Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Для проверки зависимости (1.!) Кулон проводил измерения периода колебаний шеллаковой (не проводящей зарядов) стрелочки, на одном конце которой был прикреплен небольшой кружок из золотой фольги с зарядом ди подвешенной на неупругой нити за центр масс, с моментом инерции 1 относительно оси, проходящей через центр масс в направлении нити. Колебания происходят из-за того, что на расстоянии Ь, которое значительно больше размера стрелочки, в плоскости колебаний находится точечный заряд д противоположного знака относительно дг Найдем зависимость периода колебаний Тот расстояния Ь (М 1.!8). Считая, что колебания малы и фактически происходят в постоянном электрическом поле, получаем уравнение колебаний стрелки ля 9 у 'у!Ч2! ,!г2 ~ л2 Отсюда для периода имеем Т = 2ял %9гг Заряженное тело меняет свойства окружающего его пространства — создает электрическое поле. Для неподвижного точечного тела с зарядом у, из (1.1) получаем лля напряженности электростатического поля (1.3) Такая сила будет действовать на точечное тело с единичным зарядом, называемое пробным заряженным телом.
Реальное пробное тело должно иметь настолько малый заряд, чтобы не возникали существенные перераспределения зарядов на телах, создающих поле. Для изображения полей удобно использовать линии, называемые силовыми, касательными к которым являются векторы напряженности поля. Направление линий совпадает с направлением вектора напряженности поля — от положительного к отрицательному заряду. В декартовых координатах силовую линию определяют дифференциальные уравнения (1.4) Е„Е Е где Фх, Иу и Н~ — изменения декартовых координат вдоль силовой линии; Е„, Е и Е, — декартовы компоненты вектора напряженности электрического йоля.
Для вывода этих соотношений вводим элемент длины вдоль силовой линии лз = (Ых'+ Ыу' + Н~')'~'. Учитывая, что Нх Е„~Уу Е ~Гг Е ' ~Гг Е ' выражаем г(з(Е и получаем (1.4). Экспериментально установлено, что для сил взаимодействия заряженных тел выполняется суперпозиция (геометрическое сложение сил от разных заряженных тел). Для примера найдем, какой заряд 0 надо поместить в центре квадрата со стороной а, чтобы нулю была равна сила, действующая на каждый из зарядов д, находящихся в вершинах квадрата (№ 1.2).
9 На рис. 1.1 показаны силы, действующие на один из зарядов в вершине квадрата от других зарядов. Из равенства геометрической суммы нулю получаем 97 д д ~/2. 1+ 2Г2 (а/Д) (а,/2) а 4 Рис. 1.1 Е! Е! Рвс. 1.3 Рис. 1.2 ш Здесь уместно напомнить теорему Иришоу о том„что всякая равновесная конфигурация покоящихся точечных электрических зарядов неустойчива, если на них, кроме кулоновских сил притяжения и оггалкивания, никакие другие силы не действуют. Убедиться в справедливости теоремы можно, рассматривая изменение сил при смещении зарядов. Простейший пример устойчивой системы: два тела с зарядами одного знака, подвешенные на ниточках в поле тяжести. Силы взаимодействия между заряженными телами конечных размеров и напряженности полей от больших тел можно найти путем сложения (интегрирования) сил, действующих от бесконечно малых элементов тел. Найдем напряженность поля на оси симметрии диска радиусом 22, заряженного равномерно с поверхностной плотностью о (Хо 1.10). На рис.
1.2 показан диск и выделено колечко радиусом ги шириной Ыг. На элементе колечка плошадью га(рй; который можно считать точечным, находится заряд, равный ог!хр!1г, который создает напряженность поля на расстоянии !! от поверхности диска на оси симметрии Пользуясь симметрией относительно оси Ь, интегрируем по углу ср, учитывая, что сумма составляюших перпендикулярных оси Ь равна нулю, а складывать надо только составляюшие поля вдоль оси Ь ИЕ = 2яотс(г Ь ( з 2)ЗД Интегрируя это выражение по г, получаем Е=2ао 1— (1.5) Отсюда следует, что в центре диска на его поверхности напряженность поля Е=2яо; Е= (1.6) Ч д (г + $/2) — (г — Ц2) д р (г — //2) (г+ 1/2) (г — 1/2) (г+!/2) г г В векторном виде Е, =2 —.
Р г (1.7) Напряженность поля в направлении, перпендикулярном р: Ез = г +(//2) (гЗ+(1/2)~)Д г г В векторном виде Р В2 3 (1.8) Важным примером суперпозиции является сложение полей от двух равных по величине зарядов противоположных знаков на расстояниях, значительно превосходяших расстояние между зарядами. Система зарядов в таком случае называется диполем. Моментом диполя р называется произведение абсолютной величины зарядов у на вектор! — расстояние от заряда — д до заряда +д. На рис. 1.3 показаны два заряда на расстоянии 1. Напряженность поля Е, в направлении р = д! на расстоянии г Отметим, что расстояние г отсчитывалось от середины расстояния 1.
