Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 58
Текст из файла (страница 58)
т Т )„ ла 2' где А — амплитуда импульса; а = 2п/Т вЂ” первая гармоника. Так как т = Т(4, то для первой гармоники А . а А С, = — зш я 4 я 72 а для второй гармоники А С~ 2а' Рассматривая схему как делитель напряжения, получаем для резонанса С, „= С,, а для 1 вз =2ю = (1 С) используя (10.16), находим Сг Я Сз [Я~+(в1 — 3/о)С)~ [(9/4)1(С+Аз~ 0 Окончательно — з~- ж 0 0047 с, Сигнал с выпрямителя имеет вид У(г) (половинки косииусоид) (рис.
11.17 сплошная линия). Его подают на схему, изображенную парис. 11.18. Контур А, Снастроен на частоту еь; Я» ве7. и Я» и Рие. 11.18 Ряс. 11.17 439 г!4 В, = — ) сов'ы,л!г = —. 7„4 ' 2 (11.22) В результате Ул(г) = У(!) — — созщок 1 Вычитаемая часть показана на рис. 11.17 пунктиром. Окончательно получаем У„(г) = — !созыД. 1 2 Рассмотрим другой вариант, когда такой же сигнал (на рис. 11.17 сплошная линия) подается на схему, изображенную на рис. 11.19. Контур („С настроен на частоту гео; аобу» А л г. Считая контур идеальным, определим форму сигнала Ул(г) (№ 11.17).
Снова пользуемся разложением в ряд Фурье (11.1). Для первой гармоники в контуре Х, С наблюдается резонанс напряжений, т. е. нулевое сопротивление. Он шунтирует сопротивление Я для этой гармоники, она на него не попадает. Значит, эту гармонику надо вычесть из сигнала, поступаюшего на схему. Используя (11.5) для коэффициента первой гармоники, получаем (11.22) 2 т~' В, = — ~ сов'в,Ы=-. 7„4 ' 2' В результате и„(г) = и(г) — —,'. Вычитаемая часть показана на рис. 11.17 пунктиром. Окончательно получаем и„(г) = -~ 1 2 44о Считая контур идеальным, определим форму сигнала 0,(г) (№ 11.16). При разложении в ряд Фурье (11.1) имеем постоянную составляющую и гармоники. При заданных условиях через данную систему постоянная составляюшая и все гармоники, кроме первой, пройдут без изменения.
Для первой гармоники в контуре Л, С наблюдается резонанс токов, т. е. бесконечное сопротивление. Значит, эту гармонику надо вычесть из сигнала, поступаюшего на схему. Используя (1!.5) для коэффициента первой гармоники, получаем Рае. 11.19 Рвс. 1120 Генератор импульсов, имеющих форму, изображенную на рис. 1!.17 (сплошная линия), включен в цепь колебательного контура („С, Я, имеющего добротность Д = 100 и настроенного на первую гармонику генератора ы (рис. 11.20). Внутреннее сопротивление генератора г = 50 Ом, а амплитуда ЭДС У = 100 В.
Найдем максимально возможное значение амплитуды первой гармоники тока Т „в контуре, если все высшие гармоники должны быть подавлены по крайней мере в 100 раз (б = Т,Я > 100) (№ 11.18). Пользуемся разложением в ряд Фурье (11.1). В соответствии с (11.5) для первой гармоники имеем 2 гн В, = — ) сох'сееЫ = —. Т г~4 2 Для второй гармоники, используя четность формы импульсов, находим 4 т(4 В, = — ( соз2а гсозге,гй = —. Амплитуды входных сигналов У 2У и,= —; и,= —. 2' Зп' При резонансе, используя (9.8) и (9.27), имеем ШОЬ = — = ая. ! ыОС При резонансе сопротивление имеет активный характер (10.16), поэтому 1 Я + г «ь,.(, — —.
в1С Таким образом, г~г из ь — 1/в~С 02 202 20Я вЂ” (1/2)(ЗЯ ЗДЯ Отношение гармоник тока б = — = — ДЯ 11 9 п гз 8 Я+г' Откуда г 9и(2 — 80 ' Считая, что 0 равно как минимум 100, получаем Я = 20 Ом. Это значение сопротивления Я определяет максимально возможное значение амплитуды первой гармоники тока ''и'" г+ Я г+ Я Аналогичную задачу можно решить в случае генератора прямоугольных импульсов (рис.
11.21) с амплитудой У = 100 В и скважностью а = Т/т = 4 (Т вЂ” период следования; т — длительность импульсов), имеющего внутреннее сопротивление г = 50 Ом, нагруженного на последовательный контур с добротностью Д = 100. Найдем максимально возможное значение амплитуды первой гармоники тока У,,„в контуре, если все высшие гармоники должны быть подавлены по крайней мере в 100 раз (р = 1/1 ~ 100) (М 11.19). Пользуемся 2 2 2 2 Рве. 11.21 Вторая гармоника — вне резонанса. Поскольку по условию она должна быть сильно подавлена, то л В, = — (/ ) соз(е2~/)й = (/ —.
т /2 л В силу выбранной четности зависимости импульсов члены с синусами отсутствуют. В чем можно убедиться непосредственным применением (11.4). Для второй гармоники, используя четность формы импульсов, находим 2 ~/~ и В2 = — ) сов(2е2е/)21/ = —.
