Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Используя, что при Н = 0 и В = О, получаем В = цзН вЂ” рзН 3 Из (5.6) следует Н =2У вЂ”. сг Если в катушке течет переменный ток 1 = 1о з(п он, то, вводя обозначение Н, =2Ф вЂ”, зо сг находим для индукции магнитного поля В = р,Но з(наг — — р,Но з(п вп 1 з-з 3 Используя (10.20), (7.1) и (10.18), находим для схемы, изображенной на рис. 11.25, (М 11.24) з'з 1= -Ва С ~рзНо - рз — ) з(наг+--Яв рзНо зшЗап 1 з Но ° 31 з 3 с ( з 4 4с Найдем, каков спектральный состав выходного напряжения У,„„ (т. е.
амплитуды и фазы спектральных компонент) в схеме, изобра- женной на рис. 11.26, если обе индуктивности одновременно изме- 447 и =и, Рис. 11.25 Рис. 11.26 няются по закону А = .(,о(1 + т соз й!), считая, что т < 1, в» й и вЕ, к )! (М 11.25).
Используя (10.26) и (10.28), получаем ( !вы Я ( Я+ !вЬ Я+!вА где !8 Оо = вЕ/А. Учитывая условие, (7. ° = (Уо соз вг — 2лкот-о — 2в — ) = соз зи' 2,( я1 и1) = У созвг+2(7 в — 1соз~(в+й)г- — ~+соз~(в-й)г- — ~~. о о 2) 2Д Найдем, каков спектральный состав выходного напряжения о', „(т. е. амплитуды и фазы спектральных компонент) в схеме, изображенной на рис. 11.27, если обе емкости одновременно изменяются по закону и..= и о — = — (1+ т сов йг), 1 ! с с Рис. 11.27 2вА 2<р = —.
Я Таким образом, если входное напряжение У = Уо соз вб то выходное напряжение У,„„= (7о соз (вг — 2ор). Подставляя фазу и индуктивность, учитывая, что 2вЕ/Я к 1, и пользуясь (11.14) и (11.15), находим считая, что т < 1, ез» ь2 и соЯСа л 1 (Хо 11.26). Используя (10.26) и (10.30), получаем /~ 1/(каС) ~ Я ~ ( Я + 1/озС 1 1/» С)~ Я + 1/(1 ~С)/ ~» ~ Я + /<4С) и (ыС) ~[Я~+1/(аС) )е "' где 1 гк<Р = —. ыСЯ' Учитывая условие, 2 2(р = —. ВСЯ Таким образом, если входное напряжение У,„= Ур сох юб то выходное напряжение У,„„= У, сох (езг + 2д). Подставляя фазу и емкость, учитывая, что 2аСЯ ъ 1, и пользуясь (11.14) и (11.15), находим У „= У сох гег+2т + сох Ж 2 ыС4Я мС4Я = У сов о~+ 2е — ~сох~(аз+ й) г + — ~+ сох~(со — й)(+ — у~.
и, ( Г а1 ~Л С,Я1 2~ 2Д) В вольтметре для постоянного тока ток поступает в катушку, которая может вращаться во внешнем постоянном магнитном поле. Выясним, какую величину измеряет такой вольтметр и что он будет показывать, если его включить через идеальный диод в розетку переменного тока с напряжением 220 В (М 11.27). Ток, текущий в катушке, создает магнитный диполь, на который в постоянном магнитном поле действует механический момент (7.8). Если катушка подвешена на упругой нити (или пружине), то поворот зависит от магнитного момента катушки, т. е.
от тока в ней, который определяется подводимым напряжением. Таким образом, измеряется подводимое напряжение. При включении через диод переменного тока, благодаря механической инерционности системы, происходит ус- 29-м73 449 релнение прикладываемого напряжения. Гармоническое (синусои- дальное) изменение напряжения дает ((/) = — 4 ) з)па2/2//= 'Ф =98,8 В.
