Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Соленоид гибкими проводами присоединен к конденсатору емкостью С. Радиус соленоида а, длина проволоки, из которой он изготовлен, /, сопротивление соленоида Я. Найдем напряжение на конденсаторе 24-аз 369 при резонансе, когда частота 03 равна собственной частоте колеба- тельного контура (М 10.17): 1 Ооо (1 С)7 В системе отсчета, связанной с витками соленоида, на электроны действует переменная тангенциальная сила, равная массе электрона, умноженной на ускорение, которое равно угловому ускорению (второй производной угла по времени), умноженному на радиус витков. Разделив на заряд электрона, получаем напряженность поля, а умножив на длину проволоки, получаем ЭДС, действующую в контуре.
Таким образом, приходим к уравнению (10.2), в котором 2 Хо = т1а~ро —. ее, Используя (10.7), при 07 = 03 для амплитуды напряжения на конденсаторе получаем О3 Е 1'о = т1асро —. ед Напряжение в соответствии с (10.3) меняется гармонически 3l= )Г~соз(071+ 3У), но у здесь несущественно. Рассмотрим подключение к источнику синусоидального напряжения У = Роз(п 077 в момент времени ! = 0 последовательно соединенных сопротивления Я и индуктивности С.
Найдем силу тока 1 как функцию времени и фазы д, а также условие, при котором сразу после замыкания цепи в ней установятся синусоидальные колебания (М 10.4). Используя (9.4), для цепи получаем уравнение Решение этого уравнения можно составить из общего решения однородного уравнения (правая часть равна нулю) и частного решения данного уравнения. Решение однородного уравнения Ае 1, 370 где А — постоянная, которую определим из начальных данных.
Ча- стное решение будем искать в виде 1, = 1, яп (022 + ~р). Подставляя это в общее уравнение, находим иод 021, 0 2 2 2 и в)п02 = — — сово2. (м +02 е )сове Общее решение 1 1 -хОО (А + 02 2 ) сов е Используя начальное условие — ток в начальный момент равен нулю, и полученные ранее соотношения, имеем е — вп2(оог + <р)/01п Е д2+ 0,2г2 Заметим, что частное решение можно было искать в виде 1, = 1 сов (022+ ~р). При 1, = 0 сразу устанавливаются колебания 1=и ' "'. о д Выделяемая мовшость в случае переменного тока, как и для постоянного (4.18), определяется силой тока 1 и напряжением Г 2У= Л. 10' = Р'1 сов02!сов(022+<р) = — Ь;1 ~сов~р+сов(2022+<рЦ. 1 2 О О Для средней за период мощности, так как среднее значение сов(2022 + ~р) равно нулю, получаем (М) = -1р;1, р. 2 О о (10.35) При гармоническом изменении токов и напряжений их среднеквадратичные значения, называемые эффективными, равны 1 о р о ,/г' Л' (10.36) го* З22 Для переменного тока Г= р;сово22 и 1= 10сов(022+ ср), где О2— сдвиг фаз между напряжением и током.
Поэтому Эти величины показывают амперметры и вольтметры переменного тока. Для средней мощности через эффективные значения имеем ()У) = !' 1, (10.37) Для определения мощности, выделяемой переменным током в катушке, у которой неизвестны индуктивность | и сопротивление г, иногда применяют метод трех амперметров. Включение их показано на рис. 10.6.
Параллельно катушке включают известное сопротивление К Измеряют эффективные значения токов: 1, — через катушку, 1, — через сопротивление Я и полный ток 1 Зная показания приборов, определим искомую мощность 7У ()Ча 10.3). В соответствии с (10.32) и (10.33) нарисуем векторные диаграммы для напряжений и токов. На рис. 10.7, а для последовательно соединенных сопротивления г и индуктивности получаем, что падения напряжения на индуктивности Й1,в1.
опережает по фазе падения напряжения на сопротивлении 121,г на л/2. Геометрическая сумма этих падений (т. е. падение на катушке) равна 7217Я (т. е. падению напряжения на сопротивлении Я). Угол с7 — это сдвиг фаз между напряжением и током в катушке, который входит в (10.37). На рис. 10.7, б показано сложение токов по правилу Кирхгофа 1 = 1, + ! . По теореме косинусов 1 = 1, +12 — 21Асоз(л Ф) = 1~'+1, +21Асоз~р.
т 277л l~ вА Рис. 10.6 Рис. 10.7 372 Используя (10.37), получаем (Ф) = Р7, соз<р = 1 Я2, ' 2 = — К'(12 — 22 — 12). 27,7, 2 Заметим, что при чисто реактивном сопротивлении катушки (г = О) ~р = я/2. Соответственно косинус и джоулевы (тепловые) потери равны нулю. Для определения мощности, выделяемой переменным током в катушке, у которой неизвестны индуктивность С и сопротивление г, применяют также метод трех вольтметров. Последовательно с катушкой включают известное сопротивление Я и присоединяют к цепи три вольтметра так, как показано на рис. 10.8. Измеряют с их помощь|о эффективные напряжения: р; — на катушке, р; — на сопротивлении и Р" — между концами цепи.
