Е, распределение плотности заряда на ней должно быть (М ! .23) о = — созО; (о = Зз,Е созО).
3Ез (1.25) 4а Поле вне однородно заряженного шара определяется суммарным зарядом О= — яЯр. 4 з 3 Два противоположно заряженных шара на расстояниях, значительно превосходящих расстояние между их центрами, создают поле в области пересечения, соответствующее диполю с моментом р = Ца. Из (1.24) находим р = — Я'Е,. Постоянное поле внутри шара согласуется с полем диполя при г = Я с учетом скачка поля, связанного с зарядом (1.18). На границе проводящего тела напряженность электростатического поля может быть направлена только по нормали к границе. В противном случае возникает движение и перераспределение зарядов.
На границе проводящего шара (радиусом Я), находящегося в постоянном электрическом поле Ем вектор напряженности поля Е, направлен по нормали к границе (поверхности), т. е. касательная компонента равна нулю. Попробуем удовлетворить это условие с помощью диполя р, помещенного в центре шара. Обозначая напряжен- 22 Таким образом, в области пересечения, где суммарная плотность заряда равна нулю, поле постоянно и направлено противоположно вектору а (из центра отрицательно заряженного шара к центру положительно заряженного шара).
Если расстояние между центрами шаров мало по сравнению с их радиусами (а к Я), то нескомпенсированные заряды распределены фактически по поверхности сферы. Так как поверхности шаров в направлении вектора а сдвинуты на а, то расстояние между ними по направлению О равно а соз О. Плотность заряда на единицу поверхности ( °,к1- (е а) — [~а] = [[ ° — Р, ] а] - О.
Откуда р = Я'Ео, 1р = 4яеоЯ'Ео). (1.26) Распределение зарядов по поверхности проводящего шара, помещенного в постоянное поле с напряженностью Е„определяется (1.24) и (1.25), так как в проводнике поле внутри должно быть равно нулю, т. е. распределение зарядов должно создать напряженность постоянную и противополозкную напряженности внешнего поля Е,. Напряженность поля вне проводящего шара определяется суммой напряженности внешнего поля Е, в которое он помещен, и напряженности поля диполя, возникающего на шаре благодаря поляризации, р = ЯзЕо. Поле вне шара Е = Ео +ЗА (Еог) — — Я вЂ” зо. г г Напряженность поля на поверхности шара (1.27) Е(К) = 3Ео соа 0 —. Я (1.28) Видно, что на поверхности проводящего шара напряженность поля всегда нормальна к поверхности и на оси симметрии (О = 0 и 0 = я) равна ЗЕ„а при 0 = я/2 равна нулю (М 1.26).
Направление, при котором напряженность поля по абсолютной величине равна Е, РЬ 1.25), определяется сов 0 = Ы/3, а 2Ео — соответственно сок 0 = +2/3. Найдем точки пространства, в которых поле равно 2Ео (Ж 1.27). Из (1.27) Ео = ЗЯз [Еог) — Яз о г г Поэтому дз 'з Ео 1+ з)=Ззг (Еог) з. 2з ность поля от диполя Е,, получаем, что суммарное поле Е, = Е + Е, при г = К должно иметь только радиальную компоненту.
Векторное произведение этого поля на К должно быть равно нулю. Это позволит найти величину р. Учитывая, что в выражении (1.9) остается только второй член, имеем Отсюда направление г, для которого это условие выполняется, совпадает с направлением Е . Проведя вычисления, находим г= Я(2)ьо Аналогичным образом найдем точки, в которых поле равно Е/3 ()ча 1.27).
Получаем г=Р =-6 4 -6Ео 4' ~>т Я4 дг 4 4 4 (1.29) Для сфер, находящихся в поле, перпендикулярном к линии, соединяющей их центры (М 1.30), как следует из (1.8) и (1.11), происходит отталкивание с силой Е=Р— =3 — =ЗЕ4 —. дЕ Р 4Я дг г4 4 г4 (1.30) Поле внутри равномерно заряженного (с объемной плотностью р) бесконечного цилиндра находим с помощью (1.12) Е=2крг; Е= — . рг1 2ес ) (1.31) Это линейная зависимость, как и (1.14), но с другим коэффициентом. Для двух параллельных цилиндров с зарядами противопо-' 24 Если предположить, что г направлено по Е„то получаем г = -Я(2)'~'.