т /2 л Амплитуды входных сигналов г/Л и (/1 1 (/2 л л При резонансе, используя (9.8) и (9.27), имеем ю,С = — = аЯ. 1 е20С При резонансе сопротивление имеет активный характер (10.16), поэтому и, Я+г Вторая гармоника — вне резонанса.
Поскольку по условию она должна быть сильно подавлена, то 1 Я+Г «032Е- —. Е22С Таким образом, //2 2(/2 (/г г= ь — 17е2 с 2ДЯ вЂ” (1/2)ОЯ 3(2Я Отношение гармоник тока Р= — =-0Я— 7, З,Гг 7 2 Я+г' мз разложением в ряд Фурье (11.1). В соответствии с (11.5) для первой гармоники имеем (11.22) Откуда Я = р /2г(ЗД вЂ” 13 Г2). Считая, что 15 равно как минимум 100, получаем Я = 45 Ом. Это значение сопротивления Я определяет максимально возможное значение амплитуды первой гармоники тока 1, = ' = ~ =0,47 А. 'аш Г+я Г+я Квадратичный детектор Р преобразует входное напряжение У = УЗ(з)п езГ + яп 2е2!) по закону У, = /сУ2. К выходу детектора подключена цепь, состоящая из последовательно соединенных индуктивности Е и сопротивления Я (езЕ/Я = 1/3) (рис.
11.22). Найдем отношение амплитуды гармоники с максимальной частотой к постоянной составляющей выходного напряжения, снимаемого с сопротивления (М ! 1.20). Результат квадратичного преобразования проще всего получить, воспользовавшись (10.20). Обозначив езг = а, имеем За -/а 22а -22а З 2 2! 2!' Е22а 2+ Е-!2а + ЕЗ4а 2+ Е-24а + 2(Е!За Е!а Е-га + Е-!За) Отсюда следует У = ЯУ- ~1+ созез! — — соз2ез! — созЗе21 — — соа4езг~.
2! 1 1 а О ( 2 2 Как в делителе напряжения, на выходе получаем У „„=У„ 2 2 2~ЗГ2 (Я + аз„А ) С учетом условия находим и,„„ 1 3 Уваю (1+1баз~2~/Я ) Если на квадратичный детектор поступает входное напряжение У = У,(сов ез! + сов 2ез!), то, действуя, как в предыдущей задаче, получаем У = /сУ-(1+созезГ+ — соз2еЗГ+созЗезг+ — соз4езГ). 2! 1 1 а— 2 2 444 Ряс. 11.23 Рис. 11.22 В случае подключения к детектору цепи, изображенной на рис. 11.23, используя (10.27) и (10.31), для амплитуд получаем 1 Зы~й й» з ~ 1/2 (1+а„Е Я ) Если известно, что 1 аЯС = —., то для отношения амплитуды гармоники с максимальной частотой к постоянной составляющей выходного напряжения, снимаемого с емкости (М 11.21), имеем о (1+ 1бю~ С'(К~ ~)~ Дифференциальная магнитная проницаемость и некоторого ферромагнетика зависит от напряженности магнитного поля по закону Нв 2 И ин Н! И2Н На тонкий тороидальный сердечник из такого материала равномерно намотана катушка, имеющая Фвитков.
Сечение сердечника 5, радиус тора г (рис. 11.24). Через катушку течет постоянный ток подмагничивания, величина которого такова, что зависимость В(Н) достигает максимума. Катушка охвачена короткозамкнутым проводом, сопротивление которого Я. Найдем Рис. 11.24 спектр тока 2' в проводнике (пренебрегая его индуктивностью), если помимо тока подмагничивания через катушку пропустить слабый переменный ток 3'= (, в)па! ()Чв 11.23). Из условия © =о. находим Ток 1 дает добавку магнитного поля оН, для которой из (5.6) следует 4лИ! с Откуда 23Н = 2Ж вЂ” = 2Л7в = АЯпаб сг сг где А=2Ф вЂ”.
2О сг Магнитную индукцию представим в виде ряда Тейлора (разложения по оН относительно максимального В) 13 13В гО гО По условию ~ — ) -о; ( —,) --2|,И,--2(2г,2»'; ( —,) --22,. Более высокие производные равны нулю. Поэтому, подставляя оН, получаем В = Ве — ()3,133)~ А яп аГ- — 3А в(п аб Для изменения индукции со временем находим зг= 23 — =-2(13 р,) А'аяпаГсоваГ- — 'А'а(1-сов2гоГ)совае = = -(12,н3) А аяп2агсоваг — — А а(соваг -совЗаг).
2/3 222 3 4 Заметим, что представление степеней гармонических функций проще всего получать с помощью формулы (10.20). Ток в проводе определяем с помощью (7.1): з'= — — (Зз Ззз) А вз(п2вгсозои- — А в(созаг — созЗаг). 1В Ш ззз з сд 4 Таким образом, в спектре тока три гармоники с частотами в, 2в и Зв. Для такой же тороидальной катушки в отсутствие подмагничивания, которое выводит В на максимум, заданную зависимость магнитной индукции от напряженности поля ИВ Н= — =)з Н Н ЫН можно проинтегрировать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
