Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Из (5.23) магнитное поле в еоленоиде Н = 4п7У вЂ” = 4аЛЧс с! ~ с! Плотность магнитной энергии Н л„= 14 —. м вл' Пренебрегая краевыми эффектами, получаем магнитную энергию внутри соленоида ,„п)(г! 2пз ег л(г1г соз и! с Из (12.2) Е2пг = — — лг = пг 144пИ1си 1 д.В 7 7 маы! д! с! Откуда Е = 2п14Фе7г14 с1 Плотность электрической энергии еЕ л э 8л 473 Для вычисления всей электрической энергии внутри соленоида (опять пренебрегая краевыми эффектами) интегрируем 4 г 2,О2))!212!42п О2~12 !.
2 го2Е4)у212 зол о2~ э О 4!2 о О 4! с Отношение максимальной электрической к максимальной магнитной энергии равно ~2 ев( Ю) ~~ и пик В случае квазистационарности (О2Я «с) это отношение много меньше единицы. При изменении силы тока в соленоиде меняется поток магнитного поля н в соответствии с (!2.2) возникает вихревое электрическое поле, силовые линии которого представляют окружности относительно оси соленоида. Например, при возрастании тока с постоянной скоростью с(1/4(г = 1' в длинном воздушном соленоиде с радиусом намотки го, содержашим и витков на единицу длины, имеем для потока, используя (5.23), Ф = ягог4я1— с и из (12,2) ~ Е4!! = 2пгЕ = — — Ф' = ягог 4я1 Откуда для г = 2г (т.
е. вне соленоида) находим электрическое поле Е = яго1' —. с2 Если соленоид погрузить в диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е = 2, то в соответствии с (12.2) Е, = Е, а в соответствии с (3.8) 1), = 20 (М 12.20). На рис. 12.2 показана система из двух длинных соленоидов (один радиусом г, вставлен в другой радиусом г ) с одинаковой плотностью намотки и (витков на сантиметр), которые одними концами подключены к батарее постоянного тока ЭДС, равной Е, а другими замкнугы на сопротивление К Оценим, при каком сопротивлении электрическая и магнитная энергии системы будут одинаковы (М 12.66). Пренебрегая сопротивлением соленоидов, можем считать, что раз- 474 Рис. 12.2 ность потенциалов между ними равна У = И.
В случае цилиндрической симметрии из (1.16) или (12.3) получаем Е = А/г. Постоянную А определяем, используя (2.6): Находим электрическую энергию между радиусами на единицу длины соленоидов при ее плотности (3.69) Г ~я ~21п(Г/0)Д Г " 4)п(Г7/й) Приравниваем эту энергию к энергии магнитного поля на единицу длины соленоида иГ Нз г 2 гтл7 Г с Отсюда находим Л. Если внутри вертикально стоящей катушки, питаемой переменным током, подвесить проводящий цилиндр, то в нем возникает вихревое электрическое поле (ЭДС), вызывающее токи Фуко, приводящие к нагреванию цилиндра. Величина тока пропорциональна ЭДС (циркуляции электрического поля) и обратно пропорциональна сопротивлению (для одинаковых цилиндров удельному сопротивлению материала р).
Из (12.2) и (12.10) 1 11дВ и дН 1 — — гогЕ = — — — — =- — —, р р 3г р 37 ' где )4 — магнитная проницаемость материала. Нагревание может быть связано и с гистерезисом, если цилиндр из ферромагнитного материала, например из железа. Отношение токов Фуко, а значит, и нагреваний железа и меди, которая не 475 является магнетиком, но имеет меньшее удельное сопротивление, зависит от величины ц/р. Для меди и - 1, р = 1О " Ом м, для железа ц - 1000, р = 1О ' Ом м.
