Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 6
Текст из файла (страница 6)
При равномерном распределении за- ряда внутри шара радиусом Я изменение о л напряженности поля показано на рис. 1.6. При г > А поле описывается (1.3), и с Рис. 2.3 помощью (2.6) получаем (2.4). Внутри шара поле описывается (1.14). Интегрируя, с учетом полученного пигенциала на поверхности шара, имеем <р = — яр(ЗФ вЂ” гз). 3 На рис. 2.3 показано распределение потенциала. Для заряженного металлического шара, окруженного концентрической металлической незаряженной оболочкой, распределение напряженности поля показано на рис. 1.7. На рис. 2.4 приведено распределение потенциала (№ 2.3), полученное с помощью (2.6).
Потенциал оболочки равен В металлической оболочке любой формы в электростатике всегда поле равно нулю, и внешнее и внутреннее поля независимы. Внутреннее поле не будет меняться, если снаружи подносить заряженный проводник. Это называется электростатической экраиировкой. Перемещение зарядов внутри металлической оболочки будет изменять поле внутри, но не будет изменять снаружи (Мо 2.2). Заряд на сферической металлической оболочке располагается на внешней поверхности. Внутри поверхности поля нет.
Потенциал е поверхности и всей оболочки определяется зарядом Д и внешним радиусом Я: Если незаряженный металлический шарик радиусом г, расположенный достаточно далеко, чтобы можно было не рассматривать индукционные явления (перераспределение зарядов), соединить металлическим проводом с заряженной оболочкой (рис. 2.5), то происходит перемещение зарядов и выравиивание потенциалов шарика и оболочки. Движение зарядов происходит благодаря разности потенциалов даже в случае, если проводник через малое отверстие присоединяется к внутренней поверхности оболочки, где зарядов нет. После перемещения зарядов на шарике появляется заряд д, а на оболочке остается (Д вЂ” д). Заряд д находится из равенства потенциалов Поле от двух зарядов д и — д можно вычислить, используя (1.3) и (2.4).
На рис. 2.6 показаны эти заряды, находящиеся на оси х симметрично относительно оси у на расстоянии друг от друга 2л. Картина поля симметрична относительно оси х. Из (2.4) следует, что на Рвс. 2.6 Рвс. 2.5 з* плоскости, проходящей через ось у и перпендикулярной оси х, потенциал равен нулю.
Из (!.4) следует, что в плоскости нулевого потенциала напряженность поля перпендикулярна этой плоскости. Вводя угол 0 из условия сов 0 = Ь/р, получаем изменение напряженности поля вдоль оси у (линии нулевого потенциала) сов О Е = 2д —. лг (2.16) Уравнения, описывающие положение силовых линий, можно находить, используя дифференциальные связи. В декартовых координатах они имеют вид (1.4) лх Иу ~й Е„ Ер Е (2.
17) 2 г (2Ь) ~ 4хео(2л) ~ (2.18) Если между зарядами Ц, и Д было расстояние 1!и между ними посередине вставили перпендикулярно линии их соединяющей 36 где лх, Ыу и И~ — изменения декартовых координат вдоль силовой линии; Е„, Ер и Е, — декартовы компоненты вектора напряженности электрического йоля. Решение этих уравнений громоздкая процедура. Качественно ход силовых линий можно получить, зная, например, в данном случае, что из точки линии выходят симметрично во все стороны, а на линии нулевого потенциала параллельны оси х.
Пунктиром, для примера, показаны на рис. 2.6 две силовые линии поля. Важным следствием полученной картины поля является то, что при расположении заряда на расстоянии л от проводящей бесконечной плоскости в области положительных значений х возникает такая же картина, как для двух зарядов. Если поля одинаковы, то и воздействие проводящей поверхности на заряд д будет таким же, как воздействие от заряда — д, помещенного симметрично относительно границы проводящей плоскости. Поэтому для нахождения картины поля и сил взаимодействия можно заменить проводящую плоскость зарядом-изображением — д», расположенным симметрично заряду д относительно положения проводящей плоскости.
