Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 64
Текст из файла (страница 64)
3 сги я = глгг— ,сг,, Рассмотрим, как меняется ток проводимости в конденсаторе при раздвнганни его пластин с постоянной скоростью (М 12.10). Пренебрегая краевыми эффектами и считая, что при движении пластин расстояние между ними (х) остается всегда малым по сравнению с 490 их линейными размерами, для электрического поля Е (при отсутствии диэлектриков равного индуктивности .0), разности потенциалов ~'и заряда у получаем Р= Е= 4яХ=— У х Учитывая (12.5), при постоянных д и площади пластин Я имеем отсутствие тока смещения, а при постоянной разности потенциалов на обкладках И 4ях~ где и — скорость раздвигания пластин. При сдвигании пластин изменится направление тока смещения.
Рассмотрим плоский конденсатор, состоящий из двух одинаковых соосных дисков, подключенный к источнику постоянного напряжения Ж В момент времени г = О расстояние между дисками начинает увеличиваться по некоторому закону Л(1). Найдем вектор Пойнтинга Я и электромагнитную энергию ИЯг, 1), переносимую через цилиндрическую поверхность радиусом г, расположенную внутри конденсатора вокруг оси, как функцию времени, считая, что расстояние между пластинами остается все время малым по сравнению с радиусом (Ж 12.33). Напряженность электрического поля в конденсаторе Е = Ж/Л. Из (12.1) Л' г 2сЛз Из (12.23) Я=бг —. Л' 8яЛ Для переносимой энергии получаем )Ь' = ~.СЛ2яп(Г = бзг~ ' Л9 1/ — 1/Л о 4 По длинному отрезку коаксиальиого кабеля, у которого оболочка (радиусом Я ) и центральный проводник (радиусом гр) изготовлены из разных сверхпроводииков и замкнуты на торцах, вначале циркулирует ток ~, (рис.
12.1О). Найдем вектор Пойнтинга после перехода внутреннего проводника (в результате нагрева) в нор- 49! мальное состояние и электромагнитную энергию (на единицу длины кабеля), перенесенную за время затухания тока, предполагая, что скорость изменения тока Н/(1г известна (М 12.38). Магнитное поле внутри кабеля определяется током по центральному проводнику (5.2) Н„= — ', где г — расстояние от оси симметрии кабеля. Для определения электрического поля вычислим его циркуляцию по контуру (12.2), изображенному на рис. 12.10 пунктиром, учитывая, что в сверхпроводяшей оболочке кабеля электрического поля нет: 1 ('~%р 2 й! я, Е,! = — ! — чыг = — — — 1п —.
—,ж Г Здесь учтено, что — <О; Е >О. сУ Й В соответствии с (12.23) вектор Пойнтинга направлен к оси кабеля и равен 1 (и/й)! и (Л,/г) сс г Электромагнитная энергия на единицу длины кабеля за время затухания тока И ( ° (-/«2 ««-( — ') « ~ — ~. (-е — ««ч 1 2Я Рис. 12.11 Рвс. 12.10 492 При г= г И'(г,) — — 1и — . Учитывая, что погонная индуктивность кабеля Е=21п— получаем 12 И'(гс) = А 2 На рис. 12.11 показана цепь, в которой источник постоянного тока нагружен на сопротивление Я через коаксиальиую линию (радиусы внутренний г, н внешний г ) длиной 1зь г,.
В некоторый момент ключ К, отключает линию от источника и одновременно К, замыкает накоротко нагрузку. Полагая все сопротивления, кроме Я, пренебрежимо малыми, а величины ЭДС (напряжение )г), 1, г, заданными, найдем, при какой величине г, энергия, излученная линией после срабатывания ключей, будет минимальной (М 12.41). В момент срабатывания ключей ток в цепи 1 = ~/Я. В отсутствие омической диссипации излучается вся энергия, имевшаяся в коаксиальной линии: 12 1,2 И' = Š— +С вЂ”.
