Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В диэлектрике имеется однородное электрическое поле напряженностью Е и вектор поляризации Р всюду (за исключением полости) имеет постоянное значение (№ 3.15). На рис. 3.6 показана сфера и элемент ее поверхности УЕ= ~ЫОЕо(пО (у. Плотность индуцированного на поверхности сферы связанного заряда а = Рсооб. В силу симметрии поле в центре сферы направлено так же, как Р. Это учитываем при интегрировании поля от индуцированных зарядов: л 2л Е„= ) о(О( РсооОй~ з(пО2(2у — = о о = 2яР~з)п Осоо~ ОлУО = —.
(3.47) 3 Ряс. 3.6 79 Из (3.2) и (3.9) получаем (е — 1) Е 3 (3.48) Отметим, что поле в сферической полости определяется (3.32) 4лР 3 Если диэлектрик состоит из диполей р по Ф штук в единице объема, то при отсутствии их взаимного влияния друг на друга получаем из (3.1) Р = Л/р и из (3.2) Р = аЕ. Обозначая поляризуемость диполей (например, молекул) Д, получаем для диполей р = !3Е и связь с поляризуемостью среды а = Ф!!. Влияние диполей друг на друга можно учесть, считая, что поле вокруг одного диполя, создаваемое другими диполями, соответствует (3.47), и вместе с приложенным описывается (3.32). В таком случае для поляризуемости вводим а, = Ф!3 и для суммарного поля Е, Р = !ур = !урЕ, =а,Е, =а,Е+4ла, Р Отсюда получаем Р= а0Е = аЕ 1 — 4 лае/3 ао и а= 1 — 4лаО/3 Отметим, что ае — поляризуемость, вычисленная без учета отличия Е, от Е.
Из (3.9) находим 4лае е =! +4ла =1+ 1 — 4лае/3 Откуда следует формула Лоренц — Лорентца для определения е с учетом влияния днполей в диэлектрике друг на друга (М 3.16) е — 1 4лУ~3 (3.49) с+2 3 Эта формула хорошо подтверждается для диэлектрических жидкостей, поляризуемость которых а не мала по сравнению с единицей. Рассмотрим газ из молекул, представляющих упругие диполи с молекулярной поляризуемостью р, для которых дипольный момент р = ВЕ. Если в такой газ, имеющий температуру Т и среднюю кон- 80 центрацию и, внести заряженный шарик, то в результате притяжения молекул к шарику и их теплового движения установится больцмановское распределение молекул в электрическом поле.
Сила притяжения определяется (1.11) ЪЕ дЕ 1 д(фЕ ) ЪИ' Р=р — =рŠ— =— дх дх 2 дх дх где, по определению силы в потенциальном поле, И' — потенциальная энергия. Распределение Больцмана дает для распределения числа молекул в единице объема от величины поля в случае малого возмушения концентрации (би «и,) (см. 2, с. 188) и=и ехр — =и 1+— Для заряда в диэлектрической среде из (3.9) и (3.10) имеем Р = — = еЕ = Е[1 + 4ли(г) Я = Е(1 + 4аиоб)+ 4пиф —. 0 Е 2 ИТ Решаем это уравнение методом последовательных приближений.
В качестве первого приближения берем В ! 1+ 4аиаб и подставляем в предыдушее уравнение. В результате для зависимости напряженности поля от расстояния в газе, состояшем из диполей, имеем (М 3.21) 1 — ~0(г) /(1+ 4аиеб) ~4хиаб~/АТ Е(г) = Ю(г) 1+ 4лиой Если в пространство, первоначально занятое однородным электрическим полем Е„вносят длинный диэлектрический цилиндр так, что его ось перпендикулярна начальному полю Е„то диэлектрик поляризуется однородно, и в соответствии с (1.31) поле за счет поляризации Е„= — 2ара. Вводя вектор поляризации Р (поляризация единицы объема), получаем для поля за счет поляризации Е„= -2аР.
Полное поле в диэлектрике включает приложенное поле Е, и равно Е = Е, — 2аР. Так как именно это поле 8-2073 81 вызывает поляризацию„с помощью (3.2) получаем Е = Ео — 2лаЕ. Учитывая (3.9)„находим (№ 3.20) Е= = — и РгаЕ= Ео 2Ео (о 1) Ео 1+ 2ла я+! 2л(о+1) При выключении внешнего поля в диэлектрике может остаться так называемая замороженная поляризация. Связанные заряды на границах диэлектрика создают электрические поля вне и внутри диэлектрика. В случае плоского слоя диэлектрика с замороженной поляризацией Р, перпендикулярной границе, поле будет как в плоском конденсаторе: снаружи нулевое (и Р = О), внутри из (3.5) получаем Е = — 4лР. Для шара из диэлектрика с замороженной поляризацией Р можно воспользоваться (1.25) и (3.3) или сразу (3.20).
Получаем, что поле внутри шара Е =- — лР. 4 Вне шара поле определяется диполем с моментом, равным произведению Р на объем шара (3.21). Если напряженность поля в диэлектрике Е, то поле в полости виугри диэлектрика из суперпозиции (3.32) Е„= Š— Е = Е+ — лР. 4 Найдем поля Е и Р для тонкого диэлектрического цилиндра длиной 2! и радиусом г «1 с замороженной поляризацией Р, направленной вдоль оси цилиндра (№ 3.7, № 3.8).
Электрическое поле создается связанными зарядами на торцах цилиндра. Из (3.3) получаем плотность зарядов на торцах: и = Р на верхнем торце, если поляризация направлена вверх, и о = — Р на нижнем (рис. 3.7, а). Напряженность поля на торцах определяется плотностью зарядов (1.17) Е = 2ло = 2лР. Вдали от торцов поле меняется как от зарядов д = лог'.