Зная показания приборов, определим искомую мощность Ф(М !0.2). На рис. 10.9 приведены соответствующие векторные диаграммы. Ток через катушку и через сопротивление А один и тот же. По теореме косинусов 1" = Р +Р2' — 212)2соа(х-~р) = Р +Р +2Р~)2соз~р. Используя (10.37), получаем 2 2 2 2 2 2 Р2 и -Р; -Р2 11 -Р; -Р2 ' Я 21Р2 г Л Входящий в (10.35) сох е2 называют коэффициентом мощности. 'Г2И Ггк, Рвс. 10.8 Рве. 10.9 373 Обмотка электромагнита, полное сопротивление которой У= 10 Ом и коэффициент мощности сор гр = 0,6, присоединена к цепи переменного тока.
Найдем, каким будет коэффициент мощности соз а', если параллельно обмотке присоединить конденсатор, реактивное сопротивление которого равно ~, = 7 Ом (М !0.7). Используя комплексные представления (10.27), (10.29), (10.31), (10.32) и (10.35), изобразим их на векторной диаграмме (рис. 10.10). Получаем Уо!ле — У, Я = Усоз~р, !ко7' = г р Откуда (41п 47 — 2,/У !1 соха' = соз агс!0~ ' ~~~ = 0,999. сов <р В приведенной на рис.
1О.11 схеме в момент г = 0 замыкают ключ К. Найдем зависимость от времени тока /, текушего через источник синусоидальной ЭДС !Г = е' з!пай если параметры контура связаны соотношением (М 10.5) Я=ф) . Используя это соотношение, а также (10.27), (10.29) и (10.31), находим импеданс параллельного соединения У 1 ! 1 2Я+ 7(а/. — 1/аС) ! + У Я+гаям Я+ !/!аС 2Я+!Я(аХ вЂ” 1/аС) Я Это чисто активное сопротивление.
Поэтому К о!и аг = 'а Я Я Рис. 10.11 Рис. 10.10 374 Источник переменного тока с циклической частотой щ и ЭДС Й действует на колебательный контур (рис. 10.12). Определим силу тока Ги сдвиг фазы ог между 7и Жпри резонансе (М 10.8). Используя условие резонанса (9.8), а также (10.27), (10.29) и (10.31), находим импеданс параллельного соединения У ! 1 . ноСЯ вЂ” +йоС = У Я+ !щи Я+ йог, Для тока получаем щ 1 = йщС, = ВСЯ = ФщСЯр— Я + 1щг Яг .~. щг2г рг Отсюда С Я ~0 8щЯ ~ 18 Чг ( г г г)г' щА' Для цепи, изображенной на рис.
10.13, найдем ток 7 в цепи (в установившемся режиме при Р= 1' соз щг), а также значения частот, при которых амплитуда установившихся колебаний будет максимальна и минимальна, и значения максимума и минимума тока (М 10.9). Обозначив импеданс параллельного соединения У„имеем — — +йоС =1 — щ А 1 1 . г С У гщЬ !щи Для полного импеданса цепи получаем 1 . Ь 1(2щ АС вЂ” 1) У = —,+йо йоС 1 — щггС щС(1 щггС) Рис. 10.12 Рис. 16.13 375 Пользуясь тем, что заданная зависимость напряжения есть реальная часть от комплексного напряжения 1;еьи и (10.33), вычисляем комплексный ток ья 1(и — )т/2) у 1 1 ОЩС(1 ЕС) 2 У 2щз2.С вЂ” 1 Получаем для действительной части Минимальное значение 2 1 при в ЕС' максимальное 1 = при в 2 пах 2ХС Индуктивностью резонансного контура Ц'= 10 МГц) служит длинная однослойная катушка диаметром Ю = 1О мм.
Найдем, во сколько раз изменится его резонансная частота, если внутрь катушки вставлен на всю длину латунный цилиндр (удельное сопротивление латуни р = 8. 10 6 Ом см) диаметром 2)/2 ()хх 10.10). При высоких частотах колебаний электромагнитных полей они не проникают внутрь проводников. В данном случае, учитывая также, что для латуни р порядка единицы в соответствии с (12.56) толщина скин-слоя 8 = = 4 1О г мм. (2 био/р) Индуктивность катушки меняется из-за уменьшения площади, через которую идет магнитный поток (5.29) 1„0 4 Т В~ — В'~4 3' Используя (9.8), получаем 376 В цепь, состояшую из последовательно включенных сопротивления Я, индуктивности Ь и емкости С, включен последовательно источник синусоидальной ЭДС постоянной амплитуды и перестраиваемой частоты.
Изменяя частоту источника, настраивают ее в резонанс с частотой цепи, затем уменьшают емкость контура в два раза и снова добиваются резонанса. Посмотрим, изменится ли сила тока при резоваысе. Найдем отношение резонансных частот, соответствующих первому и второму случаям (М 10.11). Из (9.8) следует 1 1 (ХС,)уз 2 (АС,/2)уз и соответственно О~з (2)1/2 ОЗ, Из (10.15) находим Сила тока одинакова.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