2с 2 Для определения индуктивности воспользуемся (12.1) и (5.31) 'з 2ягН = 4я —; Ч' = ) 2Н вЂ” = 211 1п(4 с' сг Откуда Е = 211п Обозначая заряд на внутреннем цилиндре Д, получаем из (1.12) или (12.3) для напряженности электрического поля в зависимости от г (расстояния от оси симметрии) Е= —. 1г 493 Для разности потенциалов находим Откуда Таким образом, энергия, излученная линией, )р /21 1а(2/1)+ с~ фд) 1п(гз/~~)~ Обозначая !и — =х, г~ б получаем, что для частного случая с = 2/Я, надо найти минимум у = х + 1/х. Приравнивая нулю производную, получаем минимум при х = 1, т. е.
при ~ = е = 2,718. Для цепи, изображенной на рис. 12.11, с замкнутым ключом К, и разомкнутым К найдем величину нагрузочного сопротивления, при котором в случае заполнения пространства между проводниками коаксиального кабеля диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е = 2 электрическая и магнитная энергии в диэлектрике окажутся одинаковыми, если (М 12.65) 2б ез Используя (12.3), получаем Е = А/г. Постоянную А находим из условия для разности потенциалов 'г и К = )' Ей = 1 А — = А 1и ~ — ~. аг /гз 1 о о Г б Поэтому и/г 1п (гз /г~ ) Из (5.2) магнитное поле Так как получилась одинаковая зависимость полей от г, то энергии в пространстве между проводниками одинаковы, если равны плотности энергий, определяемые (3.75) и (6.5), т. е. еЕ' = Н', или /е Е = Н.
Используя это, находим Я = = 21п(е ) го — — 127 Ом. 21п(гз/г~) о 9.10' сД (3 10го) Г2 Обратим внимание, что соотношение между электрическим и магнитным полем при такой на~руане, которая называется согласованной, такое же, как в бегущей плоской волне (12.21). Рассмотрим отрезок коаксиального кабеля длиной 1, подключенного к входу усилителя с очень высоким входным сопротивлением, другой конец которого замкнут накоротко, а пространство между проводами заполнено диэлектриком (е) с малой удельной проводимостью о. Найдем наименьшую резонансную частоту ч,„и добротность Д контура, эквивалентного отрезку данного кабеля, считая, что потери связаны только с проводимостью диэлектрика (М 12.43).
В отрезке кабеля возникнет стоячая волна, в которой благодаря высокому входному сопротивлению на входе пучность напряжения и узел тока, а на замкнутом конце узел напряжения и пучность тока. Длина отрезка соответствует четверти длины стоячей волны для наименьшей резонансной частоты 1 = Х/4. Для минимальной частоты имеем в соответствии с (12.19) 1 1г с с т Л /оХ /о1 Учитывая гармоничность волны и используя для обозначения объема букву )г, находим для средней электрической энергии за период (В )=Д 1гш Е' —,=-,'И о г Потери за период на джоулеву теплоту из (4.12) и (4.7) Добротность системы в соответствии с (9.29) 0 =2я Рвс.
12.12 Электромагнитный импульс, описываемый (12.24), можно наблюдать в системе, изображенной на рис. 12.12, где заряженный конденсатор, в котором электрическое поле Е, помещен внутрь соленоида прямоугольного сечения, находящегося вместе с батареей постоянного тока и ключом, который включает ток в соленоиде и первоначально разомкнутый, иа платформе, которая без трения может двигаться по горизонтальным рельсам. Найдем импульс системы после замыкания ключа (№ 12.12, 12.11). На рис. 12.12 показаны электрическое Е и магнитное Н поля (после включения тока). В соответствии с (12.24) в объеме конденсатора )гпоявляется электромагнитный импульс (ЕН]Г 4ас Для неизменности полного импульса системы, которого до включения тока в соленоиде не было, платформа должна двигаться в направлении, противоположном Р. Найдем вектор Пойнтинга, при распространении в свободном пространстве цилиндрического электронного пучка радиусом Я с концентрацией электронов л и кинетической энергией каждого электрона Е.
