Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 3
Текст из файла (страница 3)
3 г' г' г (1.15) Это совпадает с выражением (1.3) для точечной массы. Отсюда для взаимодействия двух сферически симметричных распределений зарядов получаем силу взаимодействия такую же, как для точечных Гз е еЯ вЂ” проекция площадки поверхности на направление поля; И вЂ” телесный угол из точечного тела на бесконечно малую плоку поверхности.
( Используя суперпозицию, для произвольного заряженного тела с 15екоторым распределением зарядов получаем теорему Гаусса для су~имы зарядов д внутри замкнугой поверхности: ! )емВ-4 у; (фешВ-Ц. (1. 12) оо) Теорема Гаусса может быть использована для вычисления напр енности поля в тех случаях, когда легко вычислить интеграл. Например, в случае симметрии поля: сферической, цилиндрической или плоской. В случае сферической симметрии распределения заряда напряженность на одном и том же расстоянии г от центра симметрии одинакова по абсолютной величине для всех направлений, и для переменной плотности заряда р получаем заряженных тел. Логика такая: поле первого заряда такое же, как точечного, значит, сила взаимодействия та же, что для точечного второго зарядов.
Но силу со стороны второго заряда на точечн заряженное тело вычисляем по полю от второго, которое такое ж как для точечного, равного заряду второго тела. На рис. 1.6 показано изменение напряженности электрическо поля Е тела радиусом Я с постоянной плотностью заряда. В металлических телах есть электрические заряды, которые мо свободно перемещаться. Под действием электрических полей в н может происходить перераспределение зарядов — поляризация. 3!!- ряды, помещенные на металлический шарик, располагаются равномерно (при отсутствии влияния каких-либо других зарядов или полей) на его поверхности. Внутри металлического шарика (как и любого проводящего тела) электрическое пале отсутствует.
Если вокруг такого металлического шарика (радиусом Я,), имеющего заряд Д, концентрически расположить незаряженную металлическую оболочку конечной толщины (внутренний радиус Я, наружный Я ), то поле будет меняться так, как показано на рис. !.7. Напряженность поля падает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра шарика. Внутри металлической оболочки поле отсутствует.
На поверхностях оболочки появляются заряды, по абсолютной величине равные заряду шарика (на внешней с тем же знаком, а на внутренней с противоположным). Зависимость напряженности от расстояния за оболочкой продолжает ту же зависимость, которая была перед ней. Поле вокруг равномерно заряженной сферической поверхности (с поверхностной плотностью заряда о) определяется (1.15). На внешней стороне поверхности Е = 4яо, на внутренней — поле равно нулю.
Найдем поле Е,, которое будет в центре небольшого отверстия, вырезанного в этой поверхности (М 1.12). Воспользуемся принципом суперпозиции: сумма Е, и поля в центре площадки, которую затем удаляют, определяемая (1.6), должна давать соответствующие поля на заряженной сферической поверхности (внутри и снаружи). Следовательно, Е, = 2яо и направлено от центра сферы. Рвс. 1.6 я! я2 л3 Рве. 1.7 Е=8 1'+ 46' Поле от плоскости с плотностью заряда на поверхности о Е=2яо; Е=— (1.17) Отметим, что поле не меняется с расстоянием от поверхности и совпадает с результатом для точки в центре диска (1.6) и для диска при Я-~ Для проводящей (например, металлической) пластинки, на которой плотность заряда а (по о/2 на каждой поверхности), поля с каждой стороны определяются (1.17) (внутри направлены в противоположные стороны и дают нуль). Изменение поля (с учетом знака) при переходе через пластинку ЬЕ = 4яо; ЬЕ = — 1. ео) (1.18) Такое же изменение (скачок) нормальной компоненты поля будет при переходе через любую заряженную поверхность.
Электрическое поле вблизи поверхности Земли (на площадке, характерный размер которой значительно меньше радиуса Земли) можно считать плоским. Поэтому при известном изменении напряженности поля 6Е с изменением высоты л для средней плотности заряда в атмосфере р из теоремы Гаусса (1.12) получаем (М 1.20) ЬЕ Р = —. 4кя ' 17 Поле вокруг цилиндрического тела с погон- и~ нуй плотностью заряда д из (1.12) получаем Е= 2 ~; (Е= ь 1 (116) ~ Найдем напряженность поля от двух бесконе )но длинных параллельных проводов, расстоян~)е между которыми 1, с линейной плотностьк) зарядов+у и — д, на расстоянии Ь от плоскости, в которой лежат провода, в точке, Рис. 1.8 лежащей в плоскости симметрии (М 1.14). На рис. 1.8 показано расположение проводов в плоскости, перпендикулярной плоскости симметрии.
Используя (1.16), получаем При аЕ= 75 В/м и л = 1500 м получаем р = 1,33 10 9ед. СГСЭ. Измерения показали, что земное электрическое поле меняется во времени. Кроме регулярных (суточных и годичных) существуют н нерегулярные изменения. В среднем напряженность электрического поля у поверхности Земли равна 130 В/м. Заряд Земли отрицательный и равен 6 1О' Кл. Так как электрическое поле направлено к поверхности Земли, отрицательные заряды будут двигаться ввер1с, и в атмосфере появится положительный заряд (р > 0). Рассмотрим две бесконечные плоскопараллельные металлические пластинки, помещенные в вакууме параллельно друг другу и имеющие одна на единицу площади полный заряд (т.
