Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 54
Текст из файла (страница 54)
сй ' С ' сг Для второго Ез — + М вЂ” = О. '(72 '% й й~ Подставляя второе соотношение в первое, получаем Резонанс тока происходит при собственной частоте контура, поэтому О С(Е, М2/Е )' Резонанс не достижим, если Мз = Е,Еп как это бывает при отсутствии рассеяния магнитного потока через две катушки. Две одинаковые катушки, намотанные на общий каркас, включены последовательно в колебательный контур с емкостью С двумя способами, изображенными на рис. 10.39.
Резонансные частоты колебательных контуров оказались равными а, и а, соответственно. Найдем индуктивность Е каждой из катушек и коэффициент их взаимной индукции М(М 10.40). В первом случае соединения вза- Рвс. 10.39 имные индукции действуют так же, как собственные (складываются с собственными), а во втором случае — против собственных: 2А — + — 1' !й 1 2М вЂ” = О. В первом случае „2 1 2С(А + М) ' а во втором 2 1 2С(А — М) ' Отсюда Дм одинаковые катушки, намотанные на общий каркас, включены параллельно в колебательный контур с емкостью С двумя способами, изображенными на рис. 10.40.
Резонансные частоты колебательных контуров оказались равными 02, и 02 соответственно. Найдем индуктивность 1, каждой из катушек и коэффициент их взаимной индукции М ()а 10.43). В первом случае соединения взаимные индукции действуют так же, как собственные (складываются с собственными), а во втором случае — против собственных. Так как катушки соединены параллельно, то ток в них равен половине, идущего через конденсатор. Поэтому — Š— + — )Ы!+2М вЂ” = О. 1 ~~~ 1 ~ 2 ег С 42 В первом случае 2 1 С(Е+ М)' Рис. 10.40 407 а во втором 2 г С(Е- М)' Отсюда Высокодобротный колебательный контур (рис.
10.41) включает две последовательно соединенные катушки с индуктивностями Е, и Ь . После того как катушку Ь замыкают накоротко, частота собственных колебаний контура не изменяется. Определим коэффициент взаимной индукции М ()Ча 10.41). До замыкания накоротко (10.63) Откуда г 1 С(2г + 2г + 2М) При замыкании второй катушки два контура, для которых имеем уравнения: .( — +М вЂ” =О.
Нг Н~ Фг й Подставляя второе соотношение в первое, получаем с М')Ы У вЂ” — ! — '+ — ) 1,с(г = О. 2 ! ж С Рис. 10.41 Рис. 10.42 Отсюда 2 1 с(х, — и'2!х,) По условию это равно полученному ранее. Откуда М +2Х М+Х2 =(М+Х ) =0 и, следовательно, М = -Х2.
К высокодобротному колебательному контуру Х„С, с известной резонансной частотой е2! может быть подключена ключом К последовательно цепочка с известными Х,, С, (рис. 10.42). При этом резонансная частота контура не изменяется. Определим коэффициент взаимной индукции М (М 10.42). До переключения 2 Е2! Х2С, После подключения суммарная емкость конденсаторов С!Сг С! + С2 Цепь описывается уравнением (10.63). Приравнивая частоты, получаем (Х +Х +2М) С!С2 С!+С2' Откуда М=-' — '-Х, =-' —,' -Х, Найдем добротность катушки, намотанной иа тонкую медную трубку с внешним диаметром Х! = 2 см и толщиной стенок б = 0,05 см (удельное сопротивление меди р = 1,8 10-' Ом см), подключенной к цепи переменного тока частотой Х= 50 Гц, если длины катушки и трубки одинаковы и значительно больше диаметра (Хо 10.44).
Воспользуемся (9.29), (7.21), (4.18), (4.14) и (7.1). Потери энергии связаны с вихревыми (кольцевыми) токами (Фуко) в стенках трубки. Причина вихревых токов — ЭДС индукции И:=- — — =--о —, 1ИФ 1 НВ с !2! с !1! где л0 Я=р —, 16 ' где 1 — длина трубки. Мощность потерь на нагрев трубки 1 52 1 МВОЯФ 2 Я 2 Я (10.64) Амплитудное значение энергии в катушке с учетом (7.12) 2 Ю! )т'о = Во —. 8аи (10.65) Для меди и = 1 и поэтому 2 Я )4о = Ва 8я Добротность можно определить следующим образом: 2 Д = 2п — = 2я7' — = = 18.
И'о 11о Рс ЛИ„„АГ„г 'УЮ6 Длинный соленоид с плотной намоткой размещен на цилиндрическом железном сердечнике с магнитной проницаемостью и и проводимостью Х (рис. 10.43). Соленоид замкнут на конденсатор, вследствие чего образован контур с резонансной частотой со. Радиус сердечника г, утечки в конденсаторе несущественны, обмотку и соединительные провода можно считать идеально проводящими, а скин-эффект не учитывать. Найдем добротность контура ()Чз 10.47). В случае переменного тока 1 и соответственно переменной индукции ! магнитного поля В = В сов ог в сердечнике возникаю ет переменное вихревое электрическое поле Е. В соответствии с (7.5) Е2иг = -озлг Ве з(п оМ.