т и 2 Т/2 ((/)2 = — о ( гйп2 а2/2(/ ю Ф . ((/) Ф 15б В На вход высокодобротного колебательного контура (2'„С, Я) в начальный момент времени / = 0 подается внешняя ЭДС (/(/) = У сов(й/+ 42(Г)) с законом модуляции Ч2(г) = а/' (ь2» ~Га). Параметры колебатель- ного контура удовлетворяют условию — « Найдем, через какое время после включения ЭДС амплитуда вынужденных колебаний в контуре максимальна и сколько времени должно пройти, чтобы амплитуда вновь уменьшилась (М 11.31). Изменение аргумента косинуса 2у(/) = ь2/+ а/2 соответствует изменению частоты а2 = — = й+2ак ЫЧ2 2// (11.23) 450 В вольтметрах для измерения постоянного или переменного напряжения используется принцип взаимодействия двух катушек, одна из которых подвижная.
Катушки соединены последовательно, так что через них проходит один и тот же ток. Выясним, какую величину измеряет такой вольтметр и что он будет показывать, если его включить через идеальный диод в розетку переменного тока с напряжением 220 В (М 11.28). В отличие от предыдущей задачи внешнее поле зависит от тока, поэтому момент зависит от квадрата тока, т. е. от квадрата пРиложенного напряжения. В таком виде вольтметр измеряет при постоянном токе квадрат напряжения, а при переменном — средний квадрат напряжения. При соответствующей градуировке — шкалы напряжение и среднее квадратичное напряжение.
Для среднего получаем Амплитуда достигнет максимальной величины, когда частота станет равной резонансной 1 Е1о = 2,С' Это произойдет в момент мо 2а Надо иметь в виду, что в начальный момент кроме вынужденных возникают также собственные колебания. Их затухание определяется коэффициентом затухания (9.9) Я Р=— 22. ' По условию характерное время затухания (9.25) — « Характерное время изменения величины сов (а!1) как раз порядка .Г, поэтому собственные колебания затухнут раньше, чем измена некие фазы приведет к резонансным колебаниям.
Сушественное снижение амплитуды произойдет, когда частота выйдет за ширину резонансной кривой (10.42), т. е. Ьа = б = 2агг Откуда б Я 2а 4а1, На вход высокодобротного колебательного контура (2, С, Я) в начальный момент времени ! = 0 подается внешняя ЭДС У(!) = а(!) сов аз! с законом амплитудной модуляции а(!) = а(1 + сов а!'), где со, » Га. Параметры колебательного контура удовлетворяют условию 2Ь )а 1 «„г Я 1(а 2С Найдем, через какое время после включения ЭДС колебания напряжения на обкладках конденсатора окажутся близкими к гармоническим (М 11.32). Для внешней ЭДС получаем У(!) = а(1 + сова!~) созе!4! = асов <о ! + а сова!~ созе! ! = = а сов в ! + (а/2)[соз(оэ,! — агз) + соз (е1,! + а!')1.
29* 451 Два последних слагаемых — модулированные по частоте колебания такие, как в предыдущей задаче. Из (11.23) законы модуляции ы,,(г) = ы, + 2аг. При смешении частоты на ширину резонансной кривой (10.42), (9.9) Ье5 = 2аГ = (3 = —. Я 2Е' модулированные колебания фактически исчезнут. Таким образом, колебания окажутся близкими к гармоническим через время г ) —, Я 4аА ' Сигнал У(г) = У, сов (вг+ и сов йг), где гл к 1 и й «а, подается на вход контура с высокой добротностью Д» 1. Резонансная частота контура ю = в — й. Найдем с точностью до малых поправок зависимость от времени напряжения на конденсаторе У(г), считая й ъ ге,/Д (М 11.33).
Воспользовавшись (11.14), (11.15) и (11.17), получаем для входного сигнала и(г) = иесозои+ — сов~(в+ь2)г+ — ~+ — сов~(о — й)г+ — ~. ти, г .-1 и, Г я1 2 2~ г 2!' Этот сигнал есть действительная часть действия в комплексном виде й~4=и,(~ ° — "*~'"''8'~4 <'" ""~4). ОЬ241 е е + е Импеданс контура (10.32) (11.25) г=л+ р, где (11.26) 18ср = —. Р Я При малой расстройке (Лг» «е5 ) из (10.38) !р~ = 2.г~л ~ = (2Я вЂ”. 2)Ьш) (11.27) (11.28) 452 Р(ы) = е54,— 1 аС Сдвиг фазы тока от входного напряжения (10.34) Для напряжения на конденсаторе в соответствии с (10.31) и (10.32) получаем й — ( (г+о) й,=, = .=й )вС )вСУ С(Яг г)))~ (11.29) Для разных гармоник получаем разные р, так как р зависит от частоты„и разные )р, так как они зависят от р.