Поэтому ток в железе больше в 1О 000 раз. Железный цилиндр будет нагреваться быстрее медного вне зависимости от гистерезиса (Х 12.16). Для медного цилиндра радиусом а и высотой Ь в переменном однородном поле В = В сов ои мошность теплоты, выделяюшейся из-за токов Фуко, равна и Д = Ь) р/~2яп/г, о где г — расстояние от оси цилиндра. Пользуясь законом Ома (4.7), (4.8) и (12.2)„получаем При вычислении средней мощности теплоты надо учесть, что среднее значение з(п'сзг равно 1/2 (М 12.22). Если в цепь переменного тока / = /, сов сзг входит конденсатор (плошадь пластин Ю, расстояние между ними Ь), заполненный слабо проводящим диэлектриком (диэлектрическая проницаемость е, удельное сопротивление р), то токи проводимости и смещения идут параллельно. Обозначая поверхностную плотность зарядов на пластинах конденсатора а и плотность тока проводимости /, получаем Ыо / — = — —./ й Я Используя (3.8) и (4.7), находим йЕ Е / — + 4я — = 4я —.
й ре аЯ Для изменения напряжения 1'на конденсаторе имеем — + 4я — = 4я1 —. Л 1 Ь сг ре е5 Для решения этого уравнения удобно представить правую часть в комплексном виде ае'"' и соответственно искать )'= Р;е'"'. Подставляя в уравнение, получаем Р' = 4я/а Ь/еЮ (4я/о I/еВ)е в 4я/ре+!щ ~( з з~ю ' 476 Откуда (М 12.23) 4л/р Ь/е5 ~(4л/ре) +ю2) Можно воспользоваться представлениями об импедансе, переписав (10.32) для параллельного соединения сопротивлений У= 1+ коСЯ' где Ь о" Я =р —; С=с —.
о' 4ль Получаем тот же результат, так как 1; = 1о)Х~. Рассмотрим плоский конденсатор в виде двух плоских дисков с радиусами а и расстоянием между ними л, заполненный слабо проводящей средой (е = и = 1) с электропроводностью Э„который в момент времени г = 0 подключается к батарее постоянного тока с ЗДС, равной Й, и внутренним сопротивлением г. Найдем зависимость от времени тока проводимости 1„и тока смещения 1,„в конденсаторе, а также магнитное поле Н вблизи его боковой поверхности (М 12.72).
Обозначив напряжение на конденсаторе У, его емкость С и сопротивление току проводимости к 2 Зла и имея в виду, что ток через конденсатор равен сумме тока проводимости 1„ и тока смещения 1,„= СУ' (штрихом обозначена производная по времени), 1 = 1 + 1,„, из (4.20) В = У+ 1г и, следовательно, — =СУ + —. и — У , У г Я Интегрируя это уравнение при условии У(0) = О, получаем -лт У=бЯ Я+г ' 477 где т = СА А+г Откуда Г (1 — д') Ф'(1 + Я е д'/г) 1=1 +1 — — '+ ' по си Я+г Я+г Вблизи боковой поверхности конденсатора 21 2К(1+ Яе 'д/г) са са(Я+ г) Если этот конденсатор подсоединить к источнику переменного тока с ЭДС, равной (гсоаай и внутренним сопротивлением г, то для определения тех же параметров (М 12.73) можно воспользоваться комплексными представлениями. Импеданс конденсатора У= йоСЯ+ 1 Для полного тока находим 1 Д о(йоСА+ 1) 2 + г Я + г + йоСЯг Для тока проводимости 1„ Я Я + г + йоСЯг Действительная амплитуда [(Я+ г) + (вСАг) ~ Для тока смешения 1,„= 1УйоС = ФйоСЯ Я + г + йоСЯг Действительная амплитуда Если параметры схемы подобраны так, что а7СЯ = 1, то Ж ~пр ~ам 7 Щ ~(Я+г) +г 1 Из (12 1) ( пр+ Гам)» Д(1о7СЯ+ 1) Н2я» = 4я а с а с(Я+г+иоСЯг) При а7СЯ = 1 имеем 2о Г2» а с1(Я+ г) +г 3 Проводящий шар радиусом а = 20 см (рис.
12.3, а), находящийся при потенциале У = 3 104 В, разряжается через сопротивление Я = 5 10' Ом. В квазистационарном (следующем изменению тока) приближении найдем возникающее при этом магнитное поле В(0 г, О) вне шара (М 9.12). Заряд шара меняется, и меняется создаваемое им электрическое поле (1.4). Из симметрии картины и уравнения (12.1) получаем а'(~ Е„сйБ) ~ Нй = Н2яг =— с й С помощью рис. 12.3, б и (1.3) можно получить где д — заряд шара; й — телесный угол, для которого из рис. 12:3, а находим до й = 2я(1 — сов О).