1 2 с Рве. 10.43 410 Ю= —. 4 Обозначая амплитудное значение магнитной индукции Вм для переменного поля имеем В = В, соз(2цЯ. Потери энергии определяются сопротивлением Откуда 11 Е = — — Весог з! и оИ. 2с В соответствии с (4.7) и (4.12) мощность выделения энергии ~о Ф = ~ )Езс)З = )с " ~~~ ыпз сес~ 2ягзс(г, Усредняя по периоду, получаем Энергия, запасенная в контуре за период (по двум полупериодам) в соответствии с (10.65): г И' = — 2яг~).
ло г 8я1с Так как потери энергии о Иг= (Ф) Т = Ф2я/со, то из (9 29) получаем ссеоИг 2(с/'го) (10.66) (Ф) 1 яр)ссо Найдем, как изменится добротность контура при увеличении емкости конденсатора в два раза (М 10.46). Из (9.8) 1 (сС) ~ Используя (10.66), получаем Катушка колебательного контура имеет добротность Ц = 100. Если один виток катушки замкнуть накоротко, то ее индуктивность почти не меняется, а добротность уменьшается вдвое. Определим по этим данным число витков катушки Ф(Хо 10.45). ЭДС индукции определяется зацепленным потоком, который в соответствии с (5.31) равен Чс = Ы(в СИ произведению индуктивности на ток). В катушке зацепленный поток больше, чем в витке, в Фраз.
В соответствии 411 с (10.29) падение на катушке У„= Аа1, а на витке У, = йо1/1У. С помощью (4.18) и (9.27), учитывая, что сопротивление витка равно Я/М (Я вЂ” сопротивление катушки), находим мощность потерь энергии в витке Я/Ф ~ Я1 Ф 1!! Так как по условию добротность при замыкании витка в два раза меньше, то потери, которые в катушке равны 1~К, в два раза больше, ЛУ, + 1!Я = 21!Я. Откуда получаем 1У = Д' = 10 000. На рис. 10.44 изображена металлическая скоба длиной 1, шириной а — 1и с зазором Ь «1, а. Ее можно рассматривать как колебательный контур: конденсатор и полувиток, по которому заряд переходит с одной пластины на другую.
Оценим резонансную частоту такого колебательного контура (М 10.48). Из (3.56) емкость конденсатора а1 С вЂ” —. 4аа Если по скобе идет ток 1, то из (5.6) В-4я —. 1 са Поток индукции магнитного поля Ф-4яЛ— /г са и из (5.28) А — 4я1 —. Ь а Из (9.8) 1 а д а Рнс. 10.45 Рнс. 10.44 4!2 или /' — 500 Гц. Прямая оценка из условия / — Л/2, где Л вЂ” длина волны, дает Л вЂ” 20 см и частота ы = 2яс/Л вЂ” 1Ои с Оценим приближенно резонансную частоту /;„тороидальиого резонатора, размеры которого представлены на рис. 10.45, где изображено его меридиональное сечение: а = 20 см, Р = 10 см, Ь = 1 мм ()ча 10.49).
Предполагаем, что размеры резонатора малы по сравнению с резонансной длиной волны. В таком случае можно пользоваться формулами для квазистационарной цепи (9.8). Из (3.56) для емкости плоского конденсатора в центральной части резонатора С=а 4яь 166 Из (5.6) получаем напряженность (равную индукции) магнитного поля в зависимости от расстояния от оси тора (г) //=В= —. сг Для потока магнитного поля имеем /В Ь / / 2с Ф = 2а — ) — = 2а — 1и ~1+ — ).
с г с Р Из (5.28) получаем индуктивность тора А = 2а1п(1+ — 1. Р/ Из (9.8) резонансная частота ы ( с 1'/з (1/Я)(с/Р) ( (1/2)(а/Ь) 1и(1 + 2а/Р)1 Тороидальный резонатор электромагнитных колебаний представляет собой полый идеально проводящий тор круглого сечения. Внутри него вырезан зазор (рис. 10.46), края которого затянуты двумя проводящими сетками, имеющими форму круга радиусом а = 5 см, расстояние между сетками л = 2 см, а средний радиус кривизны тора 2а. Рассматривая резонатор как колебательный контур и считая, что е и и в нем примерно равны единице, оценим резонансную частоту (М 10.50).
Действуем, как в предыдущей задаче. Из (3.56) для емкости плоского конденсатора в центральной части резонатора еЯ ка С= — = —. 4ял 4ял 4!3 А А — А Ряс. 10.46 Рис. 16.47 Из (5.6) получаем напряженность (равную индукции) магнитного поля Н=В= —. са Для потока магнитного поля имеем Ф = Вяа = — яа. 2 с Из (5.28) получаем индуктивность тора Е = яа. Из (9.8) резонансная частота в с сЬ сз — .,= — — 2 2я (гС)х а а На рис. 10.47 показана схема. Пренебрегая активным сопротивлением катушек, определим частоту резонанса токов в схеме, когда генератор подключен к клеммам: 1) аЬ, 2) аИ и 3) ас (М 10.51). В соответствии с (10.31) и (10.29) и их параллельным соединением в случае: 1) аЬ 1 — = /ыС+, = 2вС 1 1 — ыЕС У 2иоА — 1/ыС 1 2щ~~.С Для резонанса токов У = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