Но поскольку г» 1, его можно отсчитывать от любой точки на 1. Воспользуемся этим для нахождения поля по любому направлению. На рис. 1.4 поле от диполя р ищется в некотором направлении, заданном вектором г. Представляем р в виде суммы двух векторов р, в направлении г и р, в направлении, перпендикулярном г, Используя полученные соотношения (1.7) и (1.8), имеем а х Рве. 1.4 Так как Р=Р~+Рг и Р~ =~ — ) — > /рг1 г 1г!г' получаем 2р, -р, Зр,-р Е=Е, +Ез = з з Окончательно (М 1.3) г р ~ 3 (рг) г/г — р/г (1.9) Найдем уравнение силовых линий точечного диполя в полярной системе координат (М 1.4). Из полученных ранее соотношений и приведенных на рис. 1.4 изображений векторов и углов можно получить гйр = — = — — = — 18Е.
Е~ 1 рз 1 Е, 2 р, 2 Проекцию элемента силовой линии, направление которого совпадает с направлением вектора Е, на направление, перпендикулярное вектору г, можно записать следующим образом: же=- 1ггйе. 1 2 Разделяя переменные и интегрируя, получаем для силовой линии г = г з)и~0, 12 ,где « — расстояние до силовой линии +г -ч ',в направлении перпендикуляра к вектору момента днполя (при 6 = к/2). На рис. 1.5 показана система четыех зарядов (двух положительных+!7 и ---- «, вух отрицательных — !7, расположенных +!2 вершинах квадрата со стороной а). оле такой системы на расстояниях «» а называется полем квадруполя. Исг(ользуя (1.9) и разлагая (1/«2' — 1/«!') в ряд Тейлора, получаем для напряженности поля в точке А (№ 1.6) Е = — — — = р («2 — «) = -Зр —.
и 1Ф) а = «э «э = ~г« ' ' «4 . «2 «! где р = да. Сила, действующая на заряд 27, находящийся в поле диполя р, определяется (1.9). В частности, на заряд на расстоянии Х по направлению диполя (№ 1.7), используя (1.7), 2ар Для положительного заряда получаем силу отталкивания, для отрицательного — притяжения. Отметим, что при взаимодействии зарядов сила уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния, при взаимодействии заряда с диполем — обратно пропорционально кубу расстояния, а при взаимодействии с квадруполем— обратно пропорционально четвертой степени расстояния. Поле диполя симметрично относительно его оси.
Найдем направление вектора г (угол О с осью диполя), для которого вектор напряженности поля будет перпендикулярен направлению оси диполя. Это условие выполняется, если скалярное произведение Ер = О. Получаем 2 2 Ер = З(рг) —, — —, = Зр « вЂ”, — —, = О. Рг РР 22с4Я В Р Отсюда находим 22 Следовательно, возможны круговые движения с постоянной скоростью точечного электрического заряда вокруг оси точечного электрического диполя на любом расстоянии от него в плоскости, пер пендикулярной его оси (№ 1.8). Знак минус для положительног заряда, знак плюс для отрицательного.
Найдем силу взаимодействия г двух точечных диполей, если и дипольные моменты р, и р, направлены вдоль соединяющей их пря мой, а расстояние между диполями равно А (№ 1.9). Предстали Р = 91 и найдем силу, используя (1.7): г =2Р~ з — 2Р~ э = 4 бр1 р~ (1.1д) (ь+!) А Е Диполи, направленные в одну и ту же сторону, притягиваются, а в противоположные — отталкиваются. В постоянном по величине и направлению электрическом поле силы, действующие на диполь, представляют пару сил. Они не вызывают поступательное движение, а только вращение.
При отклонении диполя на угол а от направления поля момент сил (удобно вычислять относительно положения отрицательного заряда -д) лг = дЕ) яп а = РЕ яп а. В векторном виде М = 1РЕ]. В изменяющемся по пространству электрическом поле возникает сила, вызывающая поступательное движение диполя: Е = г7оЕ = д — !соха = р — сова. дЕ дЕ ах ах Здесь поле направлено по оси х. Если диполь направлен по полю, то Е=Р— '.
(1.11) Из суперпозиции и (1.3) можно получить теорему Гаусса. Потоком вектора называется скалярное произведение этого вектора на вектор площадки (единичный вектор нормали на величину площадки), через которую вектор как бы протекает. Поток через площадки конечной величины в случае меняющегося по пространству вектора надо вычислять интегрированием по бесконечно малым площадкам. Используя выражение (1.3), для потока вектора напряженности электрического поля от точечной массы с зарядом д, (точечного заряда) через замкнутую поверхность, получаем ы ф ЕаБ = ф Ег)Бг = ф д~ — ~ = ф д, Йй = 4я9п г Е(г)4ягг = 4я()р(г)4яг г)г, о откуда Е(г) — — 4п(р(г)ггег о (1.13) Для постоянной плотности имеем линейную зависимость Е(г) = — ярг. 4 3 В векторном виде Е(г) = — ярг; (Е(г) = 1 =3 ' ', =3',' (1.!4) Если плотность отлична от нуля только до некоторого Я, то для г > Я из (1.13) следует Е(г) = — яЯор — = ~ —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