Метод, использующий такую замену, называется методом электрических изображений. Сила притяжения заряда к бесконечной проводящей плоскости равна бесконечную металлическую пластину толщиной Я/2, то силы, притягивающие каждый из этих зарядов, определяются по (2.!8), где Ь = Л/4 (М 2.12). Для примера найдем напряженность поля в точке А (рис. 2.7), если заряд д находится на расстоянии Ь от проводящей бесконечной плоскости (М 2.10). Из (1.3) — Е,= —, Ь~ 5Ь~ из соответствующего треугольника 1 соаО = —.
Г5 Величину напряженности определяем по теореме косинусов Е' = Е, '+ Е, '-2Е,Е, созО. Получаем 26 — 2 /5 5Ьг Наклон к горизонтали вектора Е (угол ~3) находим также из теоремы косинусов. На рис. 2.8 показаны два одинаковых шарика массой т с зарядами Д, подвешенных на одинаковых нитях над горизонтальной металлической заземленной плитой на высоте Ь и соединенных нитью длиной 1. Найдем натяжение нитей, если радиусы шариков Рве. 2.7 Рве. 2.8 37 2Ь 0 0 12' 180= — ~ Ь1= ~ Ь2= — ~ ,г (2Ь)~ ',г + 4Ь' Распределение плотности отрицательного заряда, наводимого на проводящей плоскости зарядом д, находящемся на расстоянии Ь от нее, определяется теоремой Гаусса Е = 4яо и (2.16) (№ 2.11) сов В а=-д 2лЬ (2.19) Угол 0 показан на рис.
2.6. Интегрируя по всей плоскости, получаем, что полный индуцированный заряд равен — д. Плотность индуцированного заряда на оси симметрии (О = О) равна Если известно, что одна из силовых линий, идущая от точечного заряда Ч, находящегося на высоте Ь над бесконечной металлической пластиной (потенциал равен нулю), приходит на поверхность пластины на расстоянии Е = Ь./3 от точки, над которой находится заряд, то можно определить, под каким углом к горизонту эта силовая линия выходит из заряда (№ 2.50). Чтобы вос- У пользоваться теоремой Гаусса для потоков вектора напряженности поля, выберем поверхности, через которые удобно вычислять поток.
Сечения этих поверхностей показаны на рис. 2.9. Через поверхность, образованную силовыми линиями, потока нет. Поле у поверхности пластины нахох 2ф дим методом изображений Е =,, и вы( ' ~р)"' Ч числяем соответствующий поток. Поток через часть сферической поверхности у заряда опреде- 1 Рвс. 2.9 38 малы по сравнению с Ь и 1, которые значительно меньше размеров плиты (№ 2.13).
Для получения нулевого потенциала на плите нужно ввести два симметрично расположенных отрицательных заряда ( — О), как показано на рис. 2.8. Складывая силы, действующие на заряженные шарики, получаем для натяжения горизонтальной нити Е, = Е, — Р; сох О, вертикальной Е, = т8+ Е + Е, япв.
Здесь угол 0 определяется соотношением ляется. величиной заряда (д) и соответствующим телесным углом (ьг). Таким образом, используя теорему Гаусса (1.12), получаем ь 1г о (хг о.ьг)' Отсюда находим ьг = 2я, т. е. силовые линии от заряда идут горизонтально. Рассмотрим похожую ситуацию для цилиндрического случая. Длинный тонкий провод, имеющий заряд на единицу длины Л, проходит параллельно горизонтальной металлической поверхности на высоте Ь. Поле находим, используя провод-изображение, имеющий заряд на единицу длины — Л, находящийся с другой стороны поверхности на расстоянии Ь и обеспечивающий условие на металлической поверхности (см.
