Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Найдем распределение плотности положительного заряда в случае сферической симметрии для обеспечения гармонических колебаний электронов в поле положительного заряда (Мя 1.17). Обозначая массу электрона рл и заряд е, для гармонических колебаний по радиусу атома имеем «Ы г ,(г Частота колебаний Возвращающая сила йг = еЕ(г).
(1.37) Распределение заряда определяем из (!.19) и (1.22) и приведенной зависимости, обеспечивающей гармонические колебания (1.37), ЭЕ Е 4яр = — +2 — = 3 —. дг г е' Из нейтральности атома следует е з е = ) 4кргздг = /с— о е Таким образом, плотность зарядов должна быть постоянной и равной Зе Р=— 4хЯ~ г. ПОТЕНЦИАЛ. МЕТОД ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ При изучении механики были введены понятия «работа» и «потенциальная энергия».
Работа — это скалярное произведение силы на перемещение (работу совершает только сила, направленная по перемещению) ИА = РЛ = Гй1 соз й = Ыг, (2.1) й Г! 11 Ап — — 1' ЧЧ2 — ~ =%Ч2 ~ ) = (В~~ Вг). г й и (2.2) Силы, зависящие только от координат, называются консервативными, или потенциальными. Работа не зависит от формы пути, и по замкнутому контуру она равна нулю. Величина )У называется потенциальной энергией. Для малых перемещений (2.3) Рассмотрим две одинаковые и одинаково заряженные капли несжимаемой проводящей жидкости, находящиеся на большом (бесконечном) расстоянии друг от друга.
Заряд, радиус и масса каждой капли равны соответственно Ч, г и т. Найдем, какую минимальную скорость У~ вдоль прямой, соединяющей их центры, надо сообщить каждой капле, чтобы они стали двигаться навстречу друг другу и при столкновении соединились в одну, не учитывая поверхностное натяжение и колебания формы (М 2.1). Когда капли соприкоснутся, их потенциальная энергия достигнет величины 2Ч В; = —. 2г 28 где лг — проекция перемещения и'1 на направление силы Е Кулоновские силы, так же как и гравитационные, зависят только от координат. Работа в поле сил (2.1) связана с перемещением точечного заряда Ч, в поле неподвижного точечного заряда Ч, из точки 1 в точку 2, которые определяются расстояниями г, и г, от заряда Ч„ При слиянии их потенциальная энергия становится равной (29) 2 1 й где радиус г, определяется из условия несжимаемости жидкости, т.
е. сохранения объема г, = 2г . Увеличение потенциальной энерз з гии происходит за счет имевшейся при соприкосновении капель кинетической энергии 2ег ~ Вг 2 В результате 2ги Р~ ай'~ 2~~~ 2 2 2 ' 2 ии Отсюда находим р;. Для характеристики поля электрического заряда, кроме введенной ранее напряженности поля (1.3), вводится потенциал. Это работа, которую совершает поле при удалении из данной точки на бесконечно большое расстояние единичного точечного (пробного) заряда. Из (2.2) находим изменение потенциала с расстоянием от точечного заряда ~у ср(г) = —; ~<р(г) = г ' 1 4аеег1 (2.4) ~7; ; 1г,. (2.5) Связь потенциала с напряженностью поля находим из (2.1) йр = — ЕЛ (2.6) и, следовательно, 2 2 ~Р, -<Рз =)ЬЛ = ~Е~Ы1.
1 1 29 Потенциал электрического поля можно определить и как работу внешней силы (противоположной кулоновской) по перемещению единичного пробного заряда из бесконечности, где поле отсутствует, в данную точку поля. Из суперпозиции полей следует сложение потенциалов в точке на расстояниях г, от точечных зарядов с,: В соответствии с (2.4) и потенциальностью поля получаем для замкнутой траектории в электростатике ~ЬП =0.
(2.7) Таким образом, циркуляция вектора напряженности в статическом электрическом поле равна нулю. Приведем пример, когда возникающая разность потенциалов не успевает выровняться. Оценим разность потенциалов (/ между головной и хвостовой частями стального керна бронебойного снаряда, возникающую вследствие его торможения в преграде. Считаем, что керн длиной А = 25 см потерял скорость е = 1000 м/с, пробив броню толщиной Н = 5 см (М 2.8). Обозначая замедление скорости при торможении а, массу электрона т и заряд его е, для силы инерции, действующей на электрон, получаем Р = та.
Это приводит к возникновению электрического поля Е= та/е и разности потенциалов на концах керна У = Е3. = таА/е. Предполагая, что вся кинетическая энергия снаряда тратится на работу на пути, равном толщине брони, получаем те' — = ГН = таН. 2 Подставляя это в выражение для разности потенциалов, имеем У = — ЦеН = 14 мкВ. те 2 Из (2.6) следует связь между напряженностью поля и потенциалом в дифференциальном виде Е, =- —.
дп М' Здесь производная от скаляра берется по направлению! и называется градиентом. В декартовых координатах вектор напряженности поля можно представить Е = — ~ — 1+ — 1+ — Ы) = -8гад н = -Ч~р. дэ. Эн . дв '(,ах ау Эг ) (2.8) Обозначение 17 называется оператором градиента, или набла. Поверхность, на которой потенциал постоянен, называется поверхностью уровня, или эпвипотенцнальной поверхностью. Линии, перпендикулярные к этим поверхностям, называются лнниямн градиента и совпадают с силовыми линиями.
