Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Из (3.!8) (закон Джоуля — Ленца) имеем лЦ = 12Ядг. 328 Подставляя сюда полученное ранее выражение для тока и интегрируя от 0 до бесконечности, находим Это же выражение можно получить из изменения энергии конденсаторов. Рассмотрим случай, когда конденсатор Сзаряжается от батареи Й через нелинейное сопротивление Я, сила тока в котором связана с напряжением соотношением 1 = Л(1Н' (Л вЂ” постоянная величина).
Найдем зависимость силы тока в цепи от времени, если батарея включена при г = 0 (М 9.20). Из закона Кирхгофа для падения напряжения на сопротивлении имеем (/ =к — ~. С Используя условие для заряда на конденсаторе д, получаем дифференциальное уравнение 1(к — д/С),а зн (к — д/С)Я~ Интегрируя его при условии„что начальный заряд равен нулю, получаем — = (Г— ~7 (1+ М(а) /2С~ Дифференцируя, находим ток Лгз/2 1= [1+ Лг(д) /2С~ При размыкании рубильника К в электрической цепи, изображенной на рис. 9.10, возник луговой разряд, вольт-амперная характеристика которого имеет вид (/= а + Ь/1, где а и Ь вЂ” известные постоянные величины. Найдем ток в цепи (М 9.21). Закон Кирхгофа дает 1 — + И + (11 = ж. Н Ж Рис.
9ЛО 329 Отсюда для установившегося режима, когда — =О, сгг получаем К1о2 + (а — Я 1 + Ь = О. Решая это уравнение, находим У2 (х — а) й ( (я — а) — 4 яЬ )' о= 2Я До размыкания ток был 1, = ((/Я. В момент сразу после размыкания рубильника Ток начинает уменьшаться. Для исследования устойчивости установившегося режима рассмотрим состояния, близкие к равновесному 1(г) = 1о + х(г). Подставляя в закон Кирхгофа и используя уравнение устойчивого режима, получаем для изменения малой добавки со временем — — Я вЂ” — х.
Видно, что более устойчивым является режим с большим током. Он и достигается раньше. Сверхпроводящие катушки с самоиндукциями А, и 12 соединены параллельно и включены через сопротивление Я в цепь гальванической батареи с ЭДС Р и внутренним сопротивлением г (рис. 9.11). Найдем токи в катушках 1, и 1 и ток в общей цепи 1, если коэффициентом взаимной индукции катушек можно пренебречь (М 9.22). Для контура из катушек, не имеющих сопротивления, получаем ~~1! о'12 1„— -1,— =О. М й Интегрируя по времени, имеем 111~ = 1212. Из первого закона Кирхгофа 1 + 1, = 1 Поэтому И2 П., 1о +12 Е, +1 Рис.
9.11 ззо Из закона Ома следует, что д у= А+г — + О = б. йИ ет Ые =е' н Отсюда Ы Я вЂ” Я о= Из (5.29) индуктивность соленоида обратно пропорциональна его длине 1 Р— —. 1 Поэтому, обозначая производные по времени штрихом, получаем Следовательно, Т Т Откуда Яо = Ул о— В схеме, изображенной на рис. 9.12, в некоторый момент времени замыкают ключ ео К, и конденсатор С, имеющий первоначальный заряд д, начинает разряжаться через индуктивность 2. Когда ток разряда достига- Рве.
9.12 зз~ Соленоид, реостат и источник постоянного напряжения включены последовательно. Соленоид равномерно растягивают со скоростью о = 50 см/с, одновременно передвигая движок реостата так, что сила тока в цепи остается постоянной. Найдем, насколько изменится сопротивление реостата, когда длина соленоида увеличится вдвое, если он после растяжения имеет плотность витков л = 50 см ', а диаметр его поперечного сечения Р = 10 см (М 9.25).
Обозначая сопротивление реостата начальное Р и текущее )1(г), из (9.4) имеем ет максимального значения, ключ К вновь размыкают. Найдем, какой заряд протечет через сопротивление Я, если сопротивление диода Р в схеме в прямом направлении много меньше Я, а в обратном— бесконечно велико (М 9.27). После замыкания ключа ток идет только через индуктивность, так как на диоде Р потенциал в верхней точке выше, чем в нижней. Из (9.7) для заряда на конденсаторе ,7" + огг9 = 0 где г Ог ЕС Решение этого уравнения д = А згп огг + В сов ога В начальный момент заряд на конденсаторе до, а ток через индуктивность д'(0) = О.
Используя это, находим ~7 = «уо соз огб У = — д' = г7 ого|и ога Откуда !,„= що. В момент максимального тока (заряд на конденсаторе равен нулю) после отключения конденсатора ток идет через диод. Из (9.7) Ы' + Я1 = О. Интегрируя с учетом, что здесь в начальный момент ток был максимальный, получаем 1= !,„е-хо'. Для заряда, протекшего через Я, Ч г( ГгГГ 7тах гт г)о (л7с)дг о Длинный соленоид, длина которого равна г, а площадь витков 5, замыкается в некоторый момент времени последовательно с сопротивлением Я на источник постоянного напряжения с ЭДС Ж В средней части соленоида находится небольшое короткозамкнугое кольцо, плошадь которого равна о, сопротивление г. Плоскость кольца перпендикулярна оси соленоида.
Пренебрегая самоиндукцией кольца, определим радиальное давление на него (т. е. радиальиув силу на единицу длины) в тот момент, когда оно максимально (М 9.23). Из (9.4) имеем Решая это уравнение, с учетом того, что в начальный момент ток равен нулю, находим ззг Из (5.23) поле в соленоиде В = Н = 4п — —. 1М с Е ЭДС о, в кольце определяется (7.1). Для тока в кольце 1, получаем о!еВ к ! А%1 1, = — = — — — = 4яоФ вЂ” ехр[-с — ). г гсег гЕ [, Е1 Из (5.29) для индуктивности соленоида следует 1.