е. сумма зарядов на обеих поверхностях пластинки) дп а другая — д (М 1.13). На рис. 1.9 показаны пластинки и соответствующие параметры (Е— напряженности поля, а — плотности зарядов на поверхностях). Складывая поля от плоских зарядов, которые определяются (1.17), с учетом их направлений внутри металлических пластин, где они должны быть равны нулю, получаем 2я(о,' — а, — о, — о',) = 0; 2я(а,'+ а, + а, — а,') = О. Складывая и вычитая эти соотношения, находим а', =а,', о, =-а,. По условию Отсюда Ч~ '7т, ° ° % + Чт а, = -а~ = — ', а; = а~ = 2 ' 2 Используя эти результаты и теорему Гаусса (1.12), получаем из потоков через поверхности 1 и 2 Е = 4яо, = 2я(д, — дз); 1 Е; = Е; = 4яа', = 2я(д, + д,). Конструкция из двух проводящих пластин, на которых можно поместить заряды, называется плоским конденсатором.
Рнс. 1.9 18 Воспользуемся теоремой Гаусса (1.12) для нахождения напряженности поля внутри и вие плоского слоя толщиной 1с равномерным распределением положительных зарядов с объемной плотнортью р (Ма 1.15). На рис. !.10 в плоскости, перпендикулярной слою, показаны поверхности, через которые вычисляются потоки вектора напряженности. Так как вектор напряженности имеет составляющую только в направлении оси х и существует симметрия относительно средней плоскости (х = О), получаем для потоков через поверхность с единичной плошадью: для поверхности 1 имеем 2Е = 4яр2х, для поверхности 2 — 2Е, = 4яр1. Откуда находим линейное возрастание напряженности внутри слоя Е = 4ярх и постоянную напряженность поля вне Е, = 2яр1.
Теорема Гаусса является интегральным соотношением. В некоторых случаях удобнее иметь дифференциальные соотношения. Для этого надо рассмотреть бесконечно малый объем. На рис. 1.11 в декартовых координатах показан бесконечно малый объем пхдуИх. Чтобы не загромождать рисунок, поток вектора напряженности поля Е показан только вдоль одной координаты х (проекция вектора на эту ось Е„). По другим координатам потоки подсчитываются аналогичным образом.
Обозначая плотность заряда р, из (1.12) получаем ~ЕНБ = 4яд = ЭЕ„ЭЕ ЭЕ, = — "Ихйуг1~ + — г йудхг1х + — 'Яйхйу = Э х Эу Эт = Мч Е г1хг)уМ = 4яр Ихой. Е~ '— Рис. 1.11 Рис. 1.10 !9 Здесь введено обозначение йч, называемое дивергенцией (расходи- мостью) вектора Е, йчЕ= Ит (~ ). ьг->о ьи Таким образом, теорема Гаусса в дифференциальном виде йчЕ=4яр; йчЕ= ~~. со 3 (1.19) В декартовых координатах, как это получено ранее, ЪЕ„ЪЕ дЕ, йчЕ=,с+ г + е дх Ъу Ъ (1.20) В случае цилиндрической симметрии относительно оси с, изображенном на рис. 1.12, получаем (Е, +ЪЕ,(дгдг)(г+ дг)дфдг- Е„гдрй йчЕ— гдоагй ЪЕ, Е, 1 д(гЕ,) = — + — =-— Ъ.г г, Ъ. (1.21) В случае сферической симметрии (Е, +ЪЕ,/дгдг)4п(г+ Иг) - Е,4яг~ йчЕ— 4хг~ег дЕ, ' Е, 1 д(г Е„) = — '+2 — '=— Ъг~ г гг Ъ.
(1.22) — =4яр и Е=4ярх+С. ИЕ Нх Постоянная интегрирования С определяется из условия симметрии задачи: при х = 0 напряженность поля равна нулю и, следовательно, С = О. Вне пластины заряда нет 20 При равномерном распределении заряда (плотность р) в бесконечной плоской пластине толщиной 2Ь напряженность поля можно вычислить, пользуясь теоремой Гаусса в дифференциальном виде (М 1.19). Из (1.19) и (!.20) внутри пластины — Й дг (р = 0) и из тех же соотношений напряженность поля постоянна.
Ее значение определяется условием на границе пластины, где Е = 4ярЬ. Для равномерно заряженного шара из интегральной формулы Гаусса (1.12) была найдена напряженность поля (1 14). Можно также воспользоваться теоремой Гаусса в дифференциальном виде (Ж 1.19). Из (1.19) и (1.22) получаем Ее р= 2яг ' Если внутри равномерно заряженного шара имеется сферическая полость, в которой заряд отсутствует, то поле внутри такой полости можно найти из суперпозиции решений для равномерно заряженного шара и противоположно заряженного с той же плотностью шарика, наложенного на полость.
Используя (1.14), для поля в точке А (рис. 1.13) находим ()чо 1.22) ~ Е - — ). 4 4 Е = — яа(г, — г2) = — яр!; 3 3 (1.23) Рассмотрим суперпозицию полей напряженности от двух однородных шаровых зарядов противоположных знаков и одинаковой плотности, центры которых смешены на расстояние а (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