Вдоль них происходит наибольшее изменение р. ЗО В цилиндрических координатах (на рис. 2.1 Р, гр и г) Е = — Втаб ог = — ~ — е + — — е + — е, . (2,9) ~ар 1 ае ае (др о рдж " дг Здесь введены единичные векторы (орты) по осям координат. В сферических координатах (на рис. 2.1 г,гри В) Е = — атаби = 1'аЕ 1 де 1ар = — ~ — е, + — е + — ~ео~. Рис. 2.1 1,аг ° 1пВдр ч аВ Здесь также введены елиничные векторы (орты) по осям координат.
Используя (1.19) и (1.20), получаем йт Ятад <Р = — + — + — = Чг1Р = Л<Р агв аг<~ дг<Р г ахг ауг агг и соответственно гор=-4яр; Л1р=- — . р1 го (2.11) Это уравнение называется уравнением Пуассона, а обозначение Ь называется оператором Лапласа. С помошью этого уравнения можно найти распределение потенциала и напряженности поля при заданном распределении зарядов. В проводниках потенциал постоянен, а вне проводника, где нет зарядов, определяется граничными условиями и уравнением Лапласа гир = О. В цилиндрических координатах (см.
рис. 2.1), используя выражение для оператора Лапласа, получаем уравнение Пуассона Ь1р = — д р(аЕ!ар) 1 агЕ агв + — — + — = -4яр др,гд г дг о (2.12) Ь(р = + — — + — + — + — сЩ — = -4яр. (2.13) аго 2 дв 1 дгв 1 дг<~ 1 д~, дгг г дг гг огпг В д1рг гг двг гг дВ 31 Здесь лля плотности зарядов использовано обозначение р„,, чтобы . отличить от радиуса полярных координат р. В сферических координатах (см.
рис. 2.1) соответственно имеем: Найдем для цилиндрического (диаметром Р) пучка частиц (это может быть дейтрон, у которого заряд равен заряду протона, а масса на нейтрон больше) с кинетической энергией И' и силой тока в пучке /(с равномерной плотностью по сечению пучка /) напряженность электрического поля Е на поверхности и разность потенциалов У между его границей и осью симметрии (Ма 2.9). Вводя плотность зарядов р, получаем для плотности тока 4! Р2 ' где Из теоремы Гаусса (1.12) находим напряженность электрического поля внутри пучка Е2яг = 4ярягз и, следовательно, Е(г) = 2ярг для г < Р/2. На поверхности пучка Е= —. Для разности потенциалов имеем ао У = )' 2яргй = яР— = —. 1 4 1' Внутри металлических (и вообще проводящих) тел электростатическое поле равно нулю и потенциал постоянен.
Потенциал металлического заряженного шарика радиусом Я можно вычислить в его центре, используя (2.5). При г > Я потенциал описывается (2.4). Если заряд равен д, то потенциал в центре — р = д/Я. Рассмотрим систему из трех одинаковых металлических шариков радиусом г, расстояния между которыми одинаковы и равны а (очевидно, что они находятся в вершинах равностороннего треугольника), и удаленный заряженный проводник, потенциал которого неизвестен (д), но поддерживается постоянным. Поочередно шарики соединяются проводом с удаленным проводником.
Найдем заряд на шарике, который присоединялся последним (д,), если на двух присоединявшихся ранее оказались заряды д, и д (М 2.46). Для первого шарика после присоединения к удаленному заряженному проводнику имеем д = д,/г. Для второго шарика полный потенциал Ф складывается из потенциала от полученного в результа- зз те подсоединения собственного заряда ~у и наведенного от первого заряда Д3 3Р ==+— г а Для третьего шарика '?3 Ч3 92 43 = — э — +=. -4 3 +4 Из этих трех уравнений находим Рис.
2.2 Д~ Чз = Найдем потенциал диполя с дипольным моментом р = д1. Используя рис. 2.2 и суперпозицию (2.5), имеем 1 1 03 — г2 <у1со30 рсозо рг 'Р = Ч вЂ” — ) = 43 2 2 3 ' г2 б 03г2 г г г (2.14) Воспользуемся этой формулой, чтобы найти, на какое максимальное расстояние А удалится эквипотенциальная поверхность от плоского заряженного конденсатора (расстояние между пластинами Ь, площадь пластин о), если внутри конденсатора она проходит на расстоянии 599Ь/1200 от одной из пластин (№ 2.52).
Обозначая разность потенциалов между пластинами 43, и учитывая, что потенциал равен нулю на половине расстояния между пластинами, находим для данной эквипотенциальной поверхности 43О Ч= 1200 Поле вдали от конденсатора будет соответствовать полю диполя, заряд которого равен заряду пластин, а расстояние между зарядами— расстоянию между пластинами р = дд = о533 = — = <р ЕХЬ Я 4л о4л Используя (2.14), получаем з- зз (2.15) Потенциал шара В случае заземленной оболочки (потенциал ее равен нулю) распределение потенциала показано на рис. 2.4 пунктиром. В этом случае потенциал шара лз лз Ряс. 2.4 Зе По известному распределению напряженности поля с помощью (2.6) можно найти распределение потенциала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