В середине цилиндра Е= д/Н. Еще набольших расстояниях поле превращается в поле диполя. На рис. 3.7, а показаны силовые линии напряженности поля, на рис. 3.7, б — силовые линии вектора 0 = Е + 4лР. Видно, что вне диэлектрика линии 1) совпада-, ют с линиями Е, а на боковой поверхности резко меняют направление. Изменение вектора Л1) = 4лР.
При переходе через торцы вектор П не меняется. вг Ряс. 3.7 В случае короткого цилиндра радиусом Я и высотой 6 «Я с замороженной поляризацией Р, направленной по оси цилиндра, напряженность поля близка к напряженности поля в плоском конденсаторе: внутри Е = 4яо = 4яР и направлена противоположно Р, а снаружи поля нет. Если учесть конечность размера диэлектрика, то, пользуясь для поля заряженного диска формулой (1.5), в центре поверхности диэлектрика получаем напряженность поля ()Ча 3.8) Е= —. Я Для бесконечной полоски диэлектрика шириной !, и толщиной ! «Е с вектором замороженной поляризации Р, перпендикулярным меньшей грани (рис.
3.8), найдем поле Е и индукцию Р на средней линии (М 3.9). Поле на средней линии полоски будет как от двух линий с зарядами на единицу длины линии, равными а! = Р! и — о! = — Р!. Это, как следует из (1.16), дает поле Е = — 8Р!/!,. Для индукции из (3.5) получаем 0 = 4(я — — )Р. Если диэлектрический образец с замороженной поляризацией Р имеет форму полого цилиндра радиусом Я и толщиной стенки Ь к Я с разрезом ширины ! «Я (сечение его и направление вектора поляризации показаны на рис.
3.9), то поле в точке А будет от двух заряженных линий с зарядами на единицу длины оЬ = РЬ и в* 83 Рис. 3.9 Рис. 3.8 — оЬ = — РЬ, отстоящими друг от друга на 1 и находящимися от точки А на расстоянии 2Я. Используя (1.16), из геометрического сложения получаем РН Е = —. 2Д2 ' Так как этот вектор направлен противоположно вектору Р, (в точке А), получаем (№ 3.10) 8)л = 4я- — з Р, Аналогичным образом решается задача для желоба, сечение которого показано на рис. 3.10 (№ 3.11). Из (1.16) и геометрического сложения находим в точке А ЬРл Е л и из (3.4) )Зл = (4я — )Рл.
Рассмотрим тонкий диск из диэлектрика радиусом Я с отверстием радиусом г толщиной Ь «к ге замороженной поляризацией Р, параллельной поверхности диска (рис. 3.11). В соответствии с (З.З) плотность связанных зарядов на внешней поверхности о = — Рсозб, а на внутренней — о = Рсоа О. Электрическое поле, создаваемое 84 Ряс. 3.10 в центре диска этими зарядами при угле О, направлено вдоль ради- уса и равно ЫЕ = — — — = сй~ — — — ! = Рй~ — — — )созОЫО. Гд Гд Г ЫО ЯИО'~ I! 1 ! г~ р! ~ гз дз ! !г я! В силу симметрии относительно вертикальной линии при интегрировании по всем углам остается только вертикальная составляющая поля.
Учитывая симметричность подынтегральной функции, получаем (М 3.12) Е = 4Рл'( — — — ) ) сов' О Ю = яРл'! — — — ). Этой формулой можно воспользоваться для нахождения напряженности паля в центре отверстия в тонкой (толщиной Ь) длинной рейке шириной 21 (рис. 3.12) с замороженной поляризацией, перпендикулярной краям рейки. Связанные заряды на краях рейки дают поле, как от двух противоположно заряженных нитей (1.16), а на отверстии— по последней формуле. В итоге (Ж 3.14) Е = 4Ь(- — -) —. На рис. 3.13 показано поперечное сечение диэлектрической пластинки толщиной 2л с замороженной поляризацией, направленной перпендикулярно ее поверхности (по оси х) и равной 85 Рве.
3.12 где х отсчитывается от средней плоскости пластинки. В силу симметрии относительно средней плоскости по теореме Гаусса вне пластинки имеем Е,„„= Р = О. Из непрерывности нормальной компоненты электрической индукции на границе диэлектрика и внутри пластинки Р = О. Из (3.5) Е,„п = — 4яР. Разность потенциалов между боковымн поверхностями пластинки (№ 3.13) находим из (2.6) Ь ь Г' „г'1 % — ~Рг = 1 Е~х = 4 "~о) ~1 г ~'(х = -Ь -л Ь лГ =-З,Я,ф-* ~а=-иг,-". о Для диэлектрической пластинки с замороженной поляризацией Р, перпендикулярной поверхностям пластинки, поле Е и индукция 0 снаружи равны нулю. Так как индукция 0 на границе диэлектрика непрерывна, то нз (3.5) следует Е = — 4пР.
Если такую пластинку поместить внутрь плоского конденсатора (рис. 3.14), пластины которого, находящиеся на расстоянии 1, соединены между собой, то картина полей изменится. Наличие связанных зарядов на поверхности диэлектрика приводит к тому, что на пластинах конденсатора наводятся свободные заряды плотностью о, разных знаков. Учитывая, что плотность связанных зарядов на поверхности диэлектрика а = +Р и что из непрерывности Р для поля вне диэлектрика имеем Е„,„= Р = Е+ 4пР, из (2.6) и равенства потенциалов на пластинах конденсатора (по условию) получаем Е,„„(1 — Ь) + Ел = О. Решая это уравнение совместно с йредыдущим, находим (№ 3.19) 4кРЬ Е 4пРΠ— л) внеш Р .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