Для частоты (в — 52), которая по условию равна реэонансной вв имеем р = 0 и <р = О. В этом случае, учитывая (9.27), получаем -»>/г (/с (/ уг > вС(Я +р ) 1 соо(в — о))( 1 (/с = л)(/о 2 вСЯ 2 = — )лУоДсоз(в — й)к Для частоты в имеем - е е -»> >(»>-») й,=й — =и,—; в Ср вСр в( (>о во и, =-и, — =- — с ° и вСр 2 ог Для частоты (в + й) имеем р(в) = р(во + 2(2) = 41,Й; (ко) = 4И2/Я = 4('„)й/во. Как в предыдущем случае, получаем -в >(» >.
а)> — о> ве й,=й — '=и,— ' вСр 2 вСр 1 соо(в + Г))( ис =-- ио 2 вСр 453 Р(о)) Р(во + ьг) = 2~(2; (я 4) = 2г'.оо/Я = 2М о2/в . Эта величина по условию очень большая, поэтому о) = я/2. Откуда, подставляя соответствующую гармонику в (11.29) и учитывая условие, получаем У = — тУ Дсоз(ю — ь2)г — — — созМ. ! и, ы, с 2 0 2 й На вход колебательного контура, настроенного на частоту <о, подается сигнал У,„(!) = У0(1+ тсоз(2г)созааб т < 1. Добротность Д» 1. Частота модуляции выбрана равной й = —. "о 2(2 Найдем амплитуды и фазы спектральных компонент напряжения (У„,„(г) (М 11.34). Из (11.12) и (11.13) получаем входной сигнал в комплексном виде (г) = (Уо ехр(иеог)+ — ехр! !(юа + 5?) !3+ ехр! !(о5о 52)г3.
(11.30) Используя (11.25) — (11.28) и (10.32), при малой расстройке получаем спектральные компоненты тока в виде е '" г)у ' Спектральная составляющая напряжения на конденсаторе -1(ч + я/2) й„„.= —," =ай„,' ывык йас аж У ~ У ~)!/2 (1+р 7 (11.31) Для разных гармоник получаем разные р, так как р зависит от частоты, и разные р, так как они зависят от р. Для частоты а = е50 из (1!.27) и (11.28) имеем р=О и ср=О. Для частоты (а + й) имеем р(о) +й) = 2И2= 2й0 —. Я а'о Отсюда, используя условие, получаем ~ =1. Я 454 Этим членом можно пренебречь по сравнению с гармоникой, соответствующей ы.
Таким образом, для зависимости напряжения на конденсаторе имеем Из (11.27) Для частоты (в — й) получаем л хв=- —. 4 Поэтому юва вмх У~2 а),„х = „У,е ''х~ — сов(~ — й)П о- а !х2 Сигнал на выходе представляет амплитудную модуляцию с глу- /П биной —. Суммарный сигнал ,Гг' 1 ха / Зп'! 1 хл / и'!1 ДУ ~сов! о5 х — — !+ — — сов ~аог + «2г — — 7!+ — — сов| о5 г — «2г — — ~~~ = =«1Уов«по!ох 1+ сов(в2г — — "1! /2 х 4 !З Чтобы построить векторную диаграмму, запишем результаты в комплексном виде: (1 ... = 0[/ое "~'ехр(«ооог)' У« „,! „= — Уо — е 'Ч'е'~ехР(14воГ); Ов х !2 «! Уо 2 е ~ е е р(!оо1) во а вых 72 Суммарный выходной сигнал в комплексном виде () =~ДЦе 'х" + «2 г/ — "'«е оМ4еха'+е ~/хе пхх)1ехр(!о5 Г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