Предполагая, что скорость электронов не очень большая (нерелятивистский случай), получаем для скорости =6)' где т — масса электрона. Обозначая заряд электрона е, для плотности тока в пучке получаем / = пеа. Используя (1.12), получаем электрическое поле внутри пучка Е,.„ = 2пиег и вне пучка Е,„= 2яЯ~п-, 496 где г — расстояние от оси симметрии пучка. Из (5.6) для магнитного поля внутри пучка Н = 2яг — = 2яиеи— / г еи с с и для магнитного поля вне пучка Н = 2яЯ2 У = 2яЯгие —. С помощью (12.23) получаем плотности потоков энергии: внутри пучка яь = яигегигг и вне (№ 12.29) Ю =яЯие —.
агге еи г г Видно, что поток энергии идет со скоростью пучка. Рассмотрим цилиндрический элеат(линней пучок с концентрацией и, И ПРОДОЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ ЗЛЕКтРОНОВ ге, ПРОХОДЯЩИЙ СКВОЗЬ Гаэ ПОЛОжнтельных неподвижных ионов с концентрацией, подобранной таким образом, чтобы скомпенсировать силы взаимодействия электронов в поперечном направлении. Найдем величину и направление вектора Пойнтинга внутри пучка, а также концентрацию ионов ит (№ 12.35). Из (12.1) находим азимугальную составляющую напряженности магнитного поля ЕЕЕе С22Г .
и 2игН =4п '; Н =-е2яге — '. с с Из условия равновесия электрических и магнитных сил Е„=-е — "= О с получаем Е, =-ге 2яге —. 2 Ие сг Из (12.23) находим 3 Я=сŠ— =ге — =хе и г —. ЕФФ222с ' 4я 4и ' сг 497 Чтобы найти концентрацию ионов и,, вычислим Е„по теореме Гаусса (1.12) или (12.3) 2и.1Е„= 4яс(п,. — п,)ягз(. Подставляя сюда Е,, полученное ранее из равновесия сил, находим л,=л, ! —— В случае распространения в свободном пространстве электронного пучка «ножевой» геометрии, т.
е. имеющего вид тонкого плоского слоя (М 12.31), вектор Пойнтинга можно найти тем же способом, что и в случае цилиндрического пучка. На рис. 12.13 показаны векторы полей и потоков энергии. Используя (1.12), получаем электрическое поле внутри пучка Еа ии 4ялехи вне пучка Е = 4ялеа, где х — расстояние от плоскости симметрии пучка. Границы пучка при х = ха. Из (5.6) для магнитного поля внутри пучка .х с Н = 4щ' — = 4яле— /и с с и для магнитного поля вне пучка Н = 4щ' — = 4яле —. .а аи с с С помощью (12.23) получаем плотности потоков энергии: внутри пучка Яи = 4ял'е'их' и вне Е = 4пл'е'иа'.
Видно, что поток энергии идет со скоростью электронов в пучке. Найдем величину и направление вектора Пойнтинга в произвольной точке внутри проводника (и = 1), имеющего форму плоской ленты (толщина много меньше ширины), по которой течет ток плотностью у, а носителями тока являются электроны (заряд — е) с кон- Рис. 12.14 центрацией и (М 12.34). Координату у будем отсчитывать от средней плоскости ленты в перпендикулярном направлении (рис. 12.14). Из (12.1) для магнитного поля получаем Н = 4я1у. Благодаря эффекту Холла (силе Лоренца) устанавливается электрическое поле, определяемое равновесием сил иеЕ (у) = /Н„У, Из (12.23) для вектора Пойнтинга находим Н2 $ = — 1 — = -14~У 4иие сзие Следует обратить внимание на то, что вектор1 направлен противоположно скорости движения электронов.
Энергия идет туда, куда летят электроны. Если по цилиндрическому проводнику течет ток, то, как следует из (8.1), в направлении радиуса создается электрическое поле (эффект Холла). В случае однородной по сечению проводника плотности тока / = еис, где е — заряд электрона; и — концентрация электронов проводимости; и — их скорость, предполагая для проводника диэлектрическую и магнитную проницаемости, равными единице (е = р = 1) и обозначая расстояние от оси проводника г, получаем из (5.7) магнитное поле Н =2~у —, с а из (8.1) электрическое поле Е=2Я12 г еис На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