рис. 2.9). Найдем, на каком расстоянии от точки на плоскости под проводом (начало координат) приходит на плоскость силовая линия, уходящая от провода горизонтально (М 2.51). Поток вектора напряженности поля, идущий от провода между силовой линией и осью у, представляет четвертую часть общего потока, т. е. равен яЛ.
На оси х напряженность поля (1.!6) от двух проводов 2Л 26 4ЬЛ ( г г)яг ( г г)~1~ Л~ + хг Поток зтого вектора при изменении х от 0 до А должен равняться яЛ = 4)гЛ) оЬ +х Вводя обозначение х/Ь = гя а и интегрируя, получаем для границы потока а = я/4. Это соответствует А = Ь. Найдем плотность индуцированного заряда в горизонтальном листе металла под вертикально расположенным равномерно заряженным (полный заряд Д) тонким стержнем длиной 1, нижний конец которого находится от листа на расстоянии Н (М 2.17).
Обозначая вертикальное расстояние от листа у и пользуясь суперпозицией для напряженности поля, находим л+г л 2я1уг 2яН(0 + 1) а= — ) д 39 Вычислим плотность индуцированного заряда (о) в горизонтальном листе металла от равномерно заряженного горизонтального диска радиусом Я, находящегося на высоте Н над листом, в точке под центром диска (№ 2.18). Используя симметрию относительно оси диска, можем напряженность поля вычислять, интегрируя вклады от колец на диске. Обозначая поверхностную плотность заряда на диске (2 р = —. ай для нормальной к поверхности составляющей поля получаем 4(Е = р2пп1гН (Н + г Т Интегрируя, вводя полный заряд диска О, используя (1.17) и отсутствие поля внутри металла, находим ! — И (и'+ Й') вй Заряд д может находиться между двумя параллельными металлическими заземленными пластинами (например, посередине на расстоянии а от каждой), как показано на рис.
2.10. В этом случае для удовлетворения условий на пластинах требуется бесконечное число зарядов-изображений (на рис. 2.10 показана небольшая часть). Для определения, например, плотности заряда в точке А (№ 2А9) можно учесть влияние только ближайших зарядов.
Напряженность поля в точке А равна Е = 2 —,~1 — —,+ — „— —,+.... 3 5 7 Метод электрических изображений можно применить для нахождения силы притяжения точечного электрического диполя к бесконечной металлической пластинке (№ 2.15). В случае диполя, находящегося на расстоянии Е от пластинки, дипольный момент которого р направлен перпендикулярно ей, пластинку заменяем диполем, также направленным и находящимся на расстоянии 2Е от первого. Используя (!.7) и (!.11), находим дЕ д(2р7г') р' 3 р' Е = р — = р =-6 — =-- —. )г 3у .4 Я 74 Рве. 2.10 40 ческих отображений в точках В, С и 23, которые обеспечивают нулевые потенциалы на плоскостях, образующих прямой двугранный угол.
Напряженности поля от диполей находим по (1.9). От диполей в В и !3 две составляющие по р и по г. По направлению р в сумме получаем ноль. Для удобства введем расстояние от точки С до точки А х = 2а. Тогда расстояние от точек В и Р до точки А равны х/ Г2. Напряженности поля Е, и Еа, одинаковы по абсолютной величине и дают в сумме (геометрической) Е =6/2 ~. Напряженность поля в точке А от диполя в точке С 2р Ес = —. 3 ' Х Суммарная напряженность поля направлена к вершине угла 3 /2 — ! Е=2р Действие поля на диполь определяется (1.11) дЕ гЗГ2 — 1 3 тЗсГ2 — 1 4 дх 4 8 4 Рассмотрим три концентрические бесконечно тонкие металлические сферы с ралиусами В, < Я, < Р, (рис. 2.13). Найдем распределение напряженности поля и потенциала, если крайние сферы заземлены (потенциал равен нулю), а на средней находится заряд Д (М 1.11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