= 4яФ~ —. Т' Воспользовавшись законом Ампера (7.4), получаем для радиальной силы на единицу длины кольца ег' 1~ ,! = — = — В = 4яоФ вЂ” ехр[ — с — ~~1 — ехр[-с — )~. ( и 'ВВ ~ 1 Л ~ 1. Л Чтобы вычислить максимальное значение этой величины, приравняем ее производную по времени нулю. Получаем, что максимальное значение будет при ехр[-с — ) = —. Оно равно „г 1' = яо И~ ЯЯ Тороидальиая катушка с радиусом тора М, и радиусом витка г, (г, «Я,) замыкается в некоторый момент времени последовательно с сопротивлением Я на источник постоянного напряжения с ЭДС Ж Внутри катушки находится небольшое короткозамкнугое кольцо, площадь которого о, а сопротивление г. Плоскость кольца совпадает с плоскостью одного из витков тора.
Пренебрегая самоиндукцией кольца, определить энергию джоулевых потерь Д в кольце за все время установления тока в цепи тора (М 9.24). Как и в предыдущей задаче, ток в торе Из (5.6) для поля внутри тора В = Н = 21 —. Ф сЯ, 333 Используя (5.27) и (5.28)', находим индуктивность тора ЭДС К, в кольце определяется (7.1). Для тока в кольце 1, получаем а!ИВ в 1' гЯ('1 I, = — = — — — = 2аУ вЂ” ехр~-с — ). г гс й гЯ1. Из (4.18) находим джоулевы потери г г 7г„,у г яс гЯ,Ю; Два соленоида имеют одинаковые геометрические размеры, но один из них изготовлен из проволоки вдвое большей площади поперечного сечения и вдвое меньшей длины, чем другой.
Материал проводов обоих соленоидов одинаков. Найдем, в обмотке какого из них будет выделяться больше теплоты, если магнитные поля в них одинаковы, а также у какого из них меньше время установления магнитного поля (М 9.26). Обозначая сечение проводов о и их длину л, из (4.14) получаем для отношения сопротивлений проводов Вз лз а~ 1 В~ )з аг 4 При одинаковых диаметрах соленоидов отношение числа витков пропорционально длинам проволок ~'2 з Л/, Ь, 2 Так как по условию длины соленоидов одинаковые и устанавливаются одинаковые магнитные поля, то из (5.23) следует 7г — = — = 2.
г! Л2 Используя (4.18), для отношений выделившейся теплоты имеем 02 2 2 =гг а, г,д, 2 334 Ц предыдущих задачах с помощью (9.4) были получены уравнения )~становления тока и соответственно магнитного поля, куда вошли характерные времена установления т. Используя (5.29) для индуктивнг2сти соленоида 1, = 4яУ~ —, наход)2м 22 22 а! ( 2Уг ) т! 12 Я2 ~1 й2 В схеме, приведенной на рис. 9.23 и состоящий из двух контуров с известными Ж, г, С„Е2 и М, в некоторый момент, когда в первом контуре уже установился ток, одновременно и мгновенно разомкнули ключ К„а К замкнули.
Вычислим энергию )т„, выделившуюся на сопротивлении Я, а также энергию )4'„полученную вторым контуром, пренебрегая в нем омическим сопротивлением (Хо 9.42). Ток, установившийся через индуктивность А„равен 1, = Ж/г. Для второго контура можно написать (7.1), учитывая, что поток магнитного поля через вторую индуктивность складывается из собственного и взаимного (5.25) Ф = — (1 1 +М1,); 1 — +М вЂ” =О. Н2 Н! !1! !1! Инте2РиРУЯ 1, от нУлЯ до 1ь, и 1, от 1!О до нУлЯ, полУчаем Ц12 = М1ьт Второй контур получает энергию, которая в нем в результате содержится В2 12 2 ~!О 2 !ч(Г) 2 212 212 Из сохранения энергии находим На рис.
9.24 изображена электрическая цепь, состоящая из бата- реи Ж, сопротивлений ги Я и индуктивности А!. К катушке С! изда- 335 Рве. 9.14 Рис. 9.13 лека приближают короткозамкнутую сверхпроводящую катушку с индуктивностью Ц. Первоначально ток в ней отсутствует, а после сближения с катушкой 11 он становится равным 1. После сближения катушек ключ К замыкают. Найдем, какая энергия выделится на сопротивлении Я в виде джоулевой теплоты (№ 9.43).
Первоначально в катушке Е1 течет ток х 1 10 д1 1.' Как и в предыдущей задаче, поток магнитного поля через вторую индуктивность складывается из собственного и взаимного (5.27) Ф = (1212 + М11) ° Но здесь надо учесть, что меняется взаимная индуктивность М, т. е.
1% 1®М11 1 †2+ †. 121 111 Интегрируя 1 от нуля до 1 „и М1, от нуля до М1ка получаем 2 гк 1О' Энергия взаимодействия катушек г 2 2 11' = А +Й ™1о12 =А 1г 1и 1г 11о к= 2 2 Эта энергия и выделится в виде теплоты на сопротивлении Я. В схеме, изображенной на рис. 9.15, при замыкании ключа К через гальванометр Г протек заряд 9. Определим коэффициент взаимоиндукции М катушек, обозначенных как 1,1 и 1,2, если извест- 336 к, Рис. 9.16 Рис. 9.15 ны Ж, Я, и Я (г(о 9.58).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