Изменение заряда шара за счет тока через сопротивление А описывается (9.30), где в соответствии с (2.4) С = а и д = Уоае 4"'. Для магнитного поля -//ла В = Н = (7'оа(1 — созО)— саЯг Рас. 12.3 47о гогН = — —; о дЕ аг' (12.13) гогЕ = — — —. иан ао ' (12.14) Используя правую систему координат и (5.13), проектируем (!2.13) на у, а (12.!4) на г: дН одЕ (12.15) дх с де аег и ан, (12.16) ах с ас Дифференцируя первое по г, а второе по х, получаем волновое уравнение ас' ои ах' ~ дс' ооояов дх ) (12.17) Можно было бы продифференцировать (12.15) по х, а (12.16) по г и получить аналогичное уравнение для Ог Легко убедиться простой подстановкой, что решение уравнения (12.17) имеет вид Е = 7;(» — ~г) +~'(~+ г), (12.18) где 7, и 7 — произвольные функции своих аргументов (фаз); о — скорость распространения фазы (фазовая скорость): с с ~ с с1 ( и)' " 1 ( о ион)' (12.19) Здесь введен показатель преломления среды =-=(О": ! =-'=О.ооон'! уг, (12.20) 480 Возмущения электрических и магнитных полей распространяются в виде волн.
Получим уравнение, описывающее распространение плоской поперечной электромагнитной волны. Будем предполагать, что заряды и токи отсутствуют (р = О, 1 = 0), и волна распространяется вдоль оси х в однородной бесконечной среде с диэлектрической и магнитной проницаемостями о и )г. Из (12.9) и (12.10) получаем Для волны, бегущей в положительном направлении оси х, из (12.18) находим Е = !!(х — сг). Из (!2. !6) получаем „дн, дЕ,, ! дЕ, 1,„дЕ, — — = — — = -,7 (х — сг) = — — — (е!!) с дг = дх = ' = д! = с д! ' Отсюда (и) — ' = (е) ,!! дн, д дЕ, д! д! ' (12.21) Интегрируя и учитывая, что постоянных составляющих в волне нет, находим (и)д Н, =(е)~ Е, На рис. 12.4 показано, для примера, изменение электромагнитного поля в очень важном случае плоской поперечной гармонической (Г! — гармоническая функция: синус или косинус) волны. Из (12.21), (3.75) и (7.12) следует одинаковая плотность энергии в электрическом и магнитном полях.
Эта энергия распространяется со скоростью и. Уравнения Максвелла дополним законом сохранения энергии. Для этого умножим скалярно (12.13) на Е, а (12.14) на Н и сложим ! д(ее 72+ ин~~2) = -(НгогŠ— ЕгогН). с дг Пользуясь векторной формулой, получаем д(аЕ +!!Н )/8я д! (12.22) Рис. 12.4 3! 48! Введенный здесь вектор плотности потока энергии Б называется вектором Пойнтинга [ЕН) 4л [Я = [ЕНИ. (12.23) Поскольку плотности энергии соответствует плотность массы, то при распространении энергии со скоростью с, для плотности электромагнитного импульса й получаем Я [ЕН] [ [ЕНП $= — = — ' И=в сг 4лс ( с (12.24) Для двухпроводной линии из идеального проводника (без тепловых потерь), соединяющей генератор постоянного тока с нагрузкой (сопротивление Я), найдем вектор плотности потока энергии (вектор Пойнтинга) (М 12.25).
На рис. 12.5 показаны направления векторов. При отсутствии сопротивления подводящих проводов их потенциалы у, и д постоянны и отличаются на величину напряжения (падения потенциала) на сопротивлении нагрузки (Я). Учитывая направление магнитного поля, получаем из (12.23), что поток энергии идет от генератора к нагрузке между проводами линии. Если учитывать, что подводящие провода обладают сопротивлением, то у вектора напряженности электрического поля появляется составляющая вдоль провода (М 12.26). Это приводит к потоку энергии к проводу. Если провод имеет длину 1 и радиус г, а падение напряжения на этой длине [г и по нему идет ток силой 1, то на поверхности провода Е= —; О= —, Т сг а поток энергии через боковую поверхность, как следует из (12.23): 52лг[ = сЕН2лг — = 1У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
