Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Если в поле заряда д находится заземленная проводящая сфера, то, используя (2.23) и (2.24), для напряженности поля в точке А (см. рис. 2.14) имеем о д д(1+ Е/Я) (Е-Е)' и(д-я'/Е)' (Е-Д)' Обозначая напряженность в точке А при отсутствии проводящей сферы Ео = (Š— Я) получаем для изменения напряженности при внесении заземленной проводящей сферы (М 2.27) ЕА — = 1+ —. Ео Аналогичным образом находим для точки В (см. рис.
2.14) Ео Š— =1 — —. Е, Я' Для незаряженной проводящей сферы ищем поле от трех зарядов (в центр сферы, как зто получено ранее, надо поместить заряд д/и). В этом случае — ~ = 4~3 — — ) — ~ = д(3+ — ). Полученные ранее решения для сферической и плоской проводящих поверхностей можно использовать для решения задачи, о 51 в которой заряд д располагается над бугорком в виде полусферы радиусом г на поверхности (№ 2.24). На рис.
2.17 показано расположение заряда д, а также зарядов -0, 0 и -у, используемых в методе электрических изображений для получения нулевого потенциала на бугорке и плоскости. Из (2.24) определя-Че ем, во сколько раз (и) заряд пбольше 0 Рис. 2.17 (л = С/г) и на каком расстоянии он на- ходится от центра сферы (л = г/л). Показанные на рис. 2.17 заряды полностью определяют электрическое поле.
Сила, действующая на заряд иад бугорком (№ 2. 39), определяется тремя зарядами-изображениями г" = - —— 40 40 2 А (2, — Ь) (Е+ Ь) Если заземленный металлический шар радиусом Я лежит на тонком равномерно заряженном диэлектрическом (непроводящем) диске того же радиуса, полный заряд которого равен 0, то притекающий на шар заряд можно найти, рассматривая суперпозицию решений для шара и элементов заряда на диске. На рис. 2.18 показан разрез системы в плоскости, перпендикулярной поверхности диска, проходящей через центры шара и диска.
Для заряда на диске ~(0 = — гор Ыг 0 яя2 по (2.24) находим заряд-изображение я (Я +г) Интегрируя по у и г, находим полный наведенный на шаре заряд (№ 2.38) д = -2( /2 — !) Д. Найдем систему зарядов-изображений для заземленной проводящей сферы радиусом Я и диполя с моментом р = д1, находящегося на расстоянии А от центра сферы, и силу взаимодействия между 52 я' 1,+г Рвс. 2.19 Рнс. 2.18 ними (М 2.28). На рис. 2.19 показаны заряды и расстояния. Пользуясь тем, что для днполя 1 к 1,„имеем для заряда 911 1 - 11'1. 911 9111 911 р11 =дА 1+1 2 1, гг 1, и для Лг 11г 1яг Ьх = —— 1.
1+1 1г Таким образом, система изображений состоит из диполя 911ах р11 р = А 1г и заряда рЯ г ' Диполь Р пРитЯгиваетсЯ к диполю Р, и заРЯдУ 9г ДлЯ вычисления силы притяжения надо воспользоваться (1.10) и (1.7): 6 рр~ 2 ~81 (2дг+1г) (1 Яг~1) (1 Лг(1) (1г Дг) Если проводящая сфера радиусом Я изолирована и не заряжена и диполь с моментом р = д1, находящийся от центра сферы на расстоянии А и направленный перпендикулярно линии, идущей от центра сферы к центру диполя, то расположение зарядов-изображений 53 Рис. 2.20 будет таким, как показано на рис. 2.20.
Заряды в центре сферы, создающие потенциал, не показаны„так как в сумме равны нулю. Величина зарядов д определяется (2.24) Поле диполя в перпендикулярном направлении (1.8) зависит только от расстояния. Из (1.11) следует (№ 2.34) Знак минус указывает на притяжение диполей. Приближенное решение данной задачи (оценка) может быть получено в предположении, что изолированная незаряженная проводящая сфера помещена в постоянное поле, равное полю диполя в данном месте. В этом случае поляризация приводит к диполю с моментом (1.26) р, = КгЕ.
Поле определяется по (1.9). В таком же приближении можно оценить силу взаимодействия между двумя маленькими металлическими шариками радиусом Я, из которых один имеет заряд д, а второй ие заряжен, в зависимости от расстояния между ними Е. Поле от заряда Е = ~у/Ег поляризует незаряженный шарик, создавая дипольный момент р = Я'Е = —. лч 54 Поле этого диполя определяется (1.7) и действует на заряд. В ре- зультате сила притяжения (М 2.36) 2дЯ 1 Г= — — —. 15 15' Если к металлическому шарику радиусом Я, на котором медленно повышается потенциал ~р (увеличивается заряд), на тонкой не- проводящей нити длины !» Я подвешен нейтральный металлический шарик массой т и радиусом г «Я, то при некотором потенциале он притянется к верхнему. Этот потенциал находим из равенства силы притяжения весу нижнего шарика.