Так как в случае сферической симметрии г не может быть отрицательным, для удовлетворения уравнения используем Е,г = О. В этом случае г = Я(3/2)ц'. Следовательно, искомая напряженность поля будет на окружности с радиусом г = Я(3/2) ьо в плоскости, перпендикулярной вектору Е, проходящей через центр шара. Найдем величину и направление силы взаимодействия между двумя незаряженными проводящими сферами радиусом Я, помещенными в однородное электрическое поле Е„направленное параллельно линии, соединяющей центры сфер, расстояние между которыми г л Я (М 1.29). Действие поля на проводящий шар, как получено ранее, приводит к поляризации — возникновению дипольного момента р = Я'Е . Постоянное по величине и направлению поле на диполи не действует. Одинаково направленные диполи, как показано ранее (1.10), притягиваются с силой, которую можно также найти через градиент поля диполя (1.11) ложных знаков в области перекрытия зарядов получаем постоянную напряженность поля Ео = Е~+ Ег = 2яр(г, — гг) =-2яра, (1.32) где а — расстояние между осями симметрии цилиндров.
Используя рис. 1.14, можем найти необходимое распределение плотности за- ряда по поверхности цилиндра, чтобы получить постоянную напря- женность поля Е«внутри цилиндра о = расоз8 = — ~соз8; (о = расоз8 = 2е,Е, созЕ). (1.33) 2х Е, =2 ~. г (1.34) Вместо (1.8) Ез = -2 —. г Используя рис. 1.4, для произвольного угла 8 находим поле «плоского» диполя Е = 4(рг) 4 — 2 —. (1.3б) Если в безграничном плоском слое толщиной 2Ь объемная плот- ность заряда р изменяется по закону р = р х/л ( — Ь ~ х ь Ь), где х— 25 Если бесконечно длинный проводящий цилиндр помещен в постоянное электрическое поле, перпендикулярное оси цилиндра, с напряженностью Е, то для отсутствия поля в проводящем цилиндре на его поверхности должно быть распределение (1.33) (М 1.24).
Отметим, что поле на поверхности цилиндра в плоскости симметрии (8 = 0) увеличивается до 2Е, а при 8 = я/2 равно нулю. Силовые линии подходят по нормали к поверхности цилиндра. По аналогии с диполем можно рассмотреть систему двух разно- именно заряженных (с одинаковым абсолютным значением заряда на единицу длины) бесконечных прямолинейных нитей, находящихся на очень близком расстоянии. В соответствии с (1.12) и (1.16), обозначая заряд на единицу длины нити т, имеем для напряженности поля Г = 22/г. Если нити находятся на расстоянии 1, то можно ввести вектор р = т1, направленный от отрицательно заряженной к положительно заряженной нити и являющийся аналогом дипольного момента. Используя рис.
1.3 вместо (1.7), получаем ось, перпендикулярная плоскости слоя (рис. 1.15), то напряженность поля внутри слоя можно найти, воспользовавшись (1.19) и (1.20): ИЕ х — = 4пр-. ех А Разделяя переменные и интегрируя, на- ходим хг Е(х) = 2пре — +С. о ~ Постоянная С определяется из условия, что вне слоя, как это следует из сложения полей от всех элементов слоев (от положительных зарядов — в положительном направлении, от отрицательных зарядов— в отрицательном направлении), поле равно нулю.
Таким образом, Рис. 1.15 „г Лг Е(х) = 2прр Для получения периода колебаний диполя можно было возвращающую силу находить с помощью (1.11), (1.19) и (1.20) дЕ х Г = р — = р4пр = р4пре —. дх Ь' Отметим еще раз, что при получающемся поле для существования колебаний диполь должен быть направлен в сторону отрицательных иксов. гб Поле внутри слоя направлено противоположно оси х (см. рис. 1.15).
Если внутри слоя имеется тонкий канал вдоль оси х, то на диполь, помещенный внутри канала в точке х = 0 и направленный по полю, будет действовать при его смещении на х возвращающая сила. Найдем период малых колебаний диполя массой и (М 1.16). Для диполя с дипольным моментом р = д1 при смещении его середины на х < ! получаем возвращающую силу Из уравнения колебаний «ат х ,т г находим период колебаний Для объяснения электромагнитного излучения из атомов Томсоном была предложена модель атома: в положительном заряде, распределенном в объеме атома (радиусом Я), находится отрицательная частица — электрон.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