Для верхнего шарика заряд Д = <рЯ и поле вблизи нижнего шарика ~рЯ )г Это поле поляризует нижний шарик, создавая дипольный момент р = г'Е. При этом поле считаем однородным. Но сила, действующая на диполь, определяется неоднородностью поля — про- изводной дЕ 2еЯ д1 ( )з Используя (1.! 1), получаем -2 3 (~~) (! + Я) дЕ 2Д и д1 ( )5 Е= (1+ Я)' Используя (1.! 1), получаем 2г5ф (1+ Я) 55 Откуда находим ~р (М 2.43). Такую же схему решения можно применить, если эти шарики находятся вне поля тяжести и не скреплены между собой, а меньшему сообщается начальная скорость в направлении от большего шарика. Найдем величину этой скорости, чтобы меньший шарик мог уйти на бесконечность (М 2.44). Благодаря поляризации создается дипольный момент р = г'Е, где Š— поле заряженного шарика: Для работы внешней силы получаем 1 г12 А =1Р"1= — 1 2 (1 Я)1 которую надо приравнять ти-'/2, чтобы найти нужную скорость (М 2.44).
Подобным образом можно рассмотреть устойчивое положение небольшого незаряженного металлического шарика радиусом г, который может смешаться только вдоль оси тонкого однородно заряженного кольца радиусом Я. Обозначая расстояние вдоль оси кольца от его плоскости х и полный заряд кольца Д, получаем для напряженности поля вдоль оси (2х (Я +х) Это поле поляризует шарик, создавая дипольный момент р = г'Е. Условие равновесия — равенство силы, действующей на шарик, нулю: дЕ Е= р — =О. дх Дифференцирование Е дает дЕ Я вЂ” 2х дх ( ~ т)ед' При х = 0 равны нулю и поле, и дипольный момент, а производная— положительна.
Однако при малейшем отклонении возникает дипольный момент, т. е. равновесие неустойчивое. Устойчивое равновесие будет при равенстве производной нулю, т. е. при (Ха 2.37) Я х =+ —. 21/2 ' Поле вне конденсатора на большом расстоянии г ъ (Ю)ц' (5— плошадь пластин конденсатора, которые считаем дисками) можно приближенно описывать как поле диполя с моментом Еи р, =~1=С)2= —, 4л ' где д — заряд конденсатора; 1 — расстояние между пластинами; С— емкость конденсатора; г' — напряжение на конденсаторе. 56 Напряженность поля диполя (1.7) Е= —, гр 3 у изменение поля диполя — =-3 2 — 4. дЕ р д. Если на оси конденсатора на большом расстоянии находится проводящий незаряженный шарик радиусом Я к г, то происходит поляризация и создается дипольный момент, величину которого вычисляем в предположении постоянства поля конденсатора вокруг шарика р = ЯзЕ.
Силу вычисляем, используя (1.11) (М 2.53): Е = р, = -1гр, — - -ЗЕ и дЕ зЯ з з Я з дг ~ гз 4яггз Рассмотрим случай, когда диполь с моментом р = д1 помещен в центр проводящей незаряженной сферы (рис. 2.21). Заряды-изображения пд и — пд каждый в паре с соответствующим зарядом диполя создают постоянный потенциал на сфере. Суперпозиция дает полное решение. Сумма зарядов в центре сферы, создающих потенциал на сфере, равна нулю (поэтому на рис.
2.21 не показана). Из (2.24) и (2.22) п= — = — л 1. е гя Я ! Поэтому поле от зарядов ву вокруг сферы можно считать однородным и равным Ео=2 ,з з Напряженности поля от диполя в точках А и В определяются соответственно (!.7) и (1.8). Суммарное поле в точке А равно р 2р Зр Е = — + — = —, з яз йз зтз ' в точке В (з(о 2.33): Е = — — — =О. Р Р в=яз яз= ' Рвс. 2.21 57 Если внутри проводящей полой изолированной и незаряженной сферы радиусом Я на расстоянии й от центра помещен точечный диполь с моментом р, ориентированный перпендикулярно радиусу +ич (рис.
2.22), то снова, как и ранее, пользуемся суперпозицией и получаем для зарядов-изображений Рис. 2.22 Я и= —; Я= —. Я' Е Используя подобие треугольников, находим дипольный момент зарядов-изображений Из (1.8) и (!.11) находим силу взаимодействия диполей, т. е. силу, действующую на диполь внутри сферы (М 2.34): ЗР Г=Р, (Š— и) Для точечного дпполя, находящегося на расстоянии й от центра сферы и направленного вдоль радиуса (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
